初高中数学衔接练习题 1.阅读材料:若a"=N,则b=1ogN,称b为以a为底N的对数.例如2=8, 则1og8=log23=3.根据材料填空:log9=」 2.对于函数y=x+x",我们定义y′=nx+mxr(m,n为常数) 例如y=x2+x2,则y=4x3+2x 已知:y=3x+(m-1)x2+mx.若方程y=0有两个相等的实数根,则m的值为 3.阅读材料:设a=(x1,y),b=(x2,y2),如果a∥b,则x1·y2=x2·y1, 根据该材料填空.已知a=(4,3),b=(8,m),且a∥b,则m 4将四个数,b,c,d排成两行、两列两边各加上一条竖线段,记成ab c d 22x 定义: =ad-bc,上述记号就叫作二阶行列式,若 5.阅读材料:定义:如果一个数的平方等于-1,记为i2=-1,这个数i叫作 虚数单位,把形如a+bi(a,b为实数)的数叫作复数,其中a叫这个复数的实 部,b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类 似 例如计算:(4+i)+(6-2i)=(4+6)+(1-2)i=10-i; (2-i)(3+i)=6-3i+2i-i2=6-i-(-1)=7-i; (4+i)(4-i)=16-i2=16-(-1)=17; (2+i)2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i
初高中数学衔接练习题 1．阅读材料：若 a b＝N，则 b＝logaN，称 b 为以 a 为底 N 的对数．例如 2 3＝8， 则 log28＝log22 3＝3.根据材料填空：log39＝______． 2．对于函数 y＝x n＋x m，我们定义 y′＝nxn－1＋mx m－1 (m，n 为常数)． 例如 y＝x 4＋x 2，则 y′＝4x3＋2x. 已知：y＝ 1 3 x 3＋(m－1)x2＋m 2 x.若方程 y′＝0 有两个相等的实数根，则 m 的值为 ________． 3．阅读材料：设→a ＝(x1，y1)，→b ＝(x2，y2)，如果→a ∥→b ，则 x1·y2＝x2·y1， 根据该材料填空．已知→a ＝(4，3)，→b ＝(8，m)，且→a ∥→b ，则 m＝______. 4．将四个数 a，b，c，d 排成两行、两列，两边各加上一条竖线段，记成 a b c d ， 定义： a b c d ＝ad－bc，上述记号就叫作二阶行列式，若 2 2x 1 3－x 1 x－3 ＝10， 则 x＝________． 5．阅读材料：定义：如果一个数的平方等于－1，记为 i 2＝－1，这个数 i 叫作 虚数单位，把形如 a＋bi(a，b 为实数)的数叫作复数，其中 a 叫这个复数的实 部，b 叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类 似． 例如计算：(4＋i)＋(6－2i)＝(4＋6)＋(1－2)i＝10－i； (2－i)(3＋i)＝6－3i＋2i－i 2＝6－i－(－1)＝7－i； (4＋i)(4－i)＝16－i 2＝16－(－1)＝17； (2＋i)2＝4＋4i＋i 2＝4＋4i－1＝3＋4i
根据以上信息,完成下面计算 (1+2i)(2-i+(2-i) 6.现场学习:观察一列数:1,2,4,8,16,…,这一列数按规律排列,我们 把它叫作一个数列,其中的每个数,叫作这个数列中的项,从 第二项起,每一项与它的前一项的比都等于2,我们把这个数列叫作等比数列, 这个常数2叫作这个等比数列的公比.一般地,如果一列数从第二项起,每 项与它的前一项的比都等于同一个常数,这一列数就叫作等比数列,这个常数 就叫作等比数列的公比 解决问题: (1)已知等比数列5,-15,45,…,那么它的第六项是 (2)已知一个等比数列的各项都是正数,且第2项是10,第4项是40,则它的 公比为 (3)如果等比数列a,a,a,a,…,公比为q,那么有a2=aqg,a3=a9=(aq)q -a1d g (用a1与q的式子表示,其中n为大于1的自然数) 7.阅读下面材料:我们知道一次函数y=kx+b(k≠0,k,b是常数)的图象是 一条直线,到高中学习时,直线通常写成Ax+By+C=0(A≠0,A,B,C是常数) 的形式,点P(x,yo)到直线Ax+By+C=0的距离可用公式d I Axo+Byo+C RA+P2计 算. 例如:求点P(3,4)到直线y=-2x+5的距离 解: 2x+5, ∴2x+y-5=0,其中A=2,B=1,C=-5, ∴点P(3,4到直线y=-2x+5的距离
根据以上信息，完成下面计算： (1＋2i)(2－i)＋(2－i)2＝__________． 6．现场学习：观察一列数：1，2，4，8，16，…，这一列数按规律排列，我们 把它叫作一个数列，其中的每个数，叫作这个数列中的项，从 第二项起，每一项与它的前一项的比都等于 2，我们把这个数列叫作等比数列， 这个常数 2 叫作这个等比数列的公比．一般地，如果一列数从第二项起，每一 项与它的前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫作等比数列，这个常数 就叫作等比数列的公比． 解决问题： (1)已知等比数列 5，－15，45，…，那么它的第六项是________； (2)已知一个等比数列的各项都是正数，且第 2 项是 10，第 4 项是 40，则它的 公比为________； (3)如果等比数列 a1，a2，a3，a4，…，公比为 q，那么有 a2＝a1q，a3＝a29＝(a1q)q ＝a1q 2，…，an＝________．(用 a1与 q 的式子表示，其中 n 为大于 1 的自然数) 7．阅读下面材料：我们知道一次函数 y＝kx＋b(k≠0，k，b 是常数)的图象是 一条直线，到高中学习时，直线通常写成 Ax＋By＋C＝0(A≠0，A，B，C 是常数) 的形式，点 P(x0，y0)到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离可用公式 d＝ |Ax0＋By0＋C| A 2＋B 2 计 算． 例如：求点 P(3，4)到直线 y＝－2x＋5 的距离． 解：∵y＝－2x＋5， ∴2x＋y－5＝0，其中 A＝2，B＝1，C＝－5， ∴点 P(3，4)到直线 y＝－2x＋5 的距离
Ax+By0+C||2×3+1×4-55 d +B2 2+1 根据以上材料解答下列问题: (1)求点Q(-2,2)到直线3x-y+7=0的距离 (2)如图,直线y=-x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线,求这两条平 行直线之间的距离
d＝ |Ax0＋By0＋C| A 2＋B 2 ＝ |2×3＋1×4－5| 2 2＋1 2 ＝ 5 5 ＝ 5. 根据以上材料解答下列问题： (1)求点 Q(－2，2)到直线 3x－y＋7＝0 的距离； (2)如图，直线 y＝－x 沿 y 轴向上平移 2 个单位得到另一条直线，求这两条平 行直线之间的距离．
参考答案 1.22. 3.64.45.7 6.解:(1)-1215 提示:5×(-3)=-1215 (2)2 a 7.解:(1)∵3x-y+7=0, ∴A=3,B=-1,C=7 ∵点Q(-2,2), 2×3-1×2+7 10 ∴d √3+(-1)2√1010 ∴点Q(-2,2)到直线3x-y+7=0的距离为 (2)直线y=-x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线为y=-x+2. 在直线y=-x上任意取一点P 当x=0时,y=0, ∴P(0,0) ∵直线y=-x+2, ∴A=1,B=1,C=-2, ∴d10+0-2
参考答案 1．2 2. 1 2 3.6 4.4 5.7－i 6．解：(1)－1 215 提示：5×(－3)6－1＝－1 215. (2)2 (3)an＝a1q n－1 7．解：(1)∵3x－y＋7＝0， ∴A＝3，B＝－1，C＝7. ∵点 Q(－2，2)， ∴d＝ |－2×3－1×2＋7| 3 2＋（－1）2 ＝ 1 10 ＝ 10 10 ， ∴点 Q(－2，2)到直线 3x－y＋7＝0 的距离为 10 10 . (2)直线 y＝－x 沿 y 轴向上平移 2 个单位得到另一条直线为 y＝－x＋2. 在直线 y＝－x 上任意取一点 P， 当 x＝0 时，y＝0， ∴P(0，0)． ∵直线 y＝－x＋2， ∴A＝1，B＝1，C＝－2， ∴d＝ |0＋0－2| 1 2＋1 2 ＝ 2
∴两平行线之间的距离为E 数学文化题 1.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初 日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意是,有人要去某 关口,路程为378里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路 程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地,则此人第六天走的路程为 A.24里 B.12里 C.6里 D.3里 2.《九章算术》是中国传统数学的重要著作,方程术是它的最高成就.其中记 载:今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四,问人数、物价各几何?译 文:今有人合伙购物,每人出8钱,会多3钱;每人出7钱,又差4钱,问人 数、物价各是多少?设合伙人数为ⅹ人,物价为y钱,以下列出的方程组正确 的是() A. y-7x=4 7x-y=4 8x-y=3 =3 7x=4 7x-y=4 《九章算术》中的“折竹抵地”问题,今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺 问折高者几何?意思是:一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折 断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,问折断处离地面的高度是多 少?设折断处离地面的高度为x尺,则可列方程为() A.x2-6=(10-x)2 B.x2-62=(10-—x)2
∴两平行线之间的距离为 2. 数学文化题 1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初 日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某 关口，路程为 378 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路 程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为 ( ) A．24 里 B．12 里 C．6 里 D．3 里 2．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记 载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译 文：今有人合伙购物，每人出 8 钱，会多 3 钱；每人出 7 钱，又差 4 钱，问人 数、物价各是多少？设合伙人数为 x 人，物价为 y 钱，以下列出的方程组正确 的是( ) A. y－8x＝3 y－7x＝4 B. y－8x＝3 7x－y＝4 C. 8x－y＝3 y－7x＝4 D. 8x－y＝3 7x－y＝4 3．《九章算术》中的“折竹抵地”问题，今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺． 问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10 尺)，一阵风将竹子折 断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 6 尺远，问折断处离地面的高度是多 少？设折断处离地面的高度为 x 尺，则可列方程为( ) A．x 2－6＝(10－x)2 B．x 2－6 2＝(10－x)2
C.x2+6=(10-x) D.x2+62=(10-x)2 4.我国古代数学名著《九章算术》有米谷粒分题:粮仓开仓收粮,有人送来谷 米1534石,验得其中夹有谷粒.现从中抽取谷米一把,共数得254粒,其中 夹有谷粒28粒,则这批谷米内夹有谷粒约是() A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石 5.我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题:“直田积(矩形面积),八百六十 四(平方步),只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)问阔及长各几步.” 如果设矩形田地的长为x步,那么同学们列出的下列方程中正确的是( A.x(x+12)=864 B.x(x-12)=864 C.x2+12x=864 D.x2+12x-864=0 6.《算法统宗》里有一道著名算题 百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁?” 意思是:有100个和尚分100个馒头,正好分完;如果大和尚一人分3个,小 和尚3人分一个,试问大、小和尚各几人?设大、小和尚各有x,y人,则可以 列方程组 7.如图,观察下面的杨辉三角的规律 1331 14641 5101051
C．x 2＋6＝(10－x)2 D．x 2＋6 2＝(10－x)2 4．我国古代数学名著《九章算术》有米谷粒分题：粮仓开仓收粮，有人送来谷 米 1 534 石，验得其中夹有谷粒．现从中抽取谷米一把，共数得 254 粒，其中 夹有谷粒 28 粒，则这批谷米内夹有谷粒约是( ) A．134 石 B．169 石 C．338 石 D．1 365 石 5．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积(矩形面积)，八百六十 四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少 12 步)问阔及长各几步．” 如果设矩形田地的长为 x 步，那么同学们列出的下列方程中正确的是( ) A．x(x＋12)＝864 B．x(x－12)＝864 C．x 2＋12x＝864 D．x 2＋12x－864＝0 6．《算法统宗》里有一道著名算题： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？” 意思是：有 100 个和尚分 100 个馒头，正好分完；如果大和尚一人分 3 个，小 和尚 3 人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有 x，y 人，则可以 列方程组__________． 7．如图，观察下面的杨辉三角的规律： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
(a+b)=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a3b+3ab2+b (a+b)=a+4a b+6ab2+4ab+b 按照前面的规律,则(a+b)的展开式中第三项的系数为 8.田忌赛马出自《史记》卷六十五:《孙子吴起列传第五》,故事的主角是田 忌、孙膑和齐威王是中国历史上有名的揭示如何善用自己的长处去对付对手的 短处,从而在竞技中获胜的事例 材料阅读:传说战国时期,齐王与田忌各有上、中、下三等马,同等级的马中, 齐王的马比田忌的马强.有一天,齐王要与田忌赛马,双方约定:比赛三局, 每局各出一匹,每匹马赛一次,赢得两局者为胜.看样子田忌似乎没有什么胜 的希望,但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要 强 应用 (1)如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛,那么田忌的马如何出阵,田忌 才能取胜? (2)如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵,而田忌的马随机出阵比赛,田忌获 胜的概率是多少?(要求写出双方对阵的所有情况)
(a＋b)1＝a＋b (a＋b)2＝a 2＋2ab＋b 2 (a＋b)3＝a 3＋3a2 b＋3ab2＋b 3 (a＋b)4＝a 4＋4a3 b＋6a2 b 2＋4ab3＋b 4 … 按照前面的规律，则(a＋b)20的展开式中第三项的系数为________． 8．田忌赛马出自《史记》卷六十五：《孙子吴起列传第五》，故事的主角是田 忌、孙膑和齐威王是中国历史上有名的揭示如何善用自己的长处去对付对手的 短处，从而在竞技中获胜的事例． 材料阅读：传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三等马，同等级的马中， 齐王的马比田忌的马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局， 每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜．看样子田忌似乎没有什么胜 的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要 强… 应用： (1)如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌 才能取胜？ (2)如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获 胜的概率是多少？(要求写出双方对阵的所有情况)
参考答案 1.C2.C3.D4.B5.B 3x+=y=100 6. 7.190 x+y=100 8.解:(1)由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强,当齐王的马按 上、中、下顺序出阵时,田忌的马按下、上、中的顺序出阵,田忌才能取胜 (2)当田忌的马随机出阵时,双方马的对阵情况如下表. 齐王的马上中下上中下上中下上中下上中下上中下 田忌的马上中下上下中中上下中下上下上中下中上 ∴田忌获胜的概率P 易错易混题 姓名: 班级: 用时:分钟 1.下列各数中绝对值最小的是() A.3 B C.2 D 2.下列各式中由左边到右边的变形中,是分解因式的为() A. a(x+y)=ax tay B.x2-4x+4=x(x-4)+4 C.10x2-5x=5x(2x-1) D.x2-16+3x=(x+4)(x-4
参考答案 1．C 2.C 3.D 4.B 5.B 6. 3x＋ 1 3 y＝100 x＋y＝100 7.190 8．解：(1)由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按 上、中、下顺序出阵时，田忌的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜． (2)当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下表． 齐王的马 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 田忌的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上 ∴田忌获胜的概率 P＝ 1 6 . 易错易混题 姓名：______ 班级：______ 用时：______分钟 1．下列各数中绝对值最小的是( ) A．3 B．－π C．2 3 D．－2 2．下列各式中由左边到右边的变形中，是分解因式的为( ) A．a(x＋y)＝ax＋ay B．x 2－4x＋4＝x(x－4)＋4 C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．x 2－16＋3x＝(x＋4)(x－4)
3.要使式子√有意义,a的取值范围是() A.a≠0 B.a>-2且a≠0 C.a>-2或a≠0 D.a≥-2且a≠0 4.下列运算正确的是() A.√3+6=9 B√32=42 C.y√5·√4=4 5 D√2÷V6=3 5.若分式,的值为零,那么x的值为() A.1或-1 C.-1 D.0 6.下列命题是真命题的是() A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D.对角线相等的四边形是矩形 7.直线y=4x向下平移1个单位长度再向左平移2个单位长度,得到的直线是 A.y=4(x+2)+1 B.y=4(x-2)+1 C.y=4(x+2)-1 y=4(x-2)-1 8.已知关于x的一元二次方程(1-a)x2+2x-2=0有两个不相等的实数根,则 a的取值范围是()
3．要使式子 a＋2 a 有意义，a 的取值范围是( ) A．a≠0 B．a>－2 且 a≠0 C．a>－2 或 a≠0 D．a≥－2 且 a≠0 4．下列运算正确的是( ) A. 3＋ 6＝ 9 B. 32＝4 2 C. 5· 4＝4 5 D. 2÷ 6＝ 3 5．若分式x 2－1 x＋1 的值为零，那么 x 的值为( ) A．1 或－1 B．1 C．－1 D．0 6．下列命题是真命题的是( ) A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．对角线相等的四边形是矩形 7．直线 y＝4x 向下平移 1 个单位长度再向左平移 2 个单位长度，得到的直线是 ( ) A．y＝4(x＋2)＋1 B．y＝4(x－2)＋1 C．y＝4(x＋2)－1 D．y＝4(x－2)－1 8．已知关于 x 的一元二次方程(1－a)x2＋2x－2＝0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是( )
A 3 且a≠1 D.a>=且a≠1 9.已知点A(x1,3),B(x,6)都在反比例函数y=—的图象上,则下列关系式 一定正确的是() A.x10),若点(x1,y1),(x2,y2)是函数上的两个 点,且满足x1<x2,x1+x2=0,则() A. yr B.y1< C. D.y1与y2的大小不能确定 11.在平行四边形ABCD中,∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分, 则平行四边形ABCD的周长是( A.22 B.20 C.22或20 D.18 12若实数m,n满足|m-2|+n-4=0,且m,n恰好是等腰△ABC的两条边 的边长,则△ABC的周长是() A.12 B.10 C.8 D.10或8 13.已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的 情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为()
A．a＜ 3 2 B．a＞ 1 2 C．a＜ 3 2 且 a≠1 D．a＞ 1 2 且 a≠1 9．已知点 A(x1，3)，B(x2，6)都在反比例函数 y＝－ 3 x 的图象上，则下列关系式 一定正确的是( ) A．x1＜x2＜0 B．x1＜0＜x2 C．x2＜x1＜0 D．x2＜0＜x1 10．已知函数 y＝ax 2＋2ax＋4(a＞0)，若点(x1，y1)，(x2，y2)是函数上的两个 点，且满足 x1＜x2，x1＋x2＝0，则( ) A．y1＝y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．y1与 y2的大小不能确定 11．在平行四边形 ABCD 中，∠A 的平分线把 BC 边分成长度是 3 和 4 的两部分， 则平行四边形 ABCD 的周长是( ) A．22 B．20 C．22 或 20 D．18 12．若实数 m，n 满足|m－2|＋ n－4＝0，且 m，n 恰好是等腰△ABC 的两条边 的边长，则△ABC 的周长是( ) A．12 B．10 C．8 D．10 或 8 13．已知二次函数 y＝(x－h)2＋1(h 为常数)，在自变量 x 的值满足 1≤x≤3 的 情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 5，则 h 的值为( )