基本不等式 【复习指导】 1.突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练 2.训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养. 基础梳理 1.基本不等式: (1).基本不等式成立的条件:a>0,b>0 (2).等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号 2.几个重要的不等式 (1).a2+b2≥2ab(a,b∈R) (3.ab≤a+b )(a,b∈R) (.q+b2、a+b (a,b∈R) 3.算术平均数与几何平均数 设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为2,几何平均数为ab,基本不等式可叙述为两个正数 的算术平均数大于或等于它的几何平均数 4.利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则 (1).如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2VP.(简记:积定和最小) (2.如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是元2.(简记:和定积最大) 助学機博 一个技巧 运用公式解题时,既要掌摄公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a2+b2≥2ab逆用就是 第1页共18页
第1页 共18页 基本不等式 【复习指导】 1．突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练． 2．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养． 基础梳理 1．基本不等式： ab≤ a＋b 2 ． ⑴．基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0． ⑵．等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 ⑴．a 2＋b 2≥2ab(a，b∈R)； ⑵． b a ＋ a b ≥2(ab＞0)； ⑶．ab≤( a＋b 2 ) 2 (a，b∈R)； ⑷． a 2＋b 2 2 ≥( a＋b 2 ) 2 (a，b∈R)． 3．算术平均数与几何平均数 设 a＞0，b＞0，则 a，b 的算术平均数为a＋b 2 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个正数 的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知 x＞0，y＞0，则 ⑴．如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝ y 时，x＋y 有最小值是 2 p．(简记：积定和最小) ⑵．如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝ y 时，xy 有最大值是1 2 p 2．(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a 2＋b 2≥2ab 逆用就是
a2+b2 atb 2=、aa>,b>0逆用就是mb≤(2Pa>0,b>0等.还要注意“添、拆项 技巧和公式等号成立的条件等 两个变形 a2+b2 a+b (2.-2≥(2)2ab(a,b∈R,当且仅当a=b时取等号) .、√=≥12>0,b>0,当且仅当a=b时取等号 这两个不等式链用处很大,注意掌握它们 三个注意 1).使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要 利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可 (2).在运用基本不等式时,要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”、 “定”、“等”的条件 (3).连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致 双基自测 1.函数y=x 0)的值域为 【解】因x>0,故y=x+x≥2,当且仅当x=1时取等号 2.下列不等式:①d+1>2a:②.、aba+b)≤2③,+x2+1>1,其中正确的个数是 【解】①②不正确,③正确,x2+ 3.若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为 【解】因a>0,b>0,a+2b=2,故a+2b=2≥2V2ab,即ab≤2 4.[1.厘庆若函数fx)=x+x-2x>2)在x=a处取最小值,则a等于 【解】当x>2时,x-2>0,x)=x-2+x-2+2≥2+2=4,当且仅当x-2+x-2(x>2),即x 3时取等号,即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3 r2-4t+1 5.已知1>0,则函数y= 的最小值为 r2-41+1 【解】因t>0,故 +7-4≥2-4=-2,当且仅当=1时取等号 考点一利用基本不等式求最值 第2页共18页
第2页 共18页 ab≤ a 2＋b 2 2 ； a＋b 2 ≥ ab(a＞0，b＞0)逆用就是 ab≤( a＋b 2 ) 2 (a＞0，b＞0)等．还要注意“添、拆项” 技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 ⑴． a 2＋b 2 2 ≥( a＋b 2 ) 2≥ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时取等号)； ⑵． a 2＋b 2 2 ≥ a＋b 2 ≥ ab≥ 2 1 a ＋ 1 b (a＞0，b＞0，当且仅当 a＝b 时取等号)． 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 ⑴．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要 利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． ⑵．在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”、 “定”、“等”的条件． ⑶．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 双基自测 1．函数 y＝ x＋ 1 x (x＞0)的值域为______________． 【解】因 x＞0，故 y＝ x＋ 1 x ≥2，当且仅当 x＝ 1 时取等号． 2．下列不等式：①．a 2＋1＞2a；②． 1 ab(a＋b)≤2；③．x 2＋ 1 x 2＋1 ≥1，其中正确的个数是__________． 【解】①②不正确，③正确，x 2＋ 1 x 2＋1 ＝ x 2＋1＋ 1 x 2＋1 － 1≥1． 3．若 a＞0，b＞0，且 a＋2b－ 2＝ 0，则 ab 的最大值为__________． 【解】因 a＞0，b＞0，a＋2b＝ 2，故 a＋2b＝ 2≥ 2 2ab，即 ab≤ 1 2 ． 4．[11 重庆]若函数 f(x)＝x＋ 1 x－2 (x＞2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于__________． 【解】当 x＞2 时，x－ 2＞0，f(x)＝x－ 2＋ 1 x－2 ＋2≥2＋2＝ 4，当且仅当 x－ 2＋ 1 x－2 (x＞2)，即 x ＝ 3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，x＝ 3，即 a＝ 3． 5．已知 t＞0，则函数 y＝ t 2－4t＋1 t 的最小值为________． 【解】因 t＞0，故 y＝ t 2－4t＋1 t ＝ t＋ 1 t － 4≥ 2－ 4＝ － 2，当且仅当 t＝ 1 时取等号． 考点一 利用基本不等式求最值
、和定积最大 【例1】已知00,则5x2 -5x)≤[(5x+2-5x)2=1,故y≤,当且仅当5x=2-5x,即x=时, 【练习1】(1.已知x≥0,y≥0,且2x+3y=10,求y=√3xy最大值 2).已知x≥0,y≥0,且x2+5=1,求x1+y的最大值 (3).已知x>1,y>1,gx+1gy=4,求u= laxly的最大值 【解一】).由2x+3y=10得,3y=10-2x,故y=3x=√x(10-2x)≤)2,当且仅当x 5y2 , ymax 【解三】因x≥0,)>≥0,故y=322x+0s,当且仅当x=2,=时,ym=2 2【解1x20y0,故小+1++又x++(++=故中 s2×号-32,即+m (3).因x>1,y>1,故1gx>0,lgy>0,故=1glgv≤lgx+lgy)2=4,当且仅当x=100,y 100时,u= lgxlgy的最大值为4 注:lgx+lgy=4即xy=10000 【例2】已知x>0,y>0,且x+2y=4,求z=1gx+lgy最大值. 变:已知x>0,y>0,且x+2y=4,求z=logx+logy最小值 【解】因x>0,y>0,故=1gx+lgy=1gl2(2y≤lgx+2y)=lg2,当且仅当x=2,y= 时,ymx=lg2 变:因x>0,y>0,故=10g+bg=bpg(2)≥lgx+2)=-1,当且仅当x=2,y 1时 ymin 【练习2】如果34+9=18,那么a+2b的最大值为 【解】由3+9=18得,18=32+9≥2(3+2),则3a+2b≤81,故a+2b≤4,当且仅当a=2b, 即a=2,b=1时取等号 【例3】过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当△OB的面积 最小时,求直线l的方程 解】设点Aa,0,B0,ba>0,b>0,则直线l的方程为+1=1.由题意,点(1,2)在直线 上故+3=1.由基本不等式得,1=+2、Na故≥8,于是Sm=如≥小,当且仅 第3页共18页
第3页 共18页 一、和定积最大 【例 1】已知 0＜x＜ 2 5 ，则 y＝ 2x－ 5x 2 的最大值为______________． 【解】y＝ 2x－ 5x 2＝ － x(2－ 5x)＝ 1 5 •5x(2－ 5x)，因 0＜x＜ 2 5 ，故 5x＜2，2－ 5x＞0，则 5x(2 － 5x)≤ [ 1 2 (5x＋2－ 5x)] 2＝ 1，故 y≤ 1 5 ，当且仅当 5x＝ 2－ 5x，即 x＝ 1 5 时，ymax＝ 1 5 ． 【练习 1】⑴．已知 x≥0，y≥0，且 2x＋3y＝ 10，求 y＝ 3xy最大值． ⑵．已知 x≥0，y≥0，且 x 2＋ y 2 2 ＝1，求 x 1＋y 2的最大值． ⑶．已知 x＞1，y＞1，lgx＋lgy＝ 4，求 u＝ lgxlgy 的最大值； 【解一】⑴．由 2x＋3y＝ 10 得，3y＝ 10－ 2x，故 y＝ 3xy＝ x x (10 2 ) − ≤ 5 2 2 ，当且仅当 x ＝ 5 2 ，y＝ 5 3 时，ymax＝ 5 2 2 ． 【解二】因 x≥0，y≥0，故 y＝ 3xy≤ 2 2 [ 1 2 (2x＋3y)]＝ 5 2 2 ，当且仅当 x＝ 5 2 ，y＝ 5 3 时，ymax＝ 5 2 2 ． ⑵．【解一】因 x≥0，y≥0，故 x 1＋y 2≤ 2 2 [x 2＋( 1 2 ＋ y 2 2 )]，又 x 2＋( 1 2 ＋ y 2 2 )＝(x 2＋ y 2 2 )＋ 1 2 ＝ 3 2 ，故 x 1＋y 2 ≤ 2( 1 2 × 3 2 )＝ 3 2 4 ，即(x 1＋y 2 )max＝ 3 2 4 ． ⑶．因 x＞1，y＞1，故 lgx＞0，lgy＞0，故 u＝ lgxlgy≤ 1 4 (lgx＋lgy) 2＝ 4，当且仅当 x＝ 100，y＝ 100 时，u＝ lgxlgy 的最大值为 4． 注：lgx＋lgy＝ 4 即 xy＝ 10000！ 【例 2】已知 x＞0，y＞0，且 x＋2y＝ 4，求 z＝ lgx＋lgy 最大值． 变：已知 x＞0，y＞0，且 x＋2y＝ 4，求 z＝ log1 2 x＋log1 2 y 最小值； 【解】因 x＞0，y＞0，故 z＝ lgx＋lgy＝ lg[ 1 2 x(2y)]≤ lg[1 8 (x＋2y) 2 ]＝ lg2，当且仅当 x＝ 2，y＝ 1 时，ymax＝ lg2． 变：因 x＞0，y＞0，故 z＝ log1 2 x＋log1 2 y＝ log1 2 [ 1 2 x(2y)]≥ log1 2 [ 1 8 (x＋2y) 2 ]＝ － 1，当且仅当 x＝ 2，y ＝ 1 时，ymin＝ － 1． 【练习 2】如果 3 a＋9 b＝ 18，那么 a＋2b 的最大值为 ． 【解】由 3 a＋9 b＝ 18 得，18＝ 3 a＋9 b≥2(3 1 2 (a＋2b) )，则 3 (a＋2b≤81，故 a＋2b≤4，当且仅当 a＝ 2b， 即 a＝ 2，b＝ 1 时取等号． 【例 3】过点(1，2)的直线 l 与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，当 ΔAOB 的面积 最小时，求直线 l 的方程． 【解】设点 A(a，0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)，则直线 l 的方程为x a ＋ y b ＝ 1．由题意，点(1，2)在直线 l 上，故1 a ＋ 2 b ＝ 1．由基本不等式得，1＝ 1 a ＋ 2 b ≥2 2 ab，故 ab≥8，于是 SΔAOB＝ 1 2 ab≥4，当且仅
即a=2,b=4时,取“=”,因此,当△OB的面积最小时,求直线的方程为+4= 1,即2x+y-4=0 【练习3】已知x≥0,y≥0,且3x+2y=10,求u=√3x+2最大值 解一】n2=(√3x+√2y)2=3x+2y+232y=10+2x②2y,因x≥0,y≥0,故2=10+23x ≤50+x+2)=20,.当且仅当x=3y=3 √5 【解二】因x≥0,y≥0,故n2=(3x+√2y)2≤2(3x+2y)=20,当且仅当x 注:本题用到的结论:2(a-2+b2)≥(a+b)2 方法总结》利用指对数的运算性质可以分别将积与和变为和与积 积定和最小 【例4】求y=x++1(x>-1)最小值 变:①.x2-1,求y=log2(x+x+1+3)最小值 ③.求y=x2+ 4r2+最小值 解】因x>-1,故y=x+x+1=x+1+x+1-1≥2-1=1,当且仅当x=0时,等号成立, )的最小值为 变:①.因 1,故y=x+ 3,当且仅当 2时 等号成立,故y=r1(x-1)的最小值为-3 +3=x+1+-1+2≥4,故 当且仅当x=0时,等号成立,故y=10g2(x+x+1+5的最小值为2 =x2+元 当且仅当x=±时,等号成立,故y= 的最小值为 方法总结》利用基本不等式求函数最值时,注意“一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最 小”,常用的方法为:拆、凑、代换、平方 【例5】当x>0时,则几x)=x2+1的最大值为 [审题视点]把函数式中分子分母同除“x”,再利用基本不等式 【解】因x>0,故x)=x2+1==151,当且仅当x=x,即x=1时取等号 第顿页共18页
第4页 共18页 当 1 a ＝ 2 b ，即 a＝ 2，b＝ 4 时，取“=”．因此，当 ΔAOB 的面积最小时，求直线 l 的方程为x 2 ＋ y 4 ＝ 1，即 2x＋y－ 4＝ 0． 【练习 3】已知 x≥0，y≥0，且 3x＋2y＝ 10，求 u＝ 3x＋ 2y最大值． 【解一】u 2＝ ( 3x＋ 2y) 2＝ 3x＋2y＋2 3x 2y＝ 10＋2 3x 2y，因 x≥0，y≥0，故 u 2＝ 10＋2 3x 2y≤10＋(3x＋2y)＝ 20，当且仅当 x＝ 5 3 ，y＝ 5 2 时，ymax＝ 2 5． 【解二】因 x≥0，y≥0，故 u 2＝ ( 3x＋ 2y) 2≤ 2(3x＋2y)＝ 20，当且仅当 x＝ 5 3 ，y＝ 5 2 时，ymax ＝ 2 5． 注：本题用到的结论：2(a 2＋b 2 )≥(a＋b) 2． 利用指对数的运算性质可以分别将积与和变为和与积． 二、积定和最小 【例 4】求 y＝ x＋ 1 x＋1 (x＞－ 1)最小值； 变：①．x＜－ 1，求最大值； ②．若 x＞－ 1，求 y＝ log2 (x＋ 1 x＋1 ＋3)最小值； ③．求 y＝ x 2＋ 2 1 4 1 x + 最小值； 【解】因 x＞－ 1，故 y＝ x＋ 1 x＋1 ＝ x＋1＋ 1 x＋1 － 1≥ 2－ 1＝ 1，当且仅当 x＝ 0 时，等号成立， 故 y＝ x＋ 1 x＋1 (x＞－ 1)的最小值为 1． 变：①．因 x＜－ 1，故 y＝ x＋ 1 x＋1 ＝ x＋1＋ 1 x＋1 － 1≤ － 2－ 1＝ － 3，当且仅当 x＝ － 2 时， 等号成立，故 y＝ x＋ 1 x＋1 (x＜－ 1)的最小值为－ 3． ②．因 x＞－ 1，故 u＝ x＋ 1 x＋1 ＋3＝ x＋1＋ 1 x＋1 ＋2≥4，故 y＝ log2 (x＋ 1 x＋1 ＋3)≥ log2 4＝ 2， 当且仅当 x＝ 0 时，等号成立，故 y＝ log2 (x＋ 1 x＋1 ＋3)的最小值为 2． ③．y＝ x 2＋ 2 1 4 1 x + ＝ x 2＋ 1 4 ＋ 2 1 4 1 x + － 1 4 ≥1－ 1 4 ＝ 3 4 ，当且仅当 x＝ ± 1 2 时，等号成立，故 y＝ x 2＋ 2 1 4 1 x + 的最小值为 3 4 ． 利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最 小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方． 【例 5】当 x＞0 时，则 f(x)＝ 2x x 2＋1 的最大值为_____________． [审题视点]把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式． 【解】因 x＞0，故 f(x)＝ 2x x 2＋1 ＝ 2 x＋ 1 x ≤1，当且仅当 x＝ 1 x ，即 x＝ 1 时取等号．
【练习5】已知yx-2x>2),求最小值 变:x0),则x=t+2,故y=( 7(+2)=+7+4≥4+4=8,当且仅当 =2时,x=4时等号成立,故y=(-2)x2(x>2)的最小值为8 变:设x-2=1(0,y>0,且x+y=1,则 的最小值是 x+2y+1 【解】设x+2=s∈(2,3),y+1=t∈(1,2),则s+t=4,故 x+2 (s+-4)+(+1-2)=(+)-2.因(+)-2=(+)-2=1(415-22 故 y 【练习6】(1).设a>0,b>0,且ab=1,不等式-2,+ a2+1b2+1 ≤λ恒成立,则λ的取值范围是 解1a+1+b+1=(+b+=a+2+b2=a+b5b=1 【解二】-a +1b2 a+ba+ba+b√ab b b 2 ≤1,故λ≥1. a2+1b2+1a2+1 -+ (2.镇江市18高三期末统考设a,b∈R,且a+b=4,不等式1 a+1b2+的最大值为 18-2ab 【解】 a2+1b2+1(a2+1)(b2+1)a2b-2ab+1>,由b≤a+b),故ab≤4,即求函数 18-t t2-2+17∈(-∞,4的最大值即可 【例7】已知x>0,y>0,x+2y=1,求,1的最小值 变():已知x>0,y>0 1,求u=x+y的最小值 第5页共18页
第5页 共18页 【练习 5】已知 y＝ ( 1 x－2 )x 2 (x＞2)，求最小值； 变：x＜2，求最大值． 【解】设 x－ 2＝ t(t＞0)，则 x＝ t＋2，故 y＝ ( 1 x－2 )x 2＝ 1 t (t＋2) 2＝ t＋ 4 t ＋4≥ 4＋4＝ 8，当且仅当 t＝ 2 时，x＝ 4 时等号成立，故 y＝ ( 1 x－2 )x 2 (x＞2)的最小值为 8． 变：设 x－ 2＝ t(t＜0)，则 x＝ t＋2，故 y＝ ( 1 x－2 )x 2＝ 1 t (t＋2) 2＝ t＋ 4 t ＋4≤ － 4＋4＝ 0，当且仅 当 t＝ － 2 时，x＝ 0 时等号成立，故 y＝ ( 1 x－2 )x 2 (x＜2)的最大值为 0． 【例 6】设 x＞0，y＞0，且 x＋y＝ 1，则 2 2 2 1 x y x y + + + 的最小值是 ． 【解】设 x＋2＝ s∈ (2，3)，y＋1＝ t∈ (1，2)，则 s＋t＝ 4，故 2 2 2 2 ( 2) ( 1) 2 1 x y s t x y s t − − + = + = + + 4 1 4 1 ( 4) ( 2) ( ) 2 s t s t s t + − + + − = + − ．因 4 1 4 1 1 4 9 ( ) 2 ( )( ) 2 ( 5) 2 4 4 4 s t s t s t s t t s + + − = + − = + + − 1 2 4 − = ，故 2 2 1 2 1 4 x y x y + + + ． 【练习 6】⑴．设 a＞0，b＞0，且 ab＝1，不等式 2 2 1 1 a b a b + + + 恒成立，则 λ 的取值范围是 ． 【解一】 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 1 1 1 1 ( 1)( 1) 2 a b ab a a b b a b a b a b a b a b ab + + + + + = = = = + + + + + + + ； 【解二】 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 a b a b a b a b a b ab a b a b + = + = + = = + + + + + + + ； 【解三】 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 a b a a a a b a a a + = + = + + + + + ，故 1． ⑵．[镇江市 18 高三期末统考]设 a，b∈R，且 a＋b＝4，不等式 2 2 1 1 a b 1 1 + + + 的最大值为 ． 【解】 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 18 2 1 1 ( 1)( 1) 2 17 a b ab a b a b a b ab + + − + = = + + + + − + ，由 ab≤ 1 4 (a＋b) 2，故 ab≤4，即求函数 f(t)＝ 2 18 2 17 t t t − − + ，t∈(－∞，4]的最大值即可． 【例 7】已知 x＞0，y＞0，x＋2y＝ 1，求 u＝ 1 x ＋ 1 y 的最小值． 变⑴：已知 x＞0，y＞0， 1 x ＋ 2 y ＝ 1，求 u＝ x＋y 的最小值．
【解一】由x+2y=1得, 故 t∈ 1),则y=1-t,= 2t2+3t (2+)+33-22=3+2V5,当且仅当=y 1 时,即x=√2 2时取等号 【解二】u=+1+(x+2)=3+( 点+,因x>0,y>0,故u=3++23+2,当 且仅当=时,即x=√2-1,y=1-y时取等号 变(1).【解一】由 1得,x=y,则y>2,故=x+y= y,设y-2=1>0,则y =t+2,t -2=2+3+2)=3+(+≥3+2V,当且仅当1=√D时,即x=2+1,y =2+√2时取等号 【解三1】=x+y=(+2+3=3++3,因x>0,y>0,故m=3+(2+3=3+22,当 且仅当=时,即x=V2+1,=2+V2时取等号 变(2).若正数a,b满足a+b=2, +1b+1 的最小值是() 解a+1b+1a+1b+14a+1)+(b+1-41+4+1+1b+14+2k小9 b+14(a+1) b+14(a+1) 且仅当 a+1b+1 即a=3,b=3时取等号 【练习7】(1).已知a>1,b>0,且a+2b=2,则2 的最小值为 【解】由a+2b=2得,(a-1)+2b=1, 2-1+=21+b-2=2x2-1+3a-1)+2-2 2[3+ba-1)+2=1-2≥41+V2) (2).已知a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,则+一+的最小值是 【解2+b+2=2++a+2+4=4+份+2+2+52+2+5≥4+25+25+2=6+ 42,当且仅当a=V2b,a=c,c=V2b,即a=c=22-V2),b=3(√2-1)时,等号成立 【例8】若正数a,b满足+b-=1,则-1+b-1的最小值是 第6页共18页
第6页 共18页 【解一】由 x＋2y＝ 1 得，x＝ 1－ 2y，则 0＜y＜ 1 2 ，故 u＝ 1 x ＋ 1 y ＝ 2 1 2 y y y − − ，设 1－ y＝ t∈ ( 1 2 ， 1)，则 y＝ 1－ t， 2 2 1 1 2 2 3 1 1 (2 ) 3 y t u y y t t t t − = = = − − + − − + + ≥ 1 3－2 2 ＝ 3＋2 2，当且仅当 t＝ 2 2 时，即 x＝ 2－ 1，y＝ 1－ 2 2 时取等号． 【解二】u＝ 1 x ＋ 1 y ＝ ( 1 x ＋ 1 y )(x＋2y)＝ 3＋( x y ＋ 2y x )，因 x＞0，y＞0，故 u＝ 3＋( x y ＋ 2y x )≥3＋2 2，当 且仅当x y ＝ 2y x 时，即 x＝ 2－ 1，y＝ 1－ 2 2 时取等号． 变⑴．【解一】由 1 x ＋ 2 y ＝ 1 得，x＝ 2 y y − ，则 y＞2，故 u＝ x＋y＝ 2 2 y y y − − ，设 y－ 2＝ t＞0，则 y ＝ t＋2，u＝ 2 2 y y y − − ＝ 1 t (t 2＋3t＋2)＝ 3＋(t＋ 2 t )≥3＋2 2，当且仅当 t＝ 2时，即 x＝ 2＋1，y ＝ 2＋ 2时取等号． 【解二】u＝ x＋y＝ (x＋y)(1 x ＋ 2 y )＝ 3＋( y x ＋ 2x y )，因 x＞0，y＞0，故 u＝ 3＋( y x ＋ 2x y )≥3＋2 2，当 且仅当y x ＝ 2x y 时，即 x＝ 2＋1，y＝ 2＋ 2时取等号． 变⑵．若正数 a，b 满足 a＋b＝2，则 1 a＋1 ＋ 4 b＋1 的最小值是( ) 【解】 1 a＋1 ＋ 4 b＋1 ＝( 1 a＋1 ＋ 4 b＋1 )· 1 4 [(a＋1)＋(b＋1)]＝ 1 4 1＋4＋ b＋1 a＋1 ＋ 4(a＋1) b＋1 ≥ 1 4 (5＋2 4)＝ 9 4 ，当 且仅当b＋1 a＋1 ＝ 4(a＋1) b＋1 ，即 a＝ 1 3 ，b＝ 5 3 时取等号． 【练习 7】⑴．已知 a＞1，b＞0，且 a＋2b＝2，则 2 1 a－1 ＋ a b 的最小值为____________________． 【解】由 a＋2b＝2 得，(a－1)＋2b＝1，2 1 a－1 ＋ a b ＝2( 1 a－1 ＋ 1 b )－2＝2( 1 a－1 ＋ 1 b )[(a－1)＋2b]－2＝ 2[3＋ 1 b (a－1)＋2 b a－1 ]－2≥4(1＋ 2)． ⑵．已知 a，b，c 都是正数，且 a＋2b＋c＝ 1，则 1 a ＋ 1 b ＋ 1 c 的最小值是 ． 【解】1 a ＋ 1 b ＋ 1 c ＝ ( 1 a ＋ 1 b ＋ 1 c )(a＋2b＋c)＝ 4＋( a b ＋ 2b a )＋(2 b c ＋ c b )＋( a c ＋ c a )≥4＋2 2＋2 2＋2＝ 6＋ 4 2，当且仅当 a＝ 2b，a＝ c，c＝ 2b，即 a＝ c＝ 1 2 (2－ 2)，b＝ 1 2 ( 2－ 1)时，等号成立． 【例 8】若正数 a，b 满足1 a ＋ 1 b ＝1，则 1 a－1 ＋ 9 b－1 的最小值是________．
【解】因正数ab满足+=1,故b=1>0,解得a>1.同理可得b>1,故21+ 11+%a-1)≥6,当且仅当a=1=9a-1),即a=时等号成立,故最小值为6 】由+=1得,mb=a+,即a-1Xb-12=,故+21≥6 4x9 【练习8】已知正数x,y满足+=1,则 的最小值为 4 【解】 知,xy=x+y,即(x-1)y-1)=1,故—, =13+ ≥13+12 【例9】若x,y∈R,且x+2y=1,求z=2x+4的最小值 【解】:=2+4≥2324=22+1=22,当且仅当x=2y=时,等号成立,故:=2+4 的最小值为2V2 【练习9】(1).已知x>0,y>0,logx+ loggy=4,求u=x+y的最小值 (2).求y=log3x+4log3(x>1)的最小值;变:01,01,故logx>0,log3>0,故y=logx+4g3≥2√4(og3x)(og3)=4,当且仅 当x=9时,等号成立,故y=log3x+4log3(x>1)的最小值为4 3.因00,lgy>0,故log()=logx+lgy≥2 hoga r logar =2,当且仅当x=y=a时,等号成立,故log(xy)≥2=log2,故xy有最大值为a2 变题:①.因01,01,10,log>0,故ogx)= logar+log≥2√ log, xlog, y=2 当且仅当x=y=a时,等号成立,故 logd(ry)≥2=loga2,xy有最小值为a2 【例10】求下列函数的最小值 第7页共18页
第7页 共18页 【解一】因正数 a，b 满足1 a ＋ 1 b ＝1，故 b＝ a a－1 ＞0，解得 a＞1．同理可得 b＞1，故 1 a－1 ＋ 9 b－1 ＝ 1 a－1 ＋ 9 a a－1 －1 ＝ 1 a－1 ＋9(a－1)≥6，当且仅当 1 a－1 ＝9(a－1)，即 a＝ 4 3 时等号成立，故最小值为 6． 【解二】由1 a ＋ 1 b ＝1 得，ab＝a＋b，即(a－1)(b－1)＝1，故 1 a－1 ＋ 9 b－1 ≥6． 【练习 8】已知正数 x，y 满足1 x ＋ 1 y ＝1，则 4 9 1 1 x y x y + − − 的最小值为 ． 【解】由1 x ＋ 1 y ＝1 知，xy＝x＋y，即(x－1)(y－1)＝1，故 4 9 1 1 x y x y + − − ＝13＋ 4 9 x y 1 1 + − − ≥13＋12 ＝25． 【例 9】若 x，y∈R，且 x＋2y＝ 1，求 z＝ 2 x＋4 y的最小值． 【解】z＝ 2 x＋4 y≥2 2 x·4y＝2 2 x＋2y＝ 2 2，当且仅当 x＝ 1 2 ，y＝ 1 4 时，等号成立，故 z＝ 2 x＋4 y 的最小值为 2 2． 【练习 9】⑴．已知 x＞0，y＞0，log 2x＋log 2y＝ 4，求 u＝ x＋y 的最小值． ⑵．求 y＝ log3 x＋4logx3(x＞1)的最小值；变：0＜x＜1，求最大值． ⑶．已知 0＜a＜1，0＜x≤y＜1，且 logaxlogay＝ 1，则 xy 有 值；其值为 ． 变：①．0＜a＜1，1＜x≤y，xy 有 值；其值为 ． ②．a＞1，0＜x≤y＜1，xy 有 值；其值为 ． ③．a＞1，1＜x≤y，xy 有 值，其值为 ． 【解】⑴．由 log 2x＋log 2y＝ 4 得，log 2(xy)＝ 4，即 xy＝ 4，故 u＝ x＋y≥2 xy＝ 4，当且仅 当 x＝ y＝ 2 时，等号成立，故 u＝ x＋y 的最小值为 4． ⑵．因 x＞1，故 log3 x＞0，logx3＞0，故 y＝ log3 x＋4logx3≥2 4(log ) (log 3) 3 x x ＝ 4，当且仅 当 x＝ 9 时，等号成立，故 y＝ log3 x＋4logx3(x＞1)的最小值为 4． ⑶．因 0＜a＜1，0＜x≤y＜1，故 logax＞0，logay＞0，故 loga(xy)＝ logax＋logay≥2 log log a a x y ＝ 2，当且仅当 x＝ y＝ a 时，等号成立，故 loga(xy)≥2＝ logaa 2，故 xy 有最大值为 a 2． 变题：①．因 0＜a＜1，1＜x≤y，故 logax＜0，logay＜0，故 loga(xy)＝ logax＋logay≤－ 2 log log a a x y ＝ － 2，当且仅当 x＝ y＝ a 时，等号成立，故 loga(xy)≤－ 2＝ loga 1 a 2，xy 有最小值为 1 a 2． ②．因 a＞1，0＜x≤y＜1，故 logax＜0，logay＜0，故 loga(xy)＝ logax＋logay≤－ 2 log log a a x y ＝ － 2，当且仅当 x＝ y＝ a 时，等号成立，故 loga(xy)≤－ 2＝ loga 1 a 2，xy 有最大值为 1 a 2． ③．因 a＞1，1＜x≤y，故 logax＞0，logay＞0，故 loga(xy)＝ logax＋logay≥2 log log a a x y ＝ 2， 当且仅当 x＝ y＝ a 时，等号成立，故 loga(xy)≥2＝ logaa 2，xy 有最小值为 a 2． 【例 10】求下列函数的最小值
Ax(x2+):(2).y=√r+1 (3),已知a>0,b>0,且a+b=1,求y=ab+的最小值; 【解】①).y=、+4 1(x2+5)=-}(x+41)=P++ 因√x2+4≥2,由y=1+在 x2+4 2.+上单调递增,故y女++5的最小值 (2).y 3,因x+3≥3,由y=1+-3在[3,+∞)上单调 递增,故 y=vr+ I 的最小值为 (3).因a>0,b>0,且a+b=1,故ab≤( a+b2=1,即ab∈(0, 而y=1+,在(0,a上单调 递减,故y=ab+ab的最小值为4 三、其他方法最极值 放缩法 【例11】已知a>0,b>0,且ab=a+b+3,求ab以及a+b的最小值 【解一】由ab=a+b+3得,(a-1)b-1)=4,故ab=[(a-1)+1](b-1)+1]=(a-1)(b- 1)+(a-1)+(b-1)+1=5+(a-1)+(b-1)≥5+2√a-1b-1)=9,当且仅当a=b=3时 取得最小值:而a+b=(-1)+(b-1)+2≥2+2√a-1b-1)=6,当且仅当a=b=3时,取 得最小值6 【解二】因a>0,b>0,故ab=a+b+3≥2、Vab+3,即ab-2Vab-3≥0,即(ab+1)(√amb 3)≥0,即ab≥3,则ab≥9,当且仅当a=b=3时,取得最小值9;而a+b+3=ab≤())P 即a+b)-4(a+b)-12≥0,即(a+b+2a+b-6)≥0,当且仅当a=b=3时,取得最小值6 【练习11】(1).已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是 (2).若实数x,y满足4+4=2x+1+2+,则2+2的取值范围是 【解一】(1).由x+2y+2xy=8得,x(2y)+x+2y+1=9,即(x+1)(2y+1)=9,则x+2y=(x+1) +(2y+1)≥6-2=4,当且仅当x=2,y=1时,取得最小值 【解二】由x>0,y>0知,x+2y+2x=8=x+2y+x(2y)≤x+2y+4x+2y)2,故(x+2y)2+4(x+ 2y)-32≥0,即(x+2y-4x+2y+8)≥0,故x+2y≥4,即x+2y的最小值是4,当且仅当x=2, y=1时,取得最小值 2).【解一】由4+4=2x1+2+1得,(2x+2)2-2(22)=2(2x+2),则02且(2x+2)-4(2+2)≤0,即(2+22+2-4)≤0,故2x +2-4≤0,即20,q=2>0,则(* 第8页共18页
第8页 共18页 ⑴．y＝ 1 x 2＋4 (x 2＋5)；⑵． 1 3 y x x = + + ； ⑶．已知 a＞0，b＞0，且 a＋b＝ 1，求 y＝ ab＋ 1 ab的最小值； 【解】⑴．y＝ 1 x 2＋4 (x 2＋5)＝ 1 x 2＋4 (x 2＋4＋1)＝ x 2＋4＋ 1 x 2＋4 ，因 x 2＋4≥2，由 y＝ t＋ 1 t 在 [2，＋∞)上单调递增，故 y＝ 1 x 2＋4 (x 2＋5)的最小值为5 2 ； ⑵． 1 1 ( 3) 3 3 3 y x x x x = + = + + − + + ，因 x＋3≥3，由 y＝ t＋ 1 t － 3 在[3，＋∞)上单调 递增，故 1 3 y x x = + + 的最小值为1 3 ； ⑶．因 a＞0，b＞0，且 a＋b＝ 1，故 ab≤( a＋b 2 ) 2＝ 1 4 ，即 ab∈(0， 1 4 ]，而 y＝ t＋ 1 t 在(0， 1 4 ]上单调 递减，故 y＝ ab＋ 1 ab的最小值为17 4 ． 三、其他方法最极值 放缩法 【例 11】已知 a＞0，b＞0，且 ab＝ a＋b＋3，求 ab 以及 a＋b 的最小值； 【解一】由 ab＝ a＋b＋3 得，(a－ 1)(b－ 1)＝ 4，故 ab＝ [(a－ 1)＋1][(b－ 1)＋1]＝ (a－ 1)(b－ 1)＋(a－ 1)＋(b－ 1)＋1＝ 5＋(a－ 1)＋(b－ 1)≥5＋2 ( 1)( 1) a b − − ＝ 9，当且仅当 a＝ b＝ 3 时， 取得最小值；而 a＋b＝ (a－ 1)＋(b－ 1)＋2≥2＋2 ( 1)( 1) a b − − ＝ 6，当且仅当 a＝ b＝ 3 时，取 得最小值 6． 【解二】因 a＞0，b＞0，故 ab＝ a＋b＋3≥2 ab＋3，即 ab－ 2 ab－ 3≥0，即( ab＋1)( ab－ 3)≥0，即 ab≥3，则 ab≥ 9，当且仅当 a＝ b＝ 3 时，取得最小值 9；而 a＋b＋3＝ ab≤( a＋b 2 ) 2， 即(a＋b) 2－ 4(a＋b)－ 12≥ 0，即(a＋b＋2)(a＋b－ 6)≥ 0，当且仅当 a＝ b＝ 3 时，取得最小值 6． 【练习 11】⑴．已知 x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝ 8，则 x＋2y 的最小值是 _________ ． ⑵．若实数 x，y 满足 4 x＋4 y＝ 2 x ＋1＋2 y＋1，则 2 x＋2 y的取值范围是_______________． 【解一】⑴．由 x＋2y＋2xy＝ 8 得，x(2y)＋x＋2y＋1＝ 9，即(x＋1)(2y＋1)＝ 9，则 x＋2y＝ (x＋1) ＋(2y＋1)≥ 6－ 2＝ 4，当且仅当 x＝ 2，y＝ 1 时，取得最小值． 【解二】由 x＞0，y＞0 知，x＋2y＋2xy＝ 8＝ x＋2y＋x(2y)≤x＋2y＋ 1 4 (x＋2y) 2，故(x＋2y) 2＋4(x＋ 2y)－ 32≥ 0，即(x＋2y－ 4)( x＋2y＋8)≥0，故 x＋2y≥4，即 x＋2y 的最小值是 4，当且仅当 x＝ 2， y＝ 1 时，取得最小值． ⑵．【解一】由 4 x＋4 y＝ 2 x＋1＋2 y＋1得，(2x＋2 y ) 2－ 2(2 x 2 y )＝ 2(2 x＋2 y )，则 0＜(2x＋2 y ) 2－ 2(2 x＋2 y ) ＝ 2(2 x2 y )≤ 1 2 (2x＋2 y ) 2，故 2 x＋2 y＞2 且(2x＋2 y ) 2－ 4(2x＋2 y )≤0，即(2x＋2 y )(2x＋2 y－ 4)≤0，故 2 x ＋2 y－ 4≤ 0，即 2＜2 x＋2 y≤4，即 2 x＋2 y 的最大值是 4，当且仅当 x＝ y＝ 1 时，等号成立，即 2 x ＋2 y的取值范围是(2，4]． 【解二】由 4 x＋4 y＝ 2 x ＋1＋2 y＋1 得，(2x ) 2＋(2y ) 2－ 2(2 x＋2 y )＝ 0(*)，设 p＝ 2 x＞0，q＝ 2 y＞0，则(*)
即(P-1)+(-1)2=2,即为以(1,1)为圆心,为半径的圆在第一象限的部分,设z=p+q, 则由直线:=p+q与圆有公共点知,￥12-=|≤V2,解得,20,q=2y>0,则(* 即p-1)+(q-1)=2,即为以(,1为圆心,√2为半径的圆在第一象限的部分,设p+q=如2 +q2),而p2+q2的几何意义为点(p,q)到原点O(0,0)的距离的平方,故最大值为直径的平方为8, 故p+g=22+)=2×8=4 3).【盐城市2014届高三第三次模拟】若实数x,y满足x≥-1,y≥-1且2+2=42+4,则22 +23x的取值范围是 【解】设2=,2=,则a,v∈,+),则2+2=4+4即(a-2)2+(y-2)=2,即(a,在 以,2)为圆心,为半径的圆上,又m,ve,+o),故m,v∈,2+2,又由2+2=4+ 4知,22(2+29-(2+2,设=2+2∈+￥2,21,故2-+20-= 1)+=1,易知1-(-1)+=1在(1+2,21上单调递减,由∈+2,2知,-1∈2, 故2x+2x的取值范围是2,1+ 方法总结】处理二元变量问题的策略:①.消元;②.借助于解析几何中的曲线来处理. 例12】设x,y为实数,若4x2+xy+y2=1,则2x+y的最大值是 【解一】设2x+y=1,则y=1-2x代入4x2+x+y2=1中有,6x2-3x+-1=0,将它看作 一个关于x的二次方程,则由方程6x2-31x+p2-1=0有解可得,Δ≥0解得, 10 2√10 故2x+y的最大值为21 【解二1=42+3y+y2=(2x+y)-32y2x+y-32x+y),可解得2x+y的最大值为2① 方法总结》在利用基本不等式进行放缩时,若已知条件为a>0,b>0,则应用ab≤,或 进行放蝙;若已知条件为a,b∈R,则用一(2+6)≤20b≤a2+或十位≥(+≥ab 进行放编 函数法 【例13】若实数a,b,c满足 22÷1,、2+=1,则c的最大值是 【解】1 20+b+24++2 xb≥1 3 即c≤lg24.故c的最大值是为2-10g23(或log 第9页共18页
第9页 共18页 即(p－ 1) 2＋(q－ 1) 2＝ 2，即为以(1，1)为圆心， 2为半径的圆在第一象限的部分，设 z＝ p＋q， 则由直线 z＝ p＋q 与圆有公共点知， 2 2 |2－ z|≤ 2，解得，2＜z≤4． 【解三】由 4 x＋4 y＝ 2 x ＋1＋2 y＋1 得，(2x ) 2＋(2y ) 2－ 2(2 x＋2 y )＝ 0(*)，设 p＝ 2 x＞0，q＝ 2 y＞0，则(*) 即(p－ 1) 2＋(q－ 1) 2＝ 2，即为以(1，1)为圆心， 2为半径的圆在第一象限的部分，设 p＋q＝ 1 2 (p 2 ＋q 2 )，而 p 2＋q 2的几何意义为点(p，q)到原点 O(0，0)的距离的平方，故最大值为直径的平方为 8， 故 p＋q＝ 1 2 (p 2＋q 2 )≤ 1 2 ×8＝ 4． ⑶．【盐城市 2014 届高三第三次模拟】若实数 x，y 满足 x≥－1，y≥－1 且 2 x＋2 y＝4 x＋4 y，则 2 2x －y＋2 2y－x 的取值范围是 ． 【解】设 2 x＝u，2 y＝v，则 u，v∈[ 1 2 ，＋∞)，则 2 x＋2 y＝4 x＋4 y 即(u－ 1 2 ) 2＋(v－ 1 2 ) 2＝ 1 2 ，即(u，v)在 以( 1 2 ， 1 2 )为圆心， 2 2 为半径的圆上，又 u，v∈[ 1 2 ，＋∞)，故 u，v∈[ 1 2 ， 1 2 ＋ 2 2 ]，又由 2 x＋2 y＝4 x＋ 4 y 知，2(2 x2 y )＝(2 x＋2 y ) 2－(2 x＋2 y )，设 t＝2 x＋2 y∈[1＋ 2 2 ，2]，故 2 2x－y＋2 2y－x＝ 1 t－1 (3t－t 2 )＝1－(t －1)＋ 2 t－1 ，易知 1－(t－1)＋ 2 t－1 在[1＋ 2 2 ，2]上单调递减，由 t∈[1＋ 2 2 ，2]知，t－1∈[ 2 2 ，1]， 故 2 2x－y＋2 2y－x的取值范围是[2，1＋ 3 2 2 ]． 【方法总结】处理二元变量问题的策略：①．消元；②．借助于解析几何中的曲线来处理． 【例 12】设 x，y 为实数，若 4x 2＋xy＋y 2＝ 1，则 2x＋y 的最大值是 ． 【解一】设 2x＋y＝ t，则 y＝ t－ 2x 代入 4x 2＋xy＋y 2＝ 1 中有，6x 2－ 3tx＋t 2－ 1＝ 0，将它看作 一个关于 x 的二次方程，则由方程 6x 2－ 3tx＋t 2－ 1＝ 0 有解可得，Δ≥0 解得，－ 2 10 5 ≤t≤ 2 10 5 ， 故 2x＋y 的最大值为2 10 5 ． 【解二】1＝ 4x 2＋xy＋y 2＝ (2x＋y) 2－ 3 2 (2x)y≥(2x＋y) 2－ 3 8 (2x＋y) 2，可解得 2x＋y 的最大值为2 10 5 ． 在利用基本不等式进行放缩时，若已知条件为 a＞0，b＞0，则应用 ab≤ a＋b 2 或 ab≤ ( a＋b 2 ) 2 进行放缩；若已知条件为 a，b∈R，则用－ (a 2＋b 2 )≤ 2ab≤a 2＋b 2或 a 2＋b 2 2 ≥( a＋b 2 ) 2≥ab 进行放缩． 函数法 【例 13】若实数 a，b，c 满足 1 1 1 2 2 a b + = ， 1 1 1 1 2 2 2 a b b c c a + + + + + = ，则 c 的最大值是 ． 【解】 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b c b a a b c + + + + + = + + = + + = + ，故 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 c a b a b + = − = − − 2 1 1 3 2 2 ( ) 2 4 a b + = ，则 2 c≤ 4 3 ，即 c≤log2 4 3 ，故 c 的最大值是为 2－ log2 3(或 log2 4 3 )．
【练习13】若实数a,b,c满足:lg(100+10)=a+b,lg(100+10+109)=a+b+c,则c的最大 值是 【解】由lg(10+10)=a+b及lg(10+10+10)=a+b+c知,10°÷10+b 106-1,由g(10+1) +b知,10+10=10+b,故10+b=10+10≥2√100,即10b≥4,则1010b 1+ 106-13,故c的最大值是为lg 【例14】已知a>0,b>0,且a+b=1,求z=a2+b2最小值 变:①.已知a≥0,b≥0,且a十b=1,求z=a2+b2最大值与最小值 ②.已知a,b∈R,且a+b=1,求z=a2+b2最小值 【解-】1=(a+b)2=a2+2ab+b2≤2(a2+b),故a2+b2≥,当且仅当a=b=2时,z=a2+b2 最小值为 【解二】a+b=1表示经过点AO,1)及B(1,0)的直线在AB之间的线段(不包括端点A,B),而z 2+b2表示线段AB上的点到原点的距离的平方,易知a2+b2≥,当且仅当a=b=时,z a2+b2最小值为 变:①.【解一】1=(a+b)2=a2+2ab+b2≤2a2+b2,故a2+b2≥,当且仅当a=b=时,z =a2+b2最小值为2,而=a2+b2最大值为1(a=1,b=0或a=0,b=1 【解二】a+b=1表示经过点A(0,1)及B(1,0)的直线在AB之间的线段(不包括端点A,B),而z a2+b2表示线段AB上的点到原点的距离的平方,易知a2+b2≥),当且仅当a=b≈上时,z= a2+b最小值为2,而=a2+b2最大值为1a=1,b=0或a=0,b=1) ②.【解一】1=(a+b)2=a2+2ab+b2≤2a2+b2,故a2+b2≥,当且仅当a=b=时,z=a b2最小值为,无最大值 【解二】a+b=1表示经过点A(0,1)及B(1,0)的直线在AB之间的线段(不包括端点A,B),而 =a2+b2表示线段AB上的点到原点的距离的平方,易知a2+b2≥,当且仅当a=b=)时,z= a2+b2最小值为方,无最大值 【练习13】(1).已知a>0,b>0,且a2+b2=1,求z=a+b最大值 变;①.已知a≥0,b≥0,且a2+b2=1,求z=a+b最大值与最小值 ②.已知a,b∈R,且a2+b2=1,求z=a+b最大值与最小值. 第10页共18页
第10页 共18页 【练习 13】若实数 a，b，c 满足：lg(10a＋10b )＝ a＋b，lg(10a＋10b＋10 c )＝ a＋b＋c，则 c 的最大 值是 ． 【解】由 lg(10a＋10b )＝ a＋b 及 lg(10a＋10b＋10c )＝ a＋b＋c 知， 10 10 10 1 a b c a b + + = − ，由 lg(10a＋10b ) ＝ a＋b 知，10a＋10b＝ 10 a ＋b，故 10 a ＋b ＝ 10a＋10b ≥2 10a b+ ，即 10 a ＋b≥4，则 10 10 10 1 a b c a b + + = − ＝ 1＋ 1 10 1 a b+ − ≤ 4 3 ，故 c 的最大值是为 lg4 3 ． 【例 14】已知 a＞0，b＞0，且 a＋b＝ 1，求 z＝ a 2＋b 2 最小值． 变：①．已知 a≥0，b≥0，且 a＋b＝ 1，求 z＝ a 2＋b 2 最大值与最小值． ②．已知 a，b∈R，且 a＋b＝ 1，求 z＝ a 2＋b 2最小值． 【解一】1＝ (a＋b) 2＝ a 2＋2ab＋b 2≤2(a 2＋b 2 )，故 a 2＋b 2≥ 1 2 ，当且仅当 a＝ b＝ 1 2 时，z＝ a 2＋b 2 最小值为 1 2 ． 【解二】a＋b＝ 1 表示经过点 A(0，1)及 B(1，0)的直线在 AB 之间的线段(不包括端点 A，B)，而 z ＝ a 2＋b 2 表示线段 AB 上的点到原点的距离的平方，易知 a 2＋b 2≥ 1 2 ，当且仅当 a＝ b＝ 1 2 时，z＝ a 2＋b 2 最小值为 1 2 ． 变：①．【解一】1＝ (a＋b) 2＝ a 2＋2ab＋b 2≤2(a 2＋b 2 )，故 a 2＋b 2≥ 1 2 ，当且仅当 a＝ b＝ 1 2 时，z ＝ a 2＋b 2 最小值为 1 2 ，而 z＝ a 2＋b 2 最大值为 1(a＝ 1，b＝ 0 或 a＝ 0，b＝ 1)． 【解二】a＋b＝ 1 表示经过点 A(0，1)及 B(1，0)的直线在 AB 之间的线段(不包括端点 A，B)，而 z ＝ a 2＋b 2 表示线段 AB 上的点到原点的距离的平方，易知 a 2＋b 2≥ 1 2 ，当且仅当 a＝ b＝ 1 2 时，z＝ a 2＋b 2 最小值为 1 2 ，而 z＝ a 2＋b 2 最大值为 1(a＝ 1，b＝ 0 或 a＝ 0，b＝ 1)． ②．【解一】1＝ (a＋b) 2＝ a 2＋2ab＋b 2≤2(a 2＋b 2 )，故 a 2＋b 2≥ 1 2 ，当且仅当 a＝ b＝ 1 2 时，z＝ a 2 ＋b 2 最小值为 1 2 ，无最大值． 【解二】a＋b＝ 1 表示经过点 A(0，1)及 B(1，0)的直线在 AB 之间的线段(不包括端点 A，B)，而 z ＝ a 2＋b 2 表示线段 AB 上的点到原点的距离的平方，易知 a 2＋b 2≥ 1 2 ，当且仅当 a＝ b＝ 1 2 时，z＝ a 2＋b 2 最小值为 1 2 ，无最大值． 【练习 13】⑴．已知 a＞0，b＞0，且 a 2＋b 2＝ 1，求 z＝ a＋b 最大值． 变：①．已知 a≥0，b≥0，且 a 2＋b 2＝ 1，求 z＝ a＋b 最大值与最小值． ②．已知 a，b∈R，且 a 2＋b 2＝ 1，求 z＝ a＋b 最大值与最小值．