2.1函数的基本性质 深圳市坪山高级中学 董莹 一、教学目标 1.结合具体函数，了解函数单调性的含义： 2.会运用函数奇偶性的定义和函数的图象理解研究函数的奇偶性： 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 二、教学重点 1.回顾和理解函数的三大性质单调性、奇偶性以及周期性基础知识，掌握其概念的应 用，一般是判断单调性、求参数或求值： 2.掌握运用基础知识处理函数性质的综合应用题的解题思路.其中奇偶性多与单调性 相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主， 三、教学难点 掌握周期性与抽象函数结合类的题型高考对函数周期性的考查，常与抽象函数结合， 题型主要以选择题或填空的形式出现，常涉及函数求值问题，且与函数的单调性、奇偶性相 结合命题 四、教学过程 (一)考情解读 设计意图：对2016年广东开始高考卷之后的全国卷类型题进行整合，以表格形式呈现， 一目了然，分析可得函数的基本性质是高考的常考内容，题型一般为选择填空，占分一般为 5-10分.紧接着分析考点内容，明确复习方向 (二)知识梳理 设计意图：对函数的单调性、奇偶性、周期性的定义、图像特点等进行梳理，把重点内 容标红，并进行相应讲解，为后面的题型讲解奠定知识基础 1.单调函数的定义及几何意义2.函数的最值3.函数的奇偶性4.周期性 (三)典例分析 题型一：函数的单调性 设计意图：精选了两道单调性的题目作为例题，例1为简单地应用单调性定义及函数图像特 征判断单调性的题目，通过此题老师可带领学生总结判断函数单调性的方法：定义法、图像 法等：例2为已知分段函数单调性求参数范围的题目，通过此题巩固应用单调性求参数、不 等式等题型
2.1 函数的基本性质 深圳市坪山高级中学 董莹 一、教学目标 1．结合具体函数，了解函数单调性的含义； 2．会运用函数奇偶性的定义和函数的图象理解研究函数的奇偶性； 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 二、教学重点 1．回顾和理解函数的三大性质单调性、奇偶性以及周期性基础知识，掌握其概念的应 用，一般是判断单调性、求参数或求值； 2．掌握运用基础知识处理函数性质的综合应用题的解题思路. 其中奇偶性多与单调性 相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主． 三、教学难点 掌握周期性与抽象函数结合类的题型.高考对函数周期性的考查，常与抽象函数结合， 题型主要以选择题或填空的形式出现，常涉及函数求值问题，且与函数的单调性、奇偶性相 结合命题. 四、教学过程 （一）考情解读 设计意图：对 2016 年广东开始高考卷之后的全国卷类型题进行整合，以表格形式呈现， 一目了然，分析可得函数的基本性质是高考的常考内容，题型一般为选择填空，占分一般为 5-10 分.紧接着分析考点内容，明确复习方向. （二）知识梳理 设计意图：对函数的单调性、奇偶性、周期性的定义、图像特点等进行梳理，把重点内 容标红，并进行相应讲解，为后面的题型讲解奠定知识基础. 1.单调函数的定义及几何意义 2.函数的最值 3.函数的奇偶性 4.周期性 （三）典例分析 题型一：函数的单调性 设计意图：精选了两道单调性的题目作为例题，例 1 为简单地应用单调性定义及函数图像特 征判断单调性的题目，通过此题老师可带领学生总结判断函数单调性的方法：定义法、图像 法等；例 2 为已知分段函数单调性求参数范围的题目，通过此题巩固应用单调性求参数、不 等式等题型
【例1】(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为( A.f(x)=-x B.f)=3 C.f(x)=x2 D.f()=派 【例2】已知函数f(x)= (3a-1)x+3a,x< -x2+1x≥1 在R上单调递减，则实数a的取值范围是( ag司 a c. .(G+) 题型二：函数的奇偶性 设计意图：精选了两道奇偶性的题目作为例题，例1为简单地应用奇偶性定义求参数的题目， 通过此题老师可带领学生巩固奇偶性的定义及图像特征：例2为奇偶性与分段函数结合的题 目，但只要把握奇偶性的定义，可很快解决，通过此题再次强化奇偶性相关知识 【例1】(2021全国I卷)已知函数f(x)=x3(a·2-2)是偶函数，则a= 【例2】(2019全国Ⅱ卷)设fx)为奇函数，且当x20时，x)=e-1,则当x<0时，x)= A.e--1 B.ex+l C.-e-*-l D.-e *+1 题型三：函数的周期性 设计意图：由于周期性一般与抽象函数及奇偶性相结合，题目比较综合这里选取了一道直 接利用周期性定义进行求值的题目，教师通过此题引导学生回顾求值由内到外的原则及分段 函数求值的相关知识，巩固周期性的定义，为下一题型综合题奠定基础 【例1】(2018江苏卷)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上， ,0<x≤2， cos 2 f(x)= 则f(f(15)的值为 x+2 -2<x≤0 题型四：函数性质的综合应用 设计意图：精选了两道函数性质的综合应用的题型例1为单调性与奇偶性相结合解不等式 的相关问题，教师可引导学生将此类己知单调性和奇偶性的抽象函数问题具体化画图来思考， 紧紧扣住定义解题例2为奇偶性与周期性相结合求值的题，通过此题再次巩固奇偶性和周 期性的定义，将题目己知条件转化为熟悉的定义再去解题
【例 1】（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为（ ） A． f x x B． 2 3 x f x C． 2 f x x D． 3 f x x 【例 2】已知函数 2 3 1 3 , 1 1, 1 a x a x f x x x 在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A． 1 1 , 6 3 B． 1 1 , 6 3 C． 1 , 3 D． 1 1 , , 6 3 题型二：函数的奇偶性 设计意图：精选了两道奇偶性的题目作为例题，例 1 为简单地应用奇偶性定义求参数的题目， 通过此题老师可带领学生巩固奇偶性的定义及图像特征；例 2 为奇偶性与分段函数结合的题 目，但只要把握奇偶性的定义，可很快解决，通过此题再次强化奇偶性相关知识. 【例 1】（2021·全国Ⅰ卷）已知函数 3 2 2 x x f x x a 是偶函数，则 a ______. 【例 2】（2019·全国Ⅱ卷）设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)= e 1 x ，则当 x<0 时，f(x)= A． e 1 x B．e 1 x C． e 1 x D． e 1 x 题型三：函数的周期性 设计意图：由于周期性一般与抽象函数及奇偶性相结合，题目比较综合.这里选取了一道直 接利用周期性定义进行求值的题目，教师通过此题引导学生回顾求值由内到外的原则及分段 函数求值的相关知识，巩固周期性的定义，为下一题型综合题奠定基础. 【例 1】（2018·江苏卷）函数 f x 满足 f x 4 f x xR，且在区间2,2 上， π cos ,0 2, 2 1 , 2 0, 2 x x f x x x 则 f f 15 的值为________． 题型四：函数性质的综合应用 设计意图：精选了两道函数性质的综合应用的题型.例 1 为单调性与奇偶性相结合解不等式 的相关问题，教师可引导学生将此类已知单调性和奇偶性的抽象函数问题具体化画图来思考， 紧紧扣住定义解题.例 2 为奇偶性与周期性相结合求值的题，通过此题再次巩固奇偶性和周 期性的定义，将题目已知条件转化为熟悉的定义再去解题
【例1】(2017·全国I卷)函数f(x)在(-o,+o)单调递减，且为奇函数，若f①)=-1， 则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是() A[-2,2] B[-1, C0,4] D[L,3 【例2】(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(-0，+o)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x), 若f()=2,则fI)+f(2)+f3)+…+f(50=() A.-50 B.0 C.2 D50 (四)巩固练习 设计意图：精选了三道题作为练习题第一题考查单调性的判断和奇偶性定义，再次巩固函 数基本性质的概念，为基础题第二题为单调性与奇偶性相结合解不等式的相关问题，巩固 数形结合思想第三题为奇偶性和周期性相结合求值的题，为自编题，难度系数不高，巩固 学生对周期性和奇偶性的概念理解，提高信心 1.(2020全国Ⅱ卷)设函数f=-子则f() A.是奇函数，且在(0，+∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0，+∞)单调递减 C.是偶函数，且在(0，+∞)单调递增 D.是偶函数，且在(0，+∞)单调递减 2.(2014全国IⅡ卷)已知偶函数f(x)在[0，+o)单调递减，f(2)=0.若f(x-1)>0, 则x的取值范围是 3.已知函数f(x)是R上的奇函数，对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x),若f(-2)=2, 则f(2022)=() A.2022 B.2 C.-2022 D.-2 (五)总结提升 设计意图：制作了本节课的思维导图，引导同学们再次巩固函数基本性质高考重点考查的题 型及其对应方法 判断：图像法、定义法、复合函数法 单调性 应用：比较大小、解不等式、求值域或最值 判断：定义法、图像法 函数的基本性质 奇偶性 应用：求值、求参数等 判断：fx)=fx+T) 周期性 应用：求值
2017 ( , ) (1) 1 1 ( 2) 1 A.[ 2, 2] B.[ 1,1] C.[0, 4] D.[1,3] f x f f x x 【例1】（ 全国Ⅰ卷）函数 在 单调递减，且为奇函数，若 ， 则满足 ≤ ≤ 的 的取值范围是（ ） ( , ) (1 ) (1 ). (1) 2 (1) (2) (3) (50 2018 A. 50 B.0 C.2 D. 0 ) 5 f x f x f f f f f f x 若 ，则 … （ 【例2】（ 全国Ⅱ卷）已知 是定义域为 的奇函数，满足 ） （四）巩固练习 设计意图：精选了三道题作为练习题.第一题考查单调性的判断和奇偶性定义，再次巩固函 数基本性质的概念，为基础题.第二题为单调性与奇偶性相结合解不等式的相关问题，巩固 数形结合思想.第三题为奇偶性和周期性相结合求值的题，为自编题，难度系数不高，巩固 学生对周期性和奇偶性的概念理解，提高信心. 1.（2020·全国Ⅱ卷）设函数 3 3 1 f x x x ，则 f x （ ） A．是奇函数，且在0 , 单调递增 B．是奇函数，且在0 , 单调递减 C．是偶函数，且在0 , 单调递增 D．是偶函数，且在0 , 单调递减 2．(2014·全国Ⅱ卷)已知偶函数 f(x)在[0,)单调递减， f(2) 0 ．若 f(x - 1) 0 ， 则 x 的取值范围是__________． 3 R , R, 4 , 2 2, 2022 = A.2022 B.2 C. 2022 D. 2 f x x f x f x f f .已知函数 是 上的奇函数 对任意 都有 若 则 （ ） （五）总结提升 设计意图：制作了本节课的思维导图，引导同学们再次巩固函数基本性质高考重点考查的题 型及其对应方法
五、作业设计 设计意图：作业选取了两道单选题，一道多选题，四道填空题题一考查单调性判断和奇偶 性定义：题二考查奇偶性的定义，深化概念：题三考查单调性解不等式，为单调性的应用类 题：题四考查奇偶性应用求解析式：题五考查偶函数的定义，跟2021出现的题目非常相像， 说明研究高考题的重要性，值得深思：题六考查周期性的定义，为周期性和奇偶性的简单综 合题：题七需要将题目所给等式经过化简才能变为周期性的定义的模式，进一步深化周期性 与奇偶性的概念及其应用 1.(2019北京)下列函数中，在区间(0，+0)上单调递增的是() A.y=x2 B.=2x C.y=logx D.y=- 2 2.(2014全国)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下 列结论中正确的是 A.f(x)g(x)是偶函数 B.If(x)川g(x)是奇函数 C.f(x)川g(x)川是奇函数 D.If(x)g(x)川是奇函数 2x-1,xf(3x2-3)的是() A.(-2,10 c（32 4.(2017全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(-o,0)时，f(x)=2x3+x2 则f(2)= 5.(2015全国I)若函数f(x)=xln(x+√a+x2为偶函数，则a= 6.(2016四川)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)=4, 则-3+0 7.(2017山东)己知x)是定义在R上的偶函数，且x+4)=fx-2).若当x∈[-3,0] 时，f(x)=6,则919)F
五、作业设计 设计意图：作业选取了两道单选题，一道多选题，四道填空题.题一考查单调性判断和奇偶 性定义；题二考查奇偶性的定义，深化概念；题三考查单调性解不等式，为单调性的应用类 题；题四考查奇偶性应用求解析式；题五考查偶函数的定义，跟 2021 出现的题目非常相像， 说明研究高考题的重要性，值得深思；题六考查周期性的定义，为周期性和奇偶性的简单综 合题；题七需要将题目所给等式经过化简才能变为周期性的定义的模式，进一步深化周期性 与奇偶性的概念及其应用. 1.(2019 北京)下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是（ ） A． 1 2 y x B．y= 2 x C． 1 2 y log x D． 1 y x 2. (2014 全国 I)设函数 f (x), g(x) 的定义域为 R ，且 f (x) 是奇函数，g(x) 是偶函数，则下 列结论中正确的是 A. f (x)g(x) 是偶函数 B. | f (x) | g(x) 是奇函数 C. f (x) | g(x) | 是奇函数 D. | f (x)g(x) |是奇函数 3. (多选题)已知函数 2 2 1, 1 ( ) , 1 x x f x x x ，则下列 x 的范围满足不等式 2 2 f x x 3 f 3x 3 的是（ ） A．(2,1) B． 3 ,1 2 C． 3 ,2 2 D． 3 1, 2 4．（2017 全国Ⅱ）已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x (,0) 时， 3 2 f (x) 2x x ， 则 f (2) = ． 5. (2015 全国 I)若函数 2 f (x) x ln(x a x 为偶函数，则 a 6. (2016 四川)已知函数 f (x) 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0＜x＜1 时， ( ) 4 x f x ， 则 5 ( ) (1) 2 f f = . 7.（2017 山东）已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 x[3,0] 时, ( ) 6 x f x ,则 f(919)=
六、作业答案 1.【答案】A 【解析】易知函数y=2,y=log1x,y=二在区间(0，+o)上单调递减，函数y=x2在 区间(0，+o)上单调递增.故选A 2.【答案】：C 【解析】：设F(x)=f(x)g(x),则F(-x)=f(-x)g(-x),:f(x)是奇函数，g(x)是 偶函数，.F(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),F(x)为奇函数，选C 3.【答案】BCD 【解析】画出函数f(x)的图象，由图象可知函数f(x)在(-0，+∞)上为增函数，再利用函 数f(x)的单调性简化不等式，即可得到结果. 2x-1,xf(3x2-3得x2+x+3>3x2-3, 即2x2-x-6<0 3 解得-2x<2, 故选：BCD. 4.【答案】12 【解析】：f(x)是奇函数，所以f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)门=12. 5.【答案】1
六、作业答案 1.【答案】A 【解析】易知函数 1 2 2 , log x y y x ， 1 y x 在区间(0,)上单调递减，函数 1 2 y x 在 区间(0,)上单调递增.故选 A. 2.【答案】：C 【解析】：设 F(x) f (x) g(x) ，则 F(x) f (x) g(x) ，∵ f (x) 是奇函数， g(x) 是 偶函数，∴ F(x) f (x) g(x) F(x)， F(x)为奇函数，选 C. 3.【答案】BCD 【解析】画出函数 f (x) 的图象，由图象可知函数 f (x) 在(, ) 上为增函数，再利用函 数 f (x) 的单调性简化不等式，即可得到结果． 因为函数 2 2 1, 1 ( ) , 1 x x f x x x ，画出函数图象如图所示： 所以函数 f (x) 在(, ) 上为增函数， 由 2 2 f x x 3 f 3x 3 得 2 2 x x 3 3x 3 ， 即 2 2x x 6 0 解得 3 2 2 x ， 故选：B C D． 4.【答案】12 【解析】∵ f (x) 是奇函数，所以 3 2 f (2) f (2) [2(2) (2) ] 12 ． 5.【答案】1
解析：由题知y=ln(x+√a+x2)是奇函数，所以ln(x+√a+x2)+ln(-x+Va+x2) =ln(a+x2-x2)=lna=0,解得a=1. 6.【答案】-2 【解析】因为函数f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，所以 f(-1)=-f1)=0,f(-1)=f(-1+2)=f(1)=0,所以-f1)=f1),即f)=0, f=f八22)=f2-f分=-4=-2，所以f-3+10=-2 7.【答案】6 【解析】由x+4)=x-2)可知，f(x)是周期函数，且T=6, 所以f(919)=f(6×153+1)=f(1)=f(-1)=6
解析：由题知 2 y ln(x a x ) 是奇函数，所以 2 2 ln(x a x ) ln(x a x ) = 2 2 ln(a x x ) ln a 0 ，解得 a =1． 6.【答案】-2 【解析】因为函数 f (x) 是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，所以 f (1) f (1) 0, f (1) f (1 2) f (1) 0 ，所以 f (1) f (1) ，即 f (1) 0， 1 2 5 1 1 1 ( ) ( 2) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 2 f f f f ，所以 5 ( ) (1) 2 2 f f . 7.【答案】6 【解析】由 f(x+4)=f(x-2)可知, f x 是周期函数,且T 6 , 所以 f (919) f (6153 1) f (1) f (1) 6