解决离散型期望方差的思想方法 离散型随机变量是高中数学教学中的重要内容,初学常常因为把握不好求解方法,得不出 正确的答案,本文就从掌握基本概念入手,提出利公式法、定义法、数形结合法等方法与思 想,让学生在学习中能够运用恰当的方法,可以巧解一些繁琐和复杂计算的题目。 定义法 已知随机变量X的分布列为: Xx xa PP1P2…P pn 则X的方差为:x-E)2p+(x2-E)2p2+…+(xn-E3)2pn+… 例1已知随机变量的分布列为:P(5=m)=3,P(5=m)=a,若E=2,则D5的最 小值为 B、2 D、无法计算 分析:根据分布列中概率之和是1,得到P(=n)=1 根据分布列表示出期望使它 等于2,整理出关于m和n的关系式,写出方差的表示式,结合前面做出的m和n的关系, 得到结果 解:显然P(E=1)==1.1-=2,EE=2=1 2 m+-×n即m+2n=6 由定义知:D=(m-2)2+-(n2)2=2(n-2)2≥0.故选A 点评:本题是一个期望和方差的综合题,是一个以分布列的性质为依据,根据所给的期望 值,得到关系,代入方差的公式进行运算,同时考查了函数的最值问题 例2编号为1,2,3的三位学生随意入座编号1,2,3的三个座位,每位学生做一个座位, 设与座位编号相同的学生个数是X。 (1)求随机变量X的概率分布 (2)求随机变量X的数学期望和方差。 分析:(1)随机变量X的意义是对号入座的学生个数,所有取值为0,1,3.若有两人对号入座 则第三人必对号入座由排列与等可能事件概率易求分布列; (2)直接利用数学期望与方差公式求解 解(1)P(X=0)=3=,P(X=1)= P(X=3)= A 所以概率分布列为: X 0 P 326
解决离散型期望方差的思想方法 离散型随机变量是高中数学教学中的重要内容，初学常常因为把握不好求解方法，得不出 正确的答案，本文就从掌握基本概念入手，提出利公式法、定义法、数形结合法等方法与思 想，让学生在学习中能够运用恰当的方法，可以巧解一些繁琐和复杂计算的题目。 一．定义法 已知随机变量 X 的分布列为： 则 X 的方差为：(x1－Eξ) 2·p1＋(x2－Eξ) 2p2＋…＋(xn－Eξ) 2pn＋… 例 1 已知随机变量 的分布列为： ( ) ( ) 1 , 3 P m P m a = = = = ，若 E = 2 ,则 D 的最 小值为 A、0 B、2 C、4 D、无法计算 分析：根据分布列中概率之和是 1，得到 P（ξ=n）=1- 3 1 = 3 2 ，根据分布列表示出期望使它 等于 2，整理出关于 m 和 n 的关系式，写出方差的表示式，结合前面做出的 m 和 n 的关系， 得到结果． 解：显然 P（ξ=n）=a=1- 3 1 = 3 2 ，Eξ=2= 3 1 ×m+ 3 2 ×n 即 m+2n=6； 由定义知：Dξ= 3 2 （m-2）2+ 3 2 （n-2）2=2（n-2）2≥0．故选 A． 点评：本题是一个期望和方差的综合题，是一个以分布列的性质为依据，根据所给的期望 值，得到关系，代入方差的公式进行运算，同时考查了函数的最值问题。 例 2 编号为 1，2，3 的三位学生随意入座编号 1，2，3 的三个座位，每位学生做一个座位， 设与座位编号相同的学生个数是 X。 （1）求随机变量 X 的概率分布； （2）求随机变量 X 的数学期望和方差。 分析：（1）随机变量 X 的意义是对号入座的学生个数，所有取值为 0,1,3.若有两人对号入座， 则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列; （2）直接利用数学期望与方差公式求解. 解（1）P（X=0）= 2 1 , ( 1) 3 2 1 3 3 1 3 3 3 = = = = A C P X A 6 1 1 ( 3) 3 3 = = = A P X 所以概率分布列为：
(2)E(X=1×-+3×-= D(X)=(1-021 +(1-1)2+(3-1) 2 6 点评:本题是研究对号入座学生个数为离散型随机变量的概率分布、期望、方差问题,关键 是分析对号入座学生的个数的情况,以及每种取值下所包含的结果数,基本事件的总数,如 果问题推广为错位入座的学生个数,解决方法也类似 典型分步法 利用常用典型分布法求方差,对于有些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某种 常见的典型分布列(如二项分布)则此随机变量的方差可以直接利用典型分布列的方差公式 求解 例3.某班将要举行篮球投篮比赛,比赛规则是:每位选手可以选择在A区投篮2次或选择 在B区投篮3次.在A区每进一球得2分,不进球得0分;在B区每进一球得3分,不进 球得0分,得分高的选手胜出.已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为 和(1)如果选手甲以在A、B区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准,问选手甲应该 选择在哪个区投篮? (2)求选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率 【分析】(1)利用二项分布的数学期望公式计算期望值的大小,比较可得 (2)列出甲在A区与B区所得分数,由互斥事件的概率公式计算 【解答】()设选手甲在A区投两次篮的进球数为x,则X~12,0)故E)=2×10=5 则选手甲在A区投篮得分的期望为2×=3.6. 设选手甲在B区投三次篮的进球数为Y,则y3,3),故EC)=3×=, 则选手甲在B区投篮得分的期望为3×1=3.∵3.6>3,∴选手甲应该选择在A区投篮 (2)设选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分为事件C,甲在A区投篮得2分、在B区 投篮得0分为事件C,甲在A区投篮得4分、在B区投篮得0分为事件C2,甲在A区投篮得 4分、在B区投篮得3分为事件C,则C=C1UC2UC3,其中C1,C2,C3为互斥事件 881881 则:P(C=PCUC2UC=PC)+P(C)+PC)=10027+10027+100=75,故选手 甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为 点评:求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事 件,然后综合应用各类求概率的公式,求出概率.求随机变量的均值和方差的关键是正确求 出随机变量的分布列,若随机变量服从二项分布(或两点分布),则可直接使用公式求解 例4在1,2,3,…,9这9个自然数中,任取3个数 (1)求这3个数中恰有1个是偶数的概率; (2)记ξ为这3个数中两数相邻的组数例如:若取出的数为1,2,3,则有两组相邻的数1,2和 2,3,此时ξ的值是2).求随机变量ξ的分布列及其数学期望E() 分析:第一问利用概率公式求解;第二问先确定ξ的值,再求ξ取每个值的概率 解析:(I)记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A,则P(A) (I)随机变量ξ的取值为0,1,2,5的分布列为
（2）E(X)= 1 6 1 3 2 1 1 + = D(X)= 1 6 1 (3 1) . 2 1 (1 1) . 3 1 (1 0) . 2 2 2 − + − + − = 点评：本题是研究对号入座学生个数为离散型随机变量的概率分布、期望、方差问题，关键 是分析对号入座学生的个数的情况，以及每种取值下所包含的结果数，基本事件的总数，如 果问题推广为错位入座的学生个数，解决方法也类似。 二．典型分步法 利用常用典型分布法求方差，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某种 常见的典型分布列（如二项分布）则此随机变量的方差可以直接利用典型分布列的方差公式 求解。 例 3.某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在 A 区投篮 2 次或选择 在 B 区投篮 3 次．在 A 区每进一球得 2 分，不进球得 0 分；在 B 区每进一球得 3 分，不进 球得 0 分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在 A 区和 B 区每次投篮进球的概率分别为9 10 和 1 3 .(1)如果选手甲以在 A、B 区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该 选择在哪个区投篮？ (2)求选手甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率． 【分析】 (1)利用二项分布的数学期望公式计算期望值的大小，比较可得． (2)列出甲在 A 区与 B 区所得分数，由互斥事件的概率公式计算． 【解答】(1)设选手甲在 A 区投两次篮的进球数为 X，则 X～B 2， 9 10 ，故 E(X)＝2× 9 10＝ 9 5 ， 则选手甲在 A 区投篮得分的期望为 2× 9 5 ＝3.6. 设选手甲在 B 区投三次篮的进球数为 Y，则 Y～B 3， 1 3 ，故 E(Y)＝3× 1 3 ＝1， 则选手甲在 B 区投篮得分的期望为 3×1＝3.∵3.6＞3，∴选手甲应该选择在 A 区投篮． (2)设选手甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分为事件 C，甲在 A 区投篮得 2 分、在 B 区 投篮得 0 分为事件 C1，甲在 A 区投篮得 4 分、在 B 区投篮得 0 分为事件 C2，甲在 A 区投篮得 4 分、在 B 区投篮得 3 分为事件 C3，则 C＝C1∪C2∪C3，其中 C1，C2，C3 为互斥事件． 则：P(C)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝ 18 100× 8 27＋ 81 100× 8 27＋ 81 100× 4 9 ＝ 49 75，故选手 甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率为49 75. 点评：求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事 件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率．求随机变量的均值和方差的关键是正确求 出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布(或两点分布)，则可直接使用公式求解． 例 4 在 1,2,3，…，9 这 9 个自然数中，任取 3 个数． (1)求这 3 个数中恰有 1 个是偶数的概率； (2)记ξ为这 3 个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为 1,2,3，则有两组相邻的数 1,2 和 2,3，此时ξ的值是 2)．求随机变量ξ的分布列及其数学期望 E(ξ)． 分析：第一问利用概率公式求解；第二问先确定ξ的值，再求ξ取每个值的概率。 解析：（I）记“这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A，则 1 2 4 5 3 9 10 ( ) 21 C C P A C = = ； （II）随机变量 的取值为 0,1, 2, 的分布列为
1 所以的数学期望为E=0米5+x22123 点评:解决这类问题的关键是求离散型随机变量取每一个值所表示的具体事件,然后综合应 用求概率公式求出概率 三.对称性思想求解 正态曲线的重要性质之一是曲线是单峰的,它关于直线x=对称;利用好这个对称性求参 数等问题 例5.设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(5>c+1)=P(5c+1)=P(<c-1),所以直线x=c-1左侧的面积等于直线x=c+1的右侧 的面积,故这两部分关于直线x=C-1++1=c对称,所以c=2,故选B 点评:若X~N(,a2),则其正态曲线关于直线x=μ对称,利用此对称性能解决取值区 间关于x=μ对称时的区间上的概率及不同区间的概率相等问题,画出图形解题往往快速准 确
0 1 2 P 5 12 1 2 1 12 所以 的数学期望为 5 1 1 2 0 1 2 12 2 12 3 E = + + = 点评：解决这类问题的关键是求离散型随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应 用求概率公式求出概率。 三．对称性思想求解 正态曲线的重要性质之一是曲线是单峰的，它关于直线 x = 对称；利用好这个对称性求参 数等问题。 例 5．设随机变量 服从正态分布 N(2,9),若 P c P c ( 1) ( 1) + = − ,则 c= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解：因为随机变量 服从正态分布 N（2，9），所以正态总体密度曲线的对称轴为 x＝2， 因为 P( c +1) = P( c −1) ，所以直线 x＝c－1 左侧的面积等于直线 x＝c＋1 的右侧 的面积，故这两部分关于直线 c c c x = − + + = 2 1 1 0 对称，所以 c＝2，故选 B. 点评：若 ~ ( , ) 2 X N ，则其正态曲线关于直线 x = 对称，利用此对称性能解决取值区 间关于 x = 对称时的区间上的概率及不同区间的概率相等问题，画出图形解题往往快速准 确