经全国中小学教材审定委员会 2005年初审通过 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4-7 优选法与试验设计初步 人民教育出版社课程教材研究所编著 中学数学课程教材研究开发中心 a(2,1,2) (2.2,1) B (1,2,2) 人“慎社 版
目录 引言 第一讲优选法 什么叫优选法…………2 单峰函数· 三黄金分割法—0.618法……… 1.黄金分割常数……………………5 2.黄金分割法0.618法 8 阅读与思考黄金分割研究简史………10 四分数法 1.分数法 ,., 阅读与思考斐波那契数列和黄金分割 15 2.分数法的最优性…………………………16 五其他几种常用的优选法 18 1对分法…18 2.盲人爬山法 19
3.分批试验法……………………20 4.多峰的情形… …22 六多因素方法 23 1.纵横对折法和从好点出发法 24 2.平行线法……………………………26 3.双因素盲人爬山法 …27 第二讲试验设计初步… 正交试验设计法 1.正交表 30 A 2.正交试验设计………………………31 3.试验结果的分析 …31 4.正交表的特性………………………34 正交试验的应用………………35 B 学习总结报告… …………………………………43 附录 …………………………………………45 附录二… 48 附录三…………50
好吃程度 最好吃 oa xI c 2 b x 0a 引言 加碱量 有一种商品价格竞猜游戏,参与者在只知道售价范围的前提下,对一件商品的价格进 行竞猜.当竞猜者给出的估价不正确时,主持人以“高了”“低了”作为提示语,再让竞 猜者继续估价,在规定时间或次数内猜对的,即可获得这件商品.如果参加类似的游戏, 每次你将怎么给出估价呢? 蒸馒头是日常生活中常做的事情,为了使蒸出的馒头好吃,就要放碱.如果碱放少 了,蒸出的馒头就发酸;碱放多了,馒头就会发黄且有碱味.对一定量的面粉来说,放多 少碱最适合呢?如果你没有做馒头的经验,也没有人可以请教,如何迅速地找出合适的 碱量? 一个农场希望知道某个玉米品种的高产栽培条件,假如可以掌握的因素是:种植密 度、施化肥量、施化肥时间,如何迅速地找出高产栽培的条件?如何找出其中对玉米的产 量影响比较大的因素呢? 事实上,现实中类似的问题举不胜举.你想过如何解决这些问题吗?通过本书的学 习,你可以学到研究和解决这些问题的一些方法
C好差 第一讲 优选法 点点 一、什么叫优选法 在生产、生活和科学试验中,人们为了达到优质、高产、低消耗等目的,需要对有关 因素的最佳组合(简称最佳点)进行选择.关于最佳点的选择问题,称为优选问题.优选问 题很常见,引言中提到的商品价格竞猜、蒸馒头放碱等都是优选问题.又如生煤炉,为了 节省时间,降低耗煤量,往往在不使用的时候,就把炉门关闭,但如果炉门关闭得太死, 炉子就容易灭;关得太松(即留的缝隙太宽)则耗煤量就大.炉门关到什么程度合适呢?这也 是一个优选问题.在生产和科学试验中,选取“合适”的配方,寻找“合适”的操作和工艺 条件,给出产品的“合理”设计参数,把仪器调节器调到“合适”的程度等都是优选问题 总之,优选问题在生产、科研和日常生活中大量存在 对于那些试验结果和相关因素的关系不易用数学形式表 达或数学表达太复杂的优选问题,人们往往通过做试验的 0这里对试验应 办法来寻找各种因素的最佳点 作广义的理解,即它 通过试验方法求最佳点时,如果不合理安排,我们可能 可以是物理、化学、 面临大量的试验,不仅要花费大量人力、财力和时间,而且 生物或生活生产中的 有时可能不具操作性.例如,找一个1km2池塘的最深点 实物试验,也可以是 数学试验(例如在计 如果每隔1m测量一次,则差不多要测量1000×1000次, 算机上进行试验) 即差不多100000个点,虽然这里只有横竖两个因素,但 测量点是一个不小的数目.如果要测量的不是池塘而是海 洋,或涉及的因素是3个、4个,甚至10个,那么需要做 的试验数目就更可观了.可以说要做完这些试验几乎是不 可能的 有没有用最少的试验次数就能找到最理想结果的方法 呢?或者说怎样迅速找到最优方案?这就是优选法要解决 的问题.优选法是根据生产和科学研究中的不同问题,利 用数学原理,合理安排试验,以最少的试验次数迅速找到 最佳点的科学试验方法.用优选法的目的在于减少试验的 华罗庚(19101.12-1985.612),次数.例如,上面的测池塘最深点问题,如果用优选法 江苏金坛人,世界著名数学家,中 国科学院院土 那么有130次试验就可以达到上述效果
第一讲优选法 第一坪 优选法和其他科学一样,是在实践的基础上产生和发展起来的.20世纪60年代,著 名数学家华罗庚亲自组织推广了优选法,使优选法得到了广泛应用,取得了可喜成果 习题 1.什么叫优选法? 2.你能举一些自己生活中遇到过的优选问题吗? 二、单峰函数 在军事训练中,经常要考虑发射角度多大时炮弹的射 程最远.这是一个优选问题 如图1-1,设炮弹的初速度为v,发射角度为 0(0≤k≤2).在时刻,炮弹距发射点的水平距离为x,离 地面的高度为y.如果忽略空气阻力,则有 -tang I 图1-1 2v 0 其中v=|v|,g为重力加速度 令y=0,得 x1=0,x2=sin20. 因此,炮弹的射程为sin20. 从上述讨论可以发现,在一定的发射速度下,炮弹 射程 的射程是发射角的函数.当发射角0∈0,)时,射程 随发射角的增加而增加;当发射角为时,射程最大, 因此=是发射角的最佳点;当发射角∈(,翌时 发射角度 射程随发射角的增加而减小(图1-2) 图1-2 许多优选问題都有如上所述的情形.就是说,我们常常仅知道在试验范围内有一个最 佳点,当试验范围内变化因素的取值比最佳点再大些或再小些时,试验效果都差,而且取 值距离最佳点越远试验效果越差.通常称这样的试验具有单峰性 如果函数f(x)在区间[a,b上只有唯一的最大值点(或最小值点)C,而在最大值点 3
CHAPTER 菩通高中课程标准实验教科书数学(修47)优选法与试验设计初步 (或最小值点)C的左侧,函数单调增加(减少);在点C的右侧,函数单调减少(增加),则 称这个函数为区间a,b上的单峰函数.例如,图1-3中的两个函数f(x),g(x)就是单 峰函数. 凡x) glr 426 x (1) 图1-3 我们规定,区间[a,b上的单调函数也是单峰函数 由于对有最大值点和最小值点的处理方法类似,下面我们仅考虑有最大值点的单峰 函数 事实上,在炮弹发射试验中,除发射角外,初速度、空气阻力等也会影响炮弹的射 程.我们把影响试验目标的初速度、发射角、空气阻力等称为因素.由于全面考虑试验中 的各种因素往往非常困难,因此我们常常会假设其中的某些因素保持不变,或忽略某些影 响较小的因素,而把关注点集中在感兴趣的某个因素上例如,上述过程中,我们只考虑 发射角这个因素,而认为初速度保持不变,并忽略了空气阻力.像这样,在一个试验过程 中,只有(或主要有)一个因素在变化的问题,称为单因素问题.另外,我们把试验中可以 人为调控的因素(例如发射角)叫做可控因素,而把那些不能人为调控的因素(例如空气阻 力)叫做不可控因素.一般的,我们感兴趣的都是可控因素 由上述过程可以看到,射程(目标)可以表示为发射角(因素)的函数.像这样表示目标 与因素之间对应关系的函数,称为目标函数.我们常用x表示因素,f(x)表示目标函数 (并不需要f(x)的真正表达式).假定包含最佳点的因素范围(试验范围)下限用a表示,上 限用b表示,因素范围可以用a到b的线段来表示,并记作[a,b].如果不考虑端点a, b,就记成(a,b). 当主要因素确定之后,接下来的任务是选择某种方法安排试验点(简称试点),通过试 验找出最佳点,使试验的结果(目标)最好. 设x和x2是因素范围a,b]内的任意两个试点,C点为最佳点,并把两个试点中效 果较好的点称为好点,效果较差的点称为差点.由图1-4(1)、(2)可以直观地发现:若目 标函数为单峰函数,那么好点比差点更接近最佳点,且最佳点与好点必在差点的同侧.于 是,我们以差点为分界点,把因素范围分成两部分,并称好点所在部分为存优范围
第一讲优选法 第一 fx) 好 1) (2) 图1-4 习题 t)1.判断下列函数在区间[一1,5上哪些是单峰函数 (1)y=3x2-5x+2 (2)y=-x2-3x+1; (3)y=cos x (4)y=e 2.你在现实生活中遇到过哪些具有单峰性质的现象?举例说明 三、黄金分割法—0.618法 1.黄金分割常数 /操 对于一般的单峰函数,如何安排试点才能迅速找到最佳点? 对于单峰函数,在同侧,离最佳点越近的点越是好点,且最佳点与好点必在差点的同 侧.由此,可按如下想法安排试点:先在因素范围[a,b内任选两点各做一次试验,根据 试验结果确定差点与好点,在差点处把[a,b分成两段,截掉不含好点的一段,留下存优 范围a,b],显然有[a,b]s[a,b];再在[a1,b]内任选两点各做一次试验,并与 上次的好点比较,确定新的好点和新的差点,并在新的差点处把[a1,b]分成两段,截掉 不包含新好点的那段,留下新的存优范围[a2,b2],同样有[a2,b2]=[a,b]……重复 圆5
CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数学(选修47)优选法与试验设计初步 上述步骤,可使存优范围逐步缩小. 在这种方法中,试点的选取是任意的,只要试点在前一次留下的范围内就行了.这种 任意性会给寻找最佳点的效率带来影响.例如,假设因素区间为[0,1],取两个试点 1那么对峰值在()中的单峰函数,两次试验便去掉了长度为3的区间(图1:5) 但对于峰值在({,1)的函数只能去掉长度为的区间(图152),试验效率就不理 想了 x O0102 图1-5 思考 怎样选取各个试点,可以最快地达到或接近最佳点? 我们希望能“最快”找到或接近最佳点的方法不只针对某个具体的单峰函数,而是对 这类函数有普遍意义,由于在试验之前无法预先知道哪一次试验效果好,哪一次差,即这 两个试点有同样的可能性作为因素范围[a,b的分界点,所以为了克服盲目性和侥幸心 理,在安排试点时,最好使两个试点关于[a,b的中心“”对称同时,为了尽快找到最 佳点,每次截去的区间不能太短,但是也不能很长.因为为了一次截得足够长,就要使两 个试点x1和x2与2足够近,这样,第一次可以截去a,b]的将近一半.但是按照对称 原则,做第三次试验后就会发现,以后每次只能截去很小的一段,结果反而不利于很快接 近最佳点 为了使每次去掉的区间有一定的规律性,我们这样来考虑:每次舍去的区间占舍去前 的区间的比例数相同 下面进一步分析如何按上述两个原则确定合适的试点.如图1-6,设第1试点、第2 试点分别为x和x2,x2<n1且x1,x2关于[a,b的中心对称,即x2-a=b-x1 6
第一讲优选法 第一拼 显然,不论点x2(或点x1)是好点还是差点, 由对称性,舍去的区间长度都等于b一x1.不妨 设x2是好点,x是差点,于是舍去(x1,b]. 再在存优范围[a,x]内安排第3次试验,设试 点为x3,x3与x2关于[a,x]的中心对称(如 图1-6 图1-7所示) 点x3应在点x2左侧.因为如果点x3在点x2的右侧,那 么当x3是好点,x2是差点时,要舍去区间[a,x2],而它的长 度与上次舍去的区间(x1,b的长度相同,违背成比例舍去的 原则.于是,不论点x3(或点x2)是好点还是差点,被舍去的 图1-7 区间长度都等于x1-x.按成比例舍去的原则,我们有等式 =x1 (1) b 其中,左边是第一次舍去的比例数,右边是第二次舍去的比例数.对式(1)变形,得 b 1-21-x2 即 式(2)两边分别是两次舍弃后的存优范围占舍弃前全区间的比例数.设每次舍弃后的 存优范围占舍弃前全区间的比例数为t,即 1-a 则由b-x2=n1-a可得 由式(2)得 a b (5) b-a . I 把(3)与(4)代入(5),得 即 t2+t-1=0. 解得t1= 1+√5 1-√5 .其中t1为对本问题有意义的根,这就是黃金分割常数 用ω表示 试验方法中,利用黄金分割常数a确定试点的方法叫做黄金分割法.由于 /5-1 2是无 7