经全国中小学教材审定委员会 2007年初审通过 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4-9 风险与决策 人民教育出版社课程教材研究所编著 中学数学课程教材研究开发中心 ③人人办成社 版
主编寄语 同学们,欢迎大家使用这套普通高中数学教科书,希望它能够成为你们学习数学的好 朋友 作为这套教科书的主编,在大家开始用这套书学习数学之前,对于为什么要学数学, 如何才能学好数学等问题,我有一些想法与你们交流 为什么要学数学呢?我想从以下两个方面谈谈认识 数学是有用的.在生活、生产、科学和技术中,在这套教科书中,我们都会看到数学 的许多应用.实际上,“数量关系与空间形式”,在实践中,在理论中,在物质世界中,在 精神世界中,处处都有,因而研究“数量关系与空间形式”的数学,处处都有用场.数学 就在我们身边,她是科学的语言,是一切科学和技术的基础,是我们思考和解决问题的 工具 学数学能提高能力.大家都觉得,数学学得好的人也容易学好其他理论.实际上,理 论之间往往有彼此相通和共同的东西,而“数量关系与空间形式”、逻辑结构及探索思维等 正是它们的支架或脉络,因而数学恰在它们的核心处.这样,在数学中得到的训练和修养 会很好地帮助我们学习其他理论,数学素质的提高对于个人能力的发展至关重要. 那么,如何才能学好数学呢?我想首先应当对数学有一个正确的认识 数学是自然的.在这套教科书中出现的数学内容,是在人类长期的实践中经过千锤百 炼的数学精华和基础,其中的数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的 如果有人感到某个概念不自然,是强加于人的,那么只要想一下它的背景,它的形成过程, 它的应用,以及它与其他概念的联系,你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物, 不仅合情合理,甚至很有人情味.这将有助于大家的学习 数学是清楚的.清楚的前提,清楚的推理,得出清楚的结论,数学中的命题,对就是 对,错就是错,不存在丝毫的含糊.我们说,数学是易学的,因为它是清楚的,只要大家 按照数学规则,按部就班地学,循序渐进地想,绝对可以学懂;我们又说,数学是难学的
也因为它是清楚的,如果有人不是按照数学规则去学去想,总想把“想当然”的东西强加 给数学,在没有学会加法的时候就想学习乘法,那就要处处碰壁,学不下去了 在对数学有一个正确认识的基础上,还需要讲究一点方法 数学要摸索自己的学习方法.学习、掌握并能灵活应用数学的途径有千万条,每个 人都可以有与众不同的数学学习方法.做习题、用数学解决各种问题是必需的,理解概念、 学会证明、领会思想、掌握方法也是必需的,还要充分发挥问题的作用,问题使我们的学 刁更主动、更生动、更富探索性.要善于提问,学会提问,“凡事问个为什么”,用自己的 问题和别人的问题带动自己的学习.在这套书中,我们一有机会就提问题,希望“看过问 题三百个,不会解题也会问”.类比地学、联系地学,既要从一般概念中看到它的具体背 景,不使概念“空洞”,又要在具体例子中想到它蕴含的一般概念,以使事物有“灵魂” 同学们,学数学趁年轻.你们正处在一生中接受数学训练、打好数学基础的最佳时期 这个时期下点功夫学数学,将会终生受益.我们构建了这片数学天地,期盼它有益于大家 的成长,你们是这片天地的主人,希望大家在学习的过程中能对它提出宝贵的改进意见 预祝同学们愉快地生活在这片数学天地中
目录 引言……………1 第一讲风险与决策的基本概念 风险与决策的关系 ,…,………2 风险与决策的基本概念…………“4 1.风险(平均损失) 4 2.平均收益……" 3.损益矩阵…… ………………8 1.风险型决策… ,,未 探究与发现风险相差不大时该如何决策……13 第二讲决策树方法…………………15
第三讲风险型决策的敏感性分析… 第四讲马尔可夫型决策简介 马尔可夫链简介 28 1.马尔可夫性与马尔可夫链……… 28 2.转移概率与转移概率矩阵…… 马尔可夫型决策简介 三长期准则下的马尔可夫型决策理论 1.马尔可夫链的平稳分布………………36 2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则 3.平稳准则的应用案例 …41 学习总结报告……………………… 附录… 46
种拉方案 在现实生活中,几乎每个人每天都要做出各种各样的决策,如决定早餐吃什么,出门 是否带雨伞,上学或上班走哪条路线,出外旅行是否预定火车票,是否购买航空意外险, 报考国内大学还是申请国外大学,等等.一个企业也面临着各种类型的决策,如投资、经 营、销售、人员聘用等.在医学、军事、工程和行政领域,决策问题都广泛存在 通常情况下,决策者有很多行动方案可以选择.但由于未来事态的发展往往受随机因 素的影响,不能确切预料,因此决策是带有风险的.为了在众多的行动方案中选出最优方 案,减少不合理决策造成的损失,应该按照科学的方法进行决策.借助于统计分析方法进 行决策,可以大大减少随机因素造成的损失,提高决策的有效性.因此,统计决策方法和 统计决策分析将会在社会的发展和进步中发挥越来越大的作用.本专题将介绍一些简单的 统计决策方面的基本知识和方法 本专题共分四讲.在第一讲中,同学们首先将通过现实生活中的例子,理解“风险 与“决策”之间的关系,以及通常情况下对一个问题做出决策的过程;然后,同学们将通 过具体例子,理解风险型决策问题的特点,以及解决这类问题的常用方法—风险型决策 的基本概念和决策过程.在第二讲中,同学们将学习用决策树表示风险型决策问题的相关 信息,以及通过决策树进行决策的方法.在第三讲中,通过敏感性分析,同学们可以清楚 地了解状态发生概率的变化对最优决策产生的影响.在第四讲中,同学们将通过实例,了 解马尔可夫型决策模型及其决策方法 ■1
h h h h3 P(h) 0.3 0.5 0.2 第一讲风险与头策的基本概念 风险与决策的关系 在日常生活和生产实践中,经常需要我们根据一定的条件做出某种决策 问題1天气预报说“今天的降水概率是55%”你今天上学时,是否会带雨具? 有的同学可能会这样想:“降水概率为55%,降水的可能性比不降水的可能性大,所 以应该带上雨具”;也有的同学可能会这样想:“虽然降水的可能性比不降水的可能性大, 但还有45%的可能不下雨,况且这只是一个预报,不一定准确,所以没有必要带雨具” 前一种决策,因为确实存在不下雨的可能性,所以要冒“带了不用”的风险;后一种决策, 因为确实存在下雨的可能性,所以要冒“挨雨淋”的风险 类似的问题非常多,我们再看两个例子 问题2在“五一”“十一”黄金周期间,许多人都会乘火车出外旅行,所以人们往往 面临是否提前预定火车票的问题.如果提前预定火车票,可以顺利成行,但需支付40元的 定票费;如果不提前预定火车票,在临时能买到火车票的情况下,能顺利成行,否则就要 被迫取消旅行,如果你正面临这个问题,你会做出什么决策呢?其根据是什么? 你可能会根据自己的实际情况做出不同的决策—提前预定火车票或不提前预定火车 票.但你是否想到:当你决定提前预定火车票时,如果临时能买到火车票,那你就损失了 40元的订票费;当你决定不提前预定火车票时,就要冒因买不到火车票而被迫取消旅行的 风险.可见,无论哪一种决策,都要冒一定的风险 问题3A,B两个大小相同的箱子中装有同样规格的产品,且产品的价格相同.已知 A箱中产品的废品率是1%,B箱中产品的废品率是3%.若你想购买1件产品,且购买时 不能打开产品包装,你会选择哪个箱中的产品? 对于这个问题,通常情况下,我们会选择购买A箱中的产品.这是因为A,B两个箱 2
第一讲风险与决策的基本概念 第一坪 中装有同样数量的产品,而A箱中产品的废品率低于B箱中产品的废品率,所以从A箱中 买到废品的概率也低于从B箱中买到废品的概率.但是,这种选择也是带有风险的,因为 我们从A箱中买到的产品也可能是废品. 上述三个问题有一个共同的特征:需要在多个可供选择的决策中,选择一个决策;并 且任何决策所面临的未来情况都具有不确定性.虽然可以通过一定的方法了解未来各种情 况发生的可能性的大小,但因为它们具有随机性,所以无论我们做出什么决策,都要冒 定的风险 下面是一个利用概率统计知识进行决策的简单案例 案例Ⅰ某同学需要做一项实验,在该項实验过程中出现设备过热现象的概率为0.2. 请专家指导实验,需支付50元指导费,并且出现设备过热现象时会损失10元;自己独立 完成实验,出现设备过热现象时会损失100元,如果在实验过程中没有出现过热现象,则 不会造成损失,问该同学是否应该请专家指导实验. 这个决策问题的目标是使损失最小.该同学有两种可以采取的行动方案: 行动一请专家指导实验; 行动二独立完成实验 需要决策的是采取哪种行动方案 在做出决定之前,我们先分析一下这两种行动方案导致损失的情况 1.采取“行动一”,即请专家指导实验:没有出现过热现象的损失为请专家的费用50 元;出现过热现象的损失为50+10=60元,由于是否出现过热现象是一个随机现象,因此 采取行动方案一所造成的损失是一个随机变量,其平均损失为 0.8×50+0.2×60=52元 2.采取“行动二”,即独立完成实验:没有出现过热现象的损失为0元;出现过热现 象的损失为100元.类似地,采取行动二的平均损失为 0.8×0+0.2×100=20元 由上述分析可知,应该选择行动方案二,即该同学独立完成实验 分析案例1的决策过程,可以看出其中包括下述基本步骤: 第一步,明确问题的决策目标; 第二步,寻找所有的行动方案; 第三步,分析每种行动方案的平均损失; 第四步,按照平均损失最小的准则,选择最优决策. 从上面的案例中可以看出,平均损失与决策是密切相关的.通过对它的分析计算,使 我们能根据量化指标进行合理、有效的决策,从而尽量地化解风险,提高效益
CHAPTER 菩通高中课程标准实验教科书数竽(选修49)风险与决策 习题 1.中国历史上有许多杰出的思想家、政治家、军事家、外交家,他们博学多 才,高赡远瞩,运筹帷幄之中,决胜千里之外,为我国的决策科学谱写了 光辉篇章.请举出几个实例 2.在一个暖和、潮湿的早晨,你离家骑车去学校,路上大约需要20min.你可以采取的行 动有两个:带上雨衣和不带雨具.分析采取每种行动后可能出现的结果,你更希望哪 种结果出现?什么对你的决策影响最大? 3.甲、乙、丙3人参加一场趣味射击比賽.比赛设置了3块目标靶,分别是1号靶、2号 靶和3号靶。比赛规定:如果1号靶被击中,则甲被淘汰出局;如果2号靶被击中,则 乙被淘汰出局;如果3号靶被击中,则丙被淘汰出局;最后一位未被淘汰者蠃得比赛 3个人开枪射击的顺序是甲、乙、丙、甲、乙、丙……每人一次只能打一枪;被淘汰出 局者不能开枪射击,直接把枪交给下一位选手,由甲、乙、丙以往的射击记录可知,甲 击中目标的概率为,乙击中目标的概率为,丙百发百中,那么,甲第1枪应该如何 射击,才能保证自己在第2枪后未被淘汰出局的可能性最大? 风险与决策的基本概念 1.风险(平均损失) 怎样度量风险的大小呢?下面介绍数学中常用的方法.为此,我们以案例1为背景引 入几个基本概念, 在案例1中,用d表示“请专家指导实验”,d2表示“独立完成实验”,则可供选择 的行动方案仅有d和d2.无论该同学采取哪一行动方案,他都将面临两个可能的结果: 没备没有出现过热现象,或设备出现过热现象.我们把它们看成两个状态,用h表示“设 备没有出现过热现象”,h2表示“设备出现过热现象” 般地,对于给定的行动方案d和状态h,用l(d,h)表示行动方案d在状态h下的损 失大小,并称l(d,h)为损失函数 在案例1中,损失函数在不同行动方案和不同状态下的取值可用表1-1表示: 表1-1 状 态 损 hi hz 行动方案失 60 dz 100
第一讲风险与决策的基本概念 第一拼 即 l(d1,h1)=50,l(d1,h2)=60; l(d2,h1)=0,l(d2,h2)=100. 在通常情况下,对于给定的一个行动方案d,未来的状态具有随机性,因此l(d,h) 为随机变量.那么,如何比较各行动方案所造成损失的大小呢? 可以通过随机变量l(d,h)的均值来衡量行动方案d的平均损失大小.因此,我们可 以通过比较各行动方案d所造成的平均损失的大小来作出决策 为了计算行动方案d的平均损失,需要知道各种状态发生的概率.对于给定的行动方 案d,未来各状态发生的概率可以由历史资料的统计分析、过去的经验或人们的主观判断 获得 在案例1中,出现状态h1和h2的概率分别是0.8和0.2,用列表的方式可以表示为: h h h PCh) 0.8 0.2 般地,我们把各个状态出现的概率称为状态分布列,并用列表的方式表示 在案例1中,根据状态分布列,行动方案d1和d2对应的损失函数的均值分别为 E((d1,h)=l(d1,h1)xP(执行d1,出现h1)+l(d1,h2)XP(执行d,出现h2) =50×0.8+60×0.2=52元, E((d2,h))=l(d2,h1)×P(执行d2,出现h1)+l(d2,h2)XP(执行d2,出现h2) =0×0.8+100×0.2=20元 般地,我们用R(d)表示行动方案d所对应损失函数的均值,并且称R(d)为行动方 案d的风险(平均损失).显然,我们应该选用风险最小的行动方案,即按照风险最小准则 选择行动方案 由上面的计算可知,R(d1)=52,R(d2)=20.由于R(d1)>R(d),即行动方案d2所造 成的风险较小,因此选择行动方案d2,即“独立完成实验” 2.平均收益 案例1是按照风险(平均损失)最小准则选择最优决策的,我们还可以按照平均收益 最大准则选择最优决策 案例2某位农民打算种植新品种蔬菜,可选择的种植量有3种:大量、适量、少量 他应当如何决策呢?首先,应当做市场预测.根据收集到的市场信息,可知未来市场出现 好、中、差3种情况的概率分別为0.3,0.5,0.2.然后,这位农民根据过去的经验,得到 个收入表(单位:千元),如表1-2所示 5