数列的概念与等差数列错解剖析 例1.数列{an}的前n项和为Sn=n2-2n+5,试判断{an}是否为等差数列 解:当n=1时,a1=S1=4:当n≥2时,an=Sn-Sn1=(n2-2n+5) n-1)2-2(n-)+5]=2n-3,由4=4不适合上式,所以an=12n-3m22显然 {an}不是等差数列。 易错点分析:本题存在错误是根据an与Sn的关系得到an=2n-3,就推出数列{an}是等 比数列,而数列{an}中的n是从n=1开始取的正整数,当n=1时,a1=S1=4,不适合an 2n-3由于a2=1,a2=a1=1-4=-3≠2,所以此数列不是等差数列。所以使用 an=Sn-Sn1”时要注意“n≥2”这个前提条件;再就是需要检验“a1=S1”是否符 合求出的an 例2已知数列{an},a1=1,且an+1-an=m(n∈N),数列{an}的通项公式 解:∵an1-an=m(n∈Z), (a2-a)+(a3-a2)+(a4-a1)+…+(an-an-1)=1+2+3+…+(n-1), 2(n-1)、、+1 1) 即a.-a1 易错点分析:有些同学看见an1-an=m(n∈N)的结构就联想到an-an=d(n∈Z), 没有意识到等差数列定义中要求后项减前项是同一个常数这一条件,只是记住了公式的外 形,而没有领会公式内在的本质要求,所以造成了把变量当成常量的错误即出现这样错误: an1-an=m(n∈N)∴{an}是以1为首项,以n为公差的等差数列,则 an 例3.在等差数列{an}中,an=m,an=m(m≠n),则an+n 解:∵d a-d 1,.. amn=a, +(m+n-nd=m+(m)=0 易错点分析:受等差数列性质:“若m+n=P+q,则有am+an=an+a1”的“启发
数列的概念与等差数列错解剖析 例 1. 数列 { } an 的前 n 项和为 2 5 2 Sn = n − n + ，试判断 { } an 是否为等差数列. 解 ： 当 n ＝ 1 时 ， a1 = S1 ＝ 4 ； 当 n 2 时 ， an = Sn − Sn−1 ＝ ( 2 5) 2 n − n + － [( 1) 2( 1) 5] 2 3 2 n − − n − + = n − ,由于 a1 = 4 不适合上式，所以 − = = 2 3, 2 4, 1 n n n an 显然， { } an 不是等差数列。 易错点分析：本题存在错误是根据 n a 与 Sn 的关系得到 an = 2n − 3 ，就推出数列 { } an 是等 比数列，而数列 { } an 中的 n 是从 n＝1 开始取的正整数，当 n＝1 时， a1 = S1＝4，不适合 n a ＝2n－3.由于 a2 =1， a2 = a1 ＝1－4＝－3 2，所以此数列不是等差数列。所以使用 “ an = Sn − Sn−1 ”时要注意“ n 2 ”这个前提条件；再就是需要检验“ a1 = S1 ”是否符 合求出的 n a . 例2 已知数列 1 { } 1 n a a ， = ，且 1 ( ) n n a a n n + − = N ，数列 { }n a 的通项公式_______. 解： 1 ( ) n n a a n n + − = Z , ∴ 2 1 3 2 4 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 ( 1) n n a a a a a a a a n − + − + − + + − = + + + + − − ， 即 2 1 1 1 ( 1) 1 2 2 2 n n n n n a a n a + − − = − = − + （ ） ， . 易错点分析：有些同学看见 1 ( ) n n a a n n + − = N 的结构就联想到 1 ( ) n n a a d n + − = Z ， 没有意识到等差数列定义中要求后项减前项是同一个常数这一条件，只是记住了公式的外 形，而没有领会公式内在的本质要求，所以造成了把变量当成常量的错误.即出现这样错误： ∵ 1 ( ) n n a a n n + − = N ∴ { }n a 是 以 1 为 首 项 ， 以 n 为 公 差 的 等 差 数 列 ， 则 2 1 ( 1) 1 n a n n n n = + − = − + . 例 3.在等差数列 { }n a 中， ( ) n m a m a n m n = = ， ，则 m n a + = __________. 解：∵ 1 m n a a n m d m n m n − − = = = − − − ，∴ ( ) ( ) 0 m n n a a m n n d m m + = + + − = + − = . 易错点分析：受等差数列性质：“若 m n p q + = + ，则有 m n p q a a a a + = + ”的“启发”；
于是有些同学就“想当然”认为也有a_=a+a性质,随意构造结论,而导致此题的错 解即出现这样错误:ann=an+an=m+n 例4在等差数列{an}中,an=3n-31,记b=n,则数列{b}的前30项和是 解∵an=3n-31>0,n>10,∴数列的前10项是负值,从第l1项起开始为正数。所以 =a|+a2 +{a1|+…l=-a+a2+…+a0)+(a1+a12+…+a3) l,十 20(a1+ 145+610=755 易错点分析:本题常见错误是把数列{bn}也看成等差数列又b={a=3n-31,∴ b=28,b30=59.∴数列{bn}的前30项和S03的+b0)30×(28+59)=1305·这里错 把{}也当作等差数列,实际上解此题的关键是搞清{an}绝对值符号内的的正负,易知当 n≤10时,a0.所以分成两部分分别求和即可 例5.已知Sn,T分别为等差数列{an},bn}前n项的和,且 S7n+2 那么 T n+3 S-S185k-120k65 解:法一:设Sn=(7n+2川nk,Tn=(n+3)mk,则有= b T40k-28k12 法二:=2a_a1+a_S65 bs 265 6+b T9 12 看成了是关于n的一次函数,显然是错误的事实上,在等差数列中Sn=ma+mD因5 易错点分析:本题常见错解是:由题意设Sn=(7n+2,Tn=(n+3),则 a5S5-S437k-30k b.7-78k-=7其解题过程看上去似乎步步有理,原因就是对等差数列前 项和公式没有理解透彻错解中设Sn=(7n+2),T=(n+3),即将等差数列前n项的 即Sn=An2+Bn,它不一定是n的一次函数 例6在数列{an}中,an=5n-105,则当n=_时,S取最小值
于是有些同学就“想当然”认为也有 m n m n a a a + = + 性质，随意构造结论，而导致此题的错 解.即出现这样错误： m n m n a a a m n + = + = + . 例 4 在等差数列 an 中， 3 31 n a n = − ，记 n n b a = ，则数列 bn 的前 30 项和是_________． 解 1 3 31 0 10 3 n a n n = − ， ， 数列的前 10 项是负值，从第 11 项起开始为正数。所以 30 1 2 10 11 30 1 2 10 11 12 30 S a a a a a a a a a a a = + + + + + = − + + + + + + + ( ) ( ) 1 10 11 30 10( ) 20( ) 145 610 755 2 2 a a a a + + = − + = + = ． 易错点分析：本题常见错误是把数列 bn 也看成等差数列．又∵ 3 31 n n b a n = = − ，∴ 1 b = 28， 30 b = 59 ．∴数列 bn 的前 30 项和 1 30 30 30( ) 30 (28 59) 1305 2 2 b b S + + = = = ．这里错 把 bn 也当作等差数列，实际上解此题的关键是搞清 an 绝对值符号内的的正负，易知当 n≤10 时， 0 n a ；当 n≥11 时， 0 n a ．所以分成两部分分别求和即可。 例 5. 已知 n n S T ， 分别为等差数列 { }{ } n n a b， 前 n 项的 和 ， 且 7 2 3 n n S n T n + = + ，那么 5 5 a b = _________. 解：法一：设 (7 2) ( 3) n n S n nk T n nk = + = + ， ， 则有 5 5 4 5 5 4 185 120 65 40 28 12 a S S k k b T T k k − − = = = − − . 法二： 5 5 1 9 9 5 5 1 9 9 2 65 2 12 a a a a S b b b b T + = = = = + . 易 错 点 分 析 ： 本 题 常 见 错 解 是 ： 由 题 意 设 (7 2) ( 3) n n S n k T n k = + = + ， ，则有 5 5 4 5 5 4 37 30 7 8 7 a S S k k b T T k k − − = = = − − .其解题过程看上去似乎步步有理，原因就是对等差数列前 n 项和公式没有理解透彻.错解中设 (7 2) ( 3) n n S n k T n k = + = + ， ，即将等差数列前 n 项的和 看成了是关于 n 的一次函数，显然是错误的.事实上，在等差数列中 1 ( 1) 2 n n n S na d − = + ， 即 2 n S An Bn = + ，它不一定是 n 的一次函数. 例 6.在数列 an 中， 5 105 n a n = − ，则当 n = ____时， n S 取最小值．
解:根据数列的通项公式知,数列是等差数列,且是递增数列,由an=5n-105>0,解得 n>21.即该数列从第22项起数列各项为整数,由于an1=0,所以S取得最小值时,n为 20或21. 易错点分析:本题易错点是忽视了正负项中间的零值项a2=0,错误回答当n=20时,S取 最小值。所以解答这类最值问题,注意项数为0的项,否则容易漏解
解：根据数列的通项公式知，数列是等差数列，且是递增数列，由 5 105 0 n a n = − ，解得 n 21 ．即该数列从第 22 项起数列各项为整数，由于 21 a = 0 ，所以 n S 取得最小值时，n 为 20 或 21． 易错点分析：本题易错点是忽视了正负项中间的零值项 21 a = 0 ，错误回答当 n=20 时， n S 取 最小值。所以解答这类最值问题，注意项数为 0 的项，否则容易漏解