高中数学含参讨论，分离参数，取点问题与极值点偏移30例

含参讨论,分离参数,取点放缩,极值点偏移 〔衡水理数21题)已知函数f(x=)axex(-a-10x+1),a∈R 例1. (1)若f(x)只有一个极值点,求a的取值范围; (2)证明:当00 f(-2) a+1=-a+1+1>-a+1>-1+1=>0取点 由零点存在定理知,-2 下面用构造对称差函数证明x1+x2(-2-x)ex)>f2-x) 引入对称差函数=)-1(-2-x)=a[e+(x+2)e22]g(-)=0 6()=l(x+1) x+1 a(r+lle =a(x+1) →8x)在R上单调递增→8(x)>8(-1)=0→x十x2<-2 例2.(百校联考理数21)已知函数f(x)=x1nx-ax2,a∈R (1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)有两个极值点,求实数a的取值范围;

1 例 1. 含参讨论，分离参数，取点放缩，极值点偏移 （衡水理数 21 题）已知函数f(x = )axe x ( −a −1()x +1) 2 ,a ∈R （1）若   xf 只有一个极值点，求a 的取值范围； （2）证明：当 2 1 0 a  时，   xf 有两个零点，记为 21与xx ，且 3 2 21 xx  分析与解答：分离参数法，放缩取点 （1）        aaexxf  121  x 由题意知，   aae  012 x 在R 上无解   100 12    a a a e x （2）由（1）知， 2 1 0 a  时，   xf 在  , 1  ，在  1,  又   1  0 e a f ，   af  010   11 2 1 2 2 2 2         e aa e a f 0 4 1 1 4 3 1 2 3 a  取点 由零点存在定理知， 12 1 x  ， 01 2 x  3 21 xx  下面用构造对称差函数证明 2 21 xx  极值点偏移的典型处理方法 2 21 xx  12 1 2 xx      1 2 2  xfxf     2 2 2  xfxf 引入对称差函数       2 xfxfxg      2 2   x x exxea g   01                       2 2 1 1 1 1 x x x x e exa e x exaxg      2 1 1 11 1      x x x e ee xa  0    xg 在R 上单调递增   gxg    01 2 21 xx  例 2. （百校联考理数 21）已知函数   ,ln  Raaxxxxf 2 （1）当a  1时，求函数   xf 的单调区间； （2）若函数   xf 有两个极值点，求实数a 的取值范围；

分析与解答:二次求导术,分离参数法,大致图像的三个细节,含参讨论与放缩取点 (1)略f(x)=1+1nx-2x二次求导术 2 →f(x)在0↑,在,+∞↓ f(x)sf1=-1n20导数法研究函数的大致图象问题(略 羽入8(x)=1+x=g()==x→g(x)580)=1=00时,g(x)0 >0→00 In 2 +10)有不等实根x,xx<x) 求证:x2-x1<2

2 分析与解答：二次求导术，分离参数法，大致图像的三个细节，含参讨论与放缩取点 （1）略 fx   1  lnx  2x 二次求导术   x x x f x 1 2 2 1       fx  在        2 1 0, ，在        , 2 1   2 0 2 1          f x  f ln  fx  在0,  （2） fx   1  lnx  2ax ，令 fx   0 在0,有两个不同的实数根 方法一：分离参数法，导数法研究函数的大致图像 分离参数 0 1 2    x x x a , ln 导数法研究函数的大致图象问题（略） 引入     2 1 x x g x x x g x ln  ln       gx  g1  1 2 1  0  a  方法二：含参数讨论法+放缩取点 gx  ln x  2ax 1有两个不同零点，   a x g x 2 1    当 a  0 时， gx在0,上单调递增，不符合题意 当 a  0 时，                  , 2 1 , 2 1 0, a a g x 在 在 2 1 0 0 2 1            a a g 又 0 1 2          e a e g ，放缩取点，导数法可证： ln x  2 x 1, x  0 1 0 2 1 1 1 2 1 2 . 1 ln 1 2 2 2 2               a a a a a a g 综上所述， 2 1 0  a  例 3. （百校联考理数 21 题）已知函数      1 x f x ax e （1）曲线 y  fx  与 x 轴的交点为  0 0 P x , ，且在点 P 的切线为 l ，证明：曲线 y  fx  上的点都不在直线l的上方； （2）当a  3 时，若关于x 的方程 fx   m m  0 有不等实根   1 2 1 2 x ,x x  x ， 求证：x x m 4 3 2 2 1   

分析与解答:函数不等式的证明,切线放缩法,类极值点偏移问题 (1)1:J=(a-e)x-x),且 问题等价于证明(a-e)(x-x)≥ax-e2+1,x∈R恒成立切线在函数的上方 构造差函数g(x)=(a-e)x-x)-ax+e-1 g(x)=a-e-a+e=e-e,显然g(x)=0,且(x)在R上单调递增 于是g(x)≥(x)=-arx+6-1=0 (2)b(x)=3x-e2+1-m有两个不等式实数根 h'(x)=3-e2→8(x)在(-a,1n3)↑,在(n3,)↓ 要有两个不等根的充要条件 h(1n3)>0 彐t∈(ln3+a)h(

3 分析与解答：函数不等式的证明，切线放缩法，类极值点偏移问题 （1）    0 l y a e 0 x x x :    ，且 0 1 0 0    x ax e 问题等价于证明   1 0  0     x x a e x x ax e ，x  R 恒成立 切线在函数的上方 构造差函数gx      1 0  0     x x a e x x ax e   0 0 x x x x g x  a  e  a  e  e  e ，显然   0 0 g x  ，且gx  在R 上单调递增 于是     0 1 0 0 0       x g x g x ax e （2）h x  x e m x  3   1  有两个不等式实数根   x h  x  3  e  gx  在 ,ln3  ，在ln3,  要有两个不等根的充要条件                         3 0 3 0 3 0 s h s t h t h ,ln , ln , , ln  0  m  3ln3  2 ，（ln3 约  1.10 ） 因为y  fx  有两个零点， 0 1  ' x ， 2 0 x  x ' ，即 3 1 0 e 0  x  x 由（1）知，h x   fx  在 0 1  ' x 处的切线为y  2x  2 1 m x  在 2 0 x  x ' 处的切线为    0 y 3 e 0 x x x    令 0 2 0 0 3 0 2 3x m x e m x x x       ，1 2 0  x  4 2 2 6 2 2 m m x        m m m x x 4 3 2 4 2 2 2 1       例 4. 已知函数   x x f x  ln  1 （1）求曲线y  fx  在函数 fx  零点处的切线方程； （2）若关于 x 的方程 fx   a 恰有两个不同的实根 1 2 1 2 x ,x ，且x  x ，求证： 1 1 2 1    a x x

分析与解答:切线方程问题,零点个数求参数范围,类极值点偏移问题,放缩取点 (1)略 (2)转化命题,使问题更易于解决 原问题等价于g(x)=lnx-ax+1有两个不同的根 1-ax (x) 0 x 当a≤0时,g(x)在(O,+∞)上单调递增,不可能有两个零点,不符合题意 当a>0时,g(x)0.-个,在,+∞|↓→g>0→0 又g()=-a+1>0, --1 例5.已知函数f(x)=x(1nx-axa∈R (1)当a=0时,求函数f(x)的最小值 (2)若关于x的不等式f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围; (3)若函数f(x)有两个极值点,求实数a的取值范围; 分析与解答:极值问题,分离参数法,含参最值问题,零点个数求参数范围,放缩取点 (1)略 (2)等价于g(x)=nx-ax≤0恒成立 (3)等价于f(x)=nx-2ax-1有两个异号零点

4 分析与解答：切线方程问题，零点个数求参数范围，类极值点偏移问题，放缩取点 （1）略 （2）转化命题，使问题更易于解决 原问题等价于 gx  ln x  ax 1有两个不同的根   , 0 1 1       x x ax a x g x 当 a  0 时， gx在0,上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意 当 a  0 时，                  , 1 , 1 0, a a g x 在 在 0 1         a g  0  a 1 1 2 1 0 x a   x   补充： 1 0 4 1 . 4 2 4 2 2 2            a a a a g ln x  2 x 1, x  0 又 g1a10， 0 1        e a e g ，由零点存在定理知， 1 1  x1  e 1 1  2  1   a x x 例 5. 已知函数 fx   x lnx  ax ,a  R （1）当a  0时，求函数 fx  的最小值； （2）若关于x 的不等式 fx   0 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数 fx  有两个极值点，求实数a 的取值范围； 分析与解答：极值问题，分离参数法，含参最值问题，零点个数求参数范围，放缩取点 （1）略 （2）等价于 gx  ln x  ax  0 恒成立 （3）等价于 f x  ln x  2ax  1有两个异号零点

例6.已知函数f(x)=x2-3x+2+k1nx,其中k∈R (1)试讨论函数f(x)的极值点的个数; (2)若对任意的x>1,不等式f(x)≥0恒成立,求实数k的取值范围 分析与解答:含参讨论单调性,恒成立的讨论最值法 k2x2-3 (1)f(x)=2x-3+-= ,x>0,Δ=9-8k x 当k≥-时,△≤0,∫(x)≥0,无极值点; (2)借助第一问结论∫(x)m≥0 例7.(2015级绵阳二诊理数20180121)已知函数f(x)=e-ax-1,a∈R,对 于x∈R,f(x)≥1-21n2 (1)求a的最大值 (2)当a取最大值时,若存在x。>1,使得不等式x-k +x+3k2x>1→k=2超越不等式

5 例 6. 已知函数 fx   x  3x  2  k lnx 2 ，其中k  R （1）试讨论函数 fx  的极值点的个数； （2）若对任意的x  1，不等式 fx   0 恒成立，求实数k 的取值范围. 分析与解答：含参讨论单调性，恒成立的讨论最值法 （1）   x k f  x  2x  3  x x  x  k  2 3 2 ， x  0，   9  8k 当 8 9 k  时，   0 ， f x  0 ，无极值点； （2）借助第一问结论    0 min f x 例 7. （2015 级绵阳二诊理数 20180121）已知函数 fx  e ax a R x    1,  ，对 于x  R ,fx   1  2 ln2 （1）求a 的最大值； （2）当a 取最大值时，若存在 1 0 x  ，使得不等式   3 0 2 1 0 0 0           x  k f x x 成 立，求正整数k 的最小值. 分析与解答： （1）含参讨论 a  a lna  2  2 ln2  a  2 （2）含参讨论    2 3 0 2 1           g x  x  k e x x 能成立    2 1 2 1 g x  e x  k  x 4 6 0 1 1 2 1        e k k x k , ,  k  2 超越不等式

例8.已知函数f(x)=x--+a1nx,a∈R,fx)有两个极值点x,x,其中 x=(2录)=)的最小懂 分析与解答:极值范围问题 利用韦达定理寻找极值点的内在联系,消元构建函数,求导研究最值 x+ ax +1 f(x)=1+ -,x>0,由韦达定理知 xx2 f(x)-f(x)=anx+(x1-x)+x-2消参数a,x构建函数 g(x) x+-|nx,0<x≤求导研究最值 例9.(2015年安徽理数)设函数f(x)=x-ax+b ()讨论函数f(sinx)在 内的单调性,并判断有无极值,有极值时求出极值 2)记(x)=x2-ax+b,求函数((sin)-(inx)在-x,上的最大 值D; (3)在()中,取a。=b=0,求z=b-4满足条件D51时的最大值 分析与解答: (1)复合函数的单调性问题 (2) A(sinr)-f(sinx)=siti x-a sin+b-siri x+a,sinx a-a)smx+b-bls-a+-b绝对值不等式

6 例 8. 已知函数   a x x f x  x   ln 1 ，a  R ,fx  有两个极值点 1 2 x ,x ，其中        2 1 0 1 x , ，求     1 2 f x  f x 的最小值. 分析与解答：极值范围问题 利用韦达定理寻找极值点的内在联系，消元构建函数，求导研究最值   0 1 1 1 2 2 2         x x x ax x a x f x , ，由韦达定理知        1 1 2 1 2 x x x x a ，       1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 x x x x x x x x f x f x a    ln    消参数 a ， 2 x 构建函数   2 1 0 1 2 1             x x x x x g x x ln , 求导研究最值 例 9. （2015 年安徽理数）设函数 fx   x  ax  b 2 （1）讨论函数 fsinx 在        2 π 2 π , 内的单调性，并判断有无极值，有极值时求出极值； （2）记   0 0 2 0 f x  x  a x  b ，求函数 fsinx  f sinx  0  在     2 π 2 π , 上的最大 值D ； （3）在（2）中，取 0 0 0 a  b  ，求 4 2 a z  b  满足条件D  1时的最大值. 分析与解答： （1）复合函数的单调性问题 （2） fsinx  f sinx  0  0 0 2 2  sin x  a sinx  b  sin x  a sinx  b   0 0 0 0  a  a sinx  b  b  a  a  b  b 绝对值不等式

等号成立的条件。(a-a)b-b)≥20且x=或(a-a)-b)≤0且x=- (3)非线性规划问题已知a+b≤1,求z=b4(汗口向上的抛物线 例10.已知函数f(x)=x1nx+x2-ax+2(a∈R)有两个不同的零点x,x2 (1)求实数a的取值范围;(2)求证:x+x、>2;(3)求证:x,x> 分析与解答:分离参数法,导数法研究大致图像,对称差函数 (1)分离参数,引入函数,求导研究单调性及大致图像 a=hx+x+2,x>0入g()=hnx+x+2,g()1+-2=x+x2(+2 g(x)在(O.),在(+)↑→8(1=3→a>3函数的大致图像(略 (Ⅱ)构造函数k(x)=g(x)-g(2-x)整理得k(x)=hnx-ln(2-x)+2x-2+-、2 x 2 k(x)=2x-1)(x2-2x-4) 2(x-1)2(x2-2x-4) 当12-x2即x+x2>2 7分 (Ⅲ)构造函数(x)=g(x)-g()整理得(x)=2lnx-xx 2x-1-x2 当x>1时h(x)= 21 0 故当x>1时h(x)=2lnx-x+一为减函数,且h(1)=0,所以h(x)1时,g(x)二即x·x2>1 12 7

7 等号成立的条件：    2 π 0 0 0 a  a b  b  且x  或    2 π 0 0 0 a  a b  b  且x   （3）非线性规划问题 已知 a  b  1，求 4 2 a z  b  （开口向上的抛物线） 例 10. 已知函数 fx   x lnx  x  ax  2(a  R ) 2 有两个不同的零点 1 2 x ,x . （1）求实数a 的取值范围；（2）求证： 2 1 2 x  x  ；（3）求证： 1 1 2 x .x  分析与解答：分离参数法，导数法研究大致图像，对称差函数 （1）分离参数，引入函数，求导研究单调性及大致图像 , 0 2  ln   x  x a x x 引入   x g x x x 2  ln   ，      2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x x x x x x x x g x           gx在0,1,在1,  g1  3 a  3 函数的大致图像（略）

例1.已知a∈R,函数f(x)=lnx-ax+1 (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若函数(x)有两个不同的零点x,x(x2 分析与求解: (1)略 (2)分离参数法,讨论单调性,寻找零点的充要条件,放缩取点 方法一:单调性讨论 f(x)=1 ,x>0 当50时,f()在(0+2上单调递:当>0时,(在()个在(+∞)4 有两个零点的必要条件为 >0→00 4 +1 1 综上所述,00,b>0 ax,+1=0 →lnx2-nx1=a(x2-x) nx2-ax2+1=0 Inx -In x →x+x2>-> x2-x1 x1+x2 方法二:构造对称差函数

8 例 11. 已知 a  R ，函数 f x  ln x  ax 1 （1）讨论函数 f x 的单调性； （2）若函数 f x 有两个不同的零点   1 2 1 2 x , x x  x ， ①求实数 a 的取值范围； ②求证： 2 x1  x2  分析与求解： （1）略 （2）分离参数法，讨论单调性，寻找零点的充要条件，放缩取点 方法一：单调性讨论   0 1 1       x x ax a x f x , 当 a  0时，f x 在0, 上单调递增；当 a  0 时，f x 在        a 1 0, ，在        , a 1 有两个零点的必要条件为         0 1 a f 0  a  1 0 1          e a e f ，且 e a 1 1  ； 导数可证重要函数不等式 ln x  2 x  1, x  0           1 4 4 4 2 2 2 a a a a f ln . 1 0 4 1 4 2 2     a a ，且 a a 4 1 2  综上所述， 0  a  1 （3）对数平均不等式，构造对称差函数 方法一：对数平均不等式 a b a b a b    ln  ln 2 ， a  b, a  0, b  0          1 0 1 0 2 2 1 1 x ax x ax ln ln   2 1 2 1  ln x  ln x  a x  x 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1           a x x x x a x x lnx ln x 方法二：构造对称差函数

例12.已知函数f(x)=lnx-e+a,若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围 分析与解答 方法一:虚设零点,整体带入,放缩取点 f(x===e, f(x) a0,即2a>x+-→a>1 补充:Mx)=lnx+x-ax>0,h(x)在(O,+∞)↑,且hO)=1-a0, 由零点存在定理知,1a2+1>2a,a>0 方法二:确定临界值,分类讨论 f(1)=a-e°,引入g(a)=a-e-,g(a)=1+e>0,且g(1)=0 当a>1时,f(1)>0, =-ex0,h(x)在(O,+∞)个,且h()=1-a>0,ha)=lna1

9 例 12. 已知函数 f x x e a x a     ln ，若函数 f x 有两个零点，求 a 的取值范围. 分析与解答： 方法一：虚设零点，整体带入，放缩取点   x a e x f x     1 ，   0 1 2      xa e x f x ，由数形结合，得 f x  0 存在唯一 实根 0 x ，且          0 0 0 1 0 x a x x e x a ln ，由 f x的符号图知， f x在0, x0  , 在x0 ,      0 0   0  0     f x f x x e a x a max ln ，即 1 1 2 0  0   a  x a x 补充：hx  ln x  x  a, x  0，hx在0,  ，且h1  1  a  0, ha  lna  0， 由零点存在定理知，  x  a 0 1  a a x a e e  1  0   1 又 0 1 1          a e a a e e f ，    2   2   0 a e a a f e a e a e a 放缩取点 重要的函数不等式： 1 2 0 2 e  a   a a  a , 方法二：确定临界值，分类讨论   a f a e    1 1 ，引入   a g a a e    1 ，   1 0 1     a g a e ，且 g1  0 当 a  1时， f 1  0， 0 1 1          a e a a e e f ，    0 a f e ，同上，符合题意 当 a  1时，   1 0 1 1       e f x f x x , ， f x在0,    1 0 1      a f x f a e max ，此时 f x 只有一个零点，不符合题意 当 a  1时，令   0 0 1          e x x a x f x x a ln 引入hx  ln x  x  a, x  0， hx在0,  ，且h1  1  a  0, ha  lna  0   0  f  x  0存在唯一实根x ，且 1 a  x0   f x在0, x0  , 在x0 ,              0 0 1 2 x f x a x max  2a  2  0 ，此时 f x 无零点，不符合题意 综上所述， a  1

例13.(2015年四川卷)已知函数f(x)=-2(x+a)1nx+x2-2ax-2a2+a,其 中a>0 (1)设8(x)是f(x)的导函数,讨论8(x)的单调性; (2)证明:存在a∈(01),使得f(x)≥0在区间(+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间 +∞)内有唯一解 分析与解答:(1)g(x)=-21nx-2 X+8 Inx-x+-+1+a X-X+a 令8(x)=0今x2-x+a=0 解题方向:讨论判别式A=1-4a的符号对g(x)符号的影响 ①当a≥时,△≤0,此时g(x)≥0,(x)在(+)上单调递增; ②当00 →x>0x2>0,不妨设≈1-√-,x3 √1 g(x)的符号图为:(略) 所以(在(x)上单调递增,(x,x)上单调减,{x,+)上单调递增 (2)策略分析: 第一步:研究f(x)=0是否有根;(零点存在定理给予证明 第二步:研究f(x)的单调性,确定f(x)=0的根是否唯一;(二次求导术) 第三步:若f(x)=0有根且唯一,则给出a与根t的关系; 第四步:虚设零点,整体带入,计算f(t);(消对数,因式分解 第五步:证明f(t)=0有唯一解;(构建函数,零点存在定理 第六步:画出辅助图形,得出结论; ①由(1)知,f(x)=-1nx-x+2+1+a\,f()sx2-x+a 10

10 例 13. （2015 年四川卷）已知函数 fx    x  a  x  x  ax  a  a 2 2 2 ln 2 2 ，其 中a  0 （1）设gx  是 fx  的导函数，讨论gx  的单调性； （2）证明：存在a  0,1，使得 fx   0 在区间1, 内恒成立，且 fx   0 在区间 1,内有唯一解. 分析与解答：（1）   x a x x a g x 2 x 2  2  2    ln              a x a 2 lnx x 1              2 1 1 2 x a x g x 2 2 2 x x  x  a  ，令   0 0 2 g x   x  x  a  解题方向：讨论判别式Δ  1  4a 的符号对gx  符号的影响 ①当 4 1 a  时，Δ  0 ，此时gx   0 ，gx  在1,上单调递增； ②当 4 1 0  a  时，gx   0 的两个根分别 1 2 x ,x .由韦达定理得，         0 1 1 2 1 2 x x a x x 0 0 1 2  x  ,x  ，不妨设 2 1 1 4 2 1 1 4 1 2 a x a x       , gx  的符号图为：（略） 所以gx  在  1 0,x 上单调递增，   1 2 x ,x 上单调递减，  , 2 x 上单调递增 （2）策略分析： 第一步：研究 fx   0 是否有根；（零点存在定理给予证明） 第二步：研究 fx  的单调性，确定 fx   0 的根是否唯一；（二次求导术） 第三步：若 fx   0 有根且唯一，则给出a 与根t的关系； 第四步：虚设零点，整体带入，计算 ft ；（消对数，因式分解） 第五步：证明 ft  0 有唯一解；（构建函数，零点存在定理） 第六步：画出辅助图形，得出结论； ①由（1）知， fx             a x a 2 lnx x 1 ， fx   2 2 2 x x  x  a