《因雏曲线解题十掐会归舳》 招式1:弦的垂直平分线问题… 2 招式2:动弦过定点的问题 招式3:过已知曲线上定点的弦的问题 招式4:共线向量问题………5 招式5:面积问题… 12 招式6:弦或弦长为定值、最值问题. 15 招式7:直线问题 19 招式8:轨迹问题 22 招式9:对称问题 30 招式10:存在性问题 33
掐式1:的垂直平台线向题 例1过点T(10)作线l与曲线N:y2=x父于A、B两点,在x轴上是否存在一点E(x0,0),使得△ABE 是等边三角形,若存在,求出x0;若不存在,请说明理出。 解:依题意知,直线的斜率存在,且不等于0。 设直线l:y=k(x+1),k≠0,A(x,y1),B(x2,y2)。 y=k(x+1) 消y整珥,得k2x2+(2k2-1)x+k2=0 出直线和抛物线交于两点,得△=(2k2-1)2-4k=-4k2+1>0 即0<k 2k 由韦达定理,得:x1+x2= k2,=1。则线段AB的屮点为(3h 2k22k 线段的垂直平分线方程为 1-2k y )令y=0,侍x0-2k2 则E( 2 k 2k 2k22 △ABE为止三角形,∴E( 2k22 0)到直线AB的距离d为AB -4k 1+k AB=√(x-x2)2+(1-y2) k 2V1+k2d= |k +h 1+k 2k 2解得k=±,满足②式此时x=2 13 【涉及到弦的垂直平分线问题】 这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程,往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点 坐标M,结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数,写出弦的垂直平分线L的方程,然后解决 相关问题,比如:求L在ⅹ轴y轴上的截距的取值范围,求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐 蔽,要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题,比如:弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形(即 D在AB的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等
例2已知抛物线y=x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,求AB长度。 解:设直线AB的方程为y=x+b,出y=-x2+3 →x2+x+b-3=0→x1+x2=-1,进而可求出AB y=x+b 的中点M(2,2+b),文由M(2,2+b)在直线x+y=0上可求b=1,x+x-2=0,由弦 长公式订求出AB=V+12-4×(-2)=32 式2:据过定点的向氩 例3.已知椭圆C =1(a>b>0)的离心率为 2,且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0) (I)求桁圆的方程; (Ⅱ)若直线l:x=1(t>2)与x轴交于点T点P为直线l异于点T的任点,直线PAPA2分别与椭圆 交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论 解:(Ⅰ)由已知椭圆C的离心率e ,a=2,则得 2 c=√3,b=1。从而椭圆的方程为x+y2=1 ()设M(x,y1),N(x2,y2),直线AM的斜率为k1,则育 线AM的方程为y=k(x+2),由y=k(、y(+4k2)x2+16kx+16k2-4=0 x2+4y2=4 2和x是方程的两个根, 2x-16k0x+4,1=4-,即点M的坐标为(2-824k 2-8k 1+4k2 1+4k; 1+4k21+4k 同理,设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为( 8k2-24k2 1+4k21+4k =k1(t+2),yn=k2(t-2)
直线MN的方程为:y=, X-X 令y0,得x=x2-x2,将点MN的坐标代入,化简后得:x y1-y2 又:>2,:0b>0)上的三点,其中点A(2√3,0)是椭圆的右顶点, 直线BC过椭圆的中心O,且AC·BC=0,BC=2AC,如图。(求点C的坐标及椭圆E的方程:① 若椭圆E上仔在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线x=√3对称,求直线PQ的斜率 解:()∵|BC|=2|AC,且BC过椭圆的中心O ∴OC|=AC ∴AC·BC=0∴∠ACO y 又∵A(23,0) 点C的标为(3,√3)。 A(230)是相圆的右顶点, a=2√3,则椭圆方程为: 将点C(3,√3代入方程,得b2=4 椭圆E的方程为x+y2=1 (I):直线PC与直线QC关丁直线x=√3对称
设直线PC的斜率为k,则直线QC的斜率为-k,从而直线PC的方程为 y-√=k(x-√3),即y=kx+3(-k),由y=知+-为消y,整到得 (1+3k2)x2+63k(1-k)x+9k2-18k-3=0…x=√3是方程的一个根, 5=9k2-18k3即x=√51+3) 9k2-18k- 9k2+18k-3 同理可得:x 1+3k √3(+3k2) y-y=kxn+(1-k)+k√(+k)=k(x,+x)-23k=-12K 9k2-18k-39k2+18k-3 √3(+3k2)√3(1+3k)√3(+3k2)=x2-x03 则直线PQ的斜率为定值 掐式4:共线向量问题 例5如图所小,已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点4(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM 上,且满足AM=2AP,NPAM=0,点N的轨迹为曲线E)求曲线E的方程:Ⅱ)若过定点F(0,2) 的直线交山线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间),且满足FG=AFH,求λ的取值范围. 解:(1)∵AM=2AP,NP.AM=0.∵NP为AM的垂直平分线,∴NA=NM 又∵CN+|MM=2√2,CN|+AN=2√2>2动点N的轨迹是以点 C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆且椭圆长轴长为2a=2√2, 焦距2=2.∴a=√2,c=1,b2=1.∴曲线E的方程为+y2=1. (2)当直线GH斜率存在时,设直线GH方程为y=kx+2,代入椭圆方程+y2=1, 2 得(+k2)x2+4kx+3=0.由△>0得k2>3,设G(x1,y1),H(x2y2) -4k -8k 6 则 x.x 3×4?1+2k 2+k21+22(2)
又∵FG=FH,(x,1-2)=A(x2,y2-2)∴x1=Ax2,λ=x2 32k 32 2 元3(1+2k) 3(,2+2) ∵k2>2,4b>0)抛物线方程化为x2=4y,其焦点为(0,1), 则椭圆C的个顶点为(),即b=1出e=S=p-b225 ∴a2=5,椭圆C的方程为 +y=1(2)让明:右焦点F(2,O),设A(x,y),B(x,y2),M(O,y),显然直线l的斜率存在,设直 线l的方程为y=k(x-2),代入方程x+y2=1并整理,得 (1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0∴x+x 20k,xx21+52又MA=(x,1-y), 20k2-5 5k MB=(x2,y2-y0),AF=(2-x1,-y1),BF=(2-x2,-y2) 而MA=AAF,MB=2BF,即(x1-0,y-y)=A(2-x1,-y1),(x2-0,y2-y0)=2(2-x2,-y2) 2=2一,所以+2= 2(x1+x2)-2x2 4-2(x1+x2)+
例7已知△OFQ的面积S=2√6,且OF·PQ=m。设以O为中心,F为焦点的双山线经过Q OFEC,m= l)c,当OQ取得最小值时,求此双出线方程 解:设双曲线方程为 =1,Q(x,y)。 FQ=(vo-C, yo), SAoFQ-3IOF yo=26,:yo=tv6 OF=(c00,n)=c(x842→ 96 X H 2√3 当且仅当3C=96,即=删时OO1最小此时Q(6,6减或√-√6), 66 所以{a2b31a2 4 故所求的双出线方程为 412 a2+b2=16 类型1—求待定字母的值 例8.设双曲线C a21=1(a>0)与直线L:x+y=1相交丁两个不同的点A、B,直线L与y轴交于点 P,且PA=PB,求a的值 思路:设∧、B两点的坐标,将向量表达式转化为坐标表达式,再利用韦达定理,通过解方程纠求a 的值。 解:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1) ∵PA=PB,(x1,y1-1) ·X1 x 联立{x2 消去y并整理得,(1-a2)x2+2ax-2a2=0(*)
1-a2≠O, ∵A、B是不同的两点, a+8a2(1-a2)>0, 2a 2a ∴00 设P(x'y”),B(X1,y1),C(x2y2), 图2) 1-2k XItX XIX k 出BP=APC→(x-x1,y=y1)=A(x2-x,y2-y) λ(x2-x) 由AB=AC→(x1,y1-1)=A(x2,y2-1)→x1=元x2 Xx ≠0 xI +x21-2k 8k k+1 y=kx+1 1-2k 消去k得,x-2y-6-0() 1-2k
x’=3x 设重心Q(x2y),则 y=3(1=3,、1代入()式得,3x-6y-40 因为一b>0),F(,0).则直线AB的方程为 y=x-c.代入椭圆方程中,化简得,(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-ab2=0 2 设Ax1y),B(x2y2),则x1+x2 a-+62712 a2+b2 由OA+OB与a=(3,-1)共线,O4+OB=(x1+x2,y1+y2)得, 3(y1+y2)+(x1+x2)=0。又n=x1-c,V2=x2-C, 3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0,x1 即 2a2c3 a2=3b +b22 而c=a2-b2,于是a23c2,b-2° 因此椭圆方程为 3b2b2=1即x2+3y2=3b2 设M(x,y),由OM=O4+OB得,(x,y)=A(x1,y1)+(x2,y2)
x=Ax1+x2且y=1+2 因M为椭圆上点,所以(Ax1+1ax2)2+3(列y1+p92)2=3b2 即2(x12+3y2)+42(x2+3y2)+21(x2+3yy2)=3b2① 3 又 b xix +b 则xx2+3yy2=x1x2+3(x1-C)x2-c)=4x1x2-3(x1+x2)C+3c +3c2=0.而x1 +3 y 36. +3 代入①得,2+1x2=1,2+x2为定值。 类型4探索点、线的存在性 例1.在△ABC中,已知B(-2,0),C(2,0),AD⊥BCJD,△ABC的垂心H分有向线段AD 所成的比为。设P(-1,0),Q(1,0,那么是否仔在点H,使 成等差数列,为什么 HPIPQHQ 思路:先将AC⊥BH转化为代数关系,由此获得动点H的轨迹方程;再将向量的长度关系转化为代 数(坐标)关系,通过解代数方程组获解。 41 解:设H(x,y),出分点坐标公式知A(x° 4 H为垂心∴AC⊥BH,∴(x-2,)(x+2,y)=0, 整理得,动点H的轨迹方程为+ 43 HPF√(x+1)2+y PQ2, HQEVO 假设 成等数列,则 I HPI PQ HO PQHPIHO 即 十 (x+1)2+ y H在椭圆上.a=2,b=√3,c=1,P、Q是焦点, HP+BQ=2a=4,即∷V(x+1)2+y2+√(x-12+y2=4②