推理与证明常见的误区点睛 合情推理与证明是本章的主力军,学习它们对于提高同学们的逻辑思维能力和创新意识都 具有不可替代的作用.但在两类推理的应用过程中,容易出现各种不同的错误,本文将合本 章中经常出现的错误进行归类分析,以提高同学们应用它们处理问题的能力 归纳的不完全性出错 例1、已知x>0,由不等式x+-≥2,x+一=2++一≥3…,启发我们可以推广 x222x 结论m+n≥n+1(n∈N),则m= 错解:我们根据题目给出的规律,根据给出的规律再写出几个式子: 8≥4x+x+x+x+16≥5…,显然通过处理后的式子的分子与分母都要 约去。因此m的值等于前面分解的的系数的积,即m=2 剖析:虽然对归纳有了较好的理解,但忽视了一些细节,各式中x的系数和应为1 xx 4×分 n+1 正解:n 二推理的不周到 例2将正奇数按下表排成5列,则数2009所在的位置为() 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 7 第2行 A、第251行,第4列 B、第251行,第5列 C、第252行,第4列 D、第252行,第5列 错解:由于2009=2×1005-1,那么2009是第1005个正奇数,由于每一行有四个奇数, 而1005=4×251+1,那么2009在第252行,而2009又是这一行中的第一个数,根据规律, 奇数行的数从左到右是从小到大,而偶数行的数从右到左的数是从小到大,那么2009在第 252行,第5列,故选D 剖析:在具体问题的推理过程中,往往要结合它们的条件或题目的图形、表格等加以 辅助处理。而上述错误在于没有正确周到地处理表格中对应数的规律,其中把“奇数行的第 1列是空的,偶数行的第5列是空的”这个重要的条件遗漏了,从而导致判断位置的错误 正解:由于2009=2×1005-1,那么2009是第1005个正奇数,由于每一行有四个奇数 而1005-4×251+1,那么2009在第252行,根据规律,奇数行的第1列是空的,偶数行的 第5列是空的,那么第252行的第5列是空的,即2009在第4列,故选C. 三.盲目类比 例3、在等差数列{an}中 0,则有等式 a+a2+a+…+an=a1+a2+a3+…+a9n(n<19,n∈N)成立,类比性质,相应地:在等比数
推理与证明常见的误区点睛 合情推理与证明是本章的主力军，学习它们对于提高同学们的逻辑思维能力和创新意识都 具有不可替代的作用．但在两类推理的应用过程中，容易出现各种不同的错误，本文将合本 章中经常出现的错误进行归类分析，以提高同学们应用它们处理问题的能力． 一．归纳的不完全性出错 例 1、已知 x>0，由不等式 2 2 1 4 4 2, 3, 2 2 x x x x x x x + + = + + ，启发我们可以推广 结论 1( ) n m m n n N x + + ，则 m=_________. 错解：我们根据题目给出的规律，根据给出的规律再写出几个式子： 3 4 8 16 4, 5, 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x + + + + + + + ，显然通过处理后的式子的分子与分母都要 约去。因此 m 的值等于前面分解的 2 x 的系数的积，即 2 .n m = 剖析：虽然对归纳有了较好的理解，但忽视了一些细节，各式中 x 的系数和应为 1， 即 1. n n n x x x n n n n n x + + + + + 个 正解： . n n 二.推理的不周到 例 2.将正奇数按下表排成 5 列，则数 2009 所在的位置为（ ） 第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列 第 1 行 1 3 5 7 第 2 行 15 13 11 9 第 3 行 17 19 21 23 …… …… …… …… …… …… A、第 251 行，第 4 列 B、第 251 行，第 5 列 C、第 252 行，第 4 列 D、第 252 行，第 5 列 错解：由于 2009=2×1005-1，那么 2009 是第 1005 个正奇数，由于每一行有四个奇数， 而 1005=4×251+1，那么 2009 在第 252 行，而 2009 又是这一行中的第一个数，根据规律， 奇数行的数从左到右是从小到大，而偶数行的数从右到左的数是从小到大，那么 2009 在第 252 行，第 5 列，故选 D. 剖析：在具体问题的推理过程中，往往要结合它们的条件或题目的图形、表格等加以 辅助处理。而上述错误在于没有正确周到地处理表格中对应数的规律，其中把“奇数行的第 1 列是空的，偶数行的第 5 列是空的”这个重要的条件遗漏了，从而导致判断位置的错误。 正解：由于 2009=2×1005-1，那么 2009 是第 1005 个正奇数，由于每一行有四个奇数， 而 1005=4×251+1，那么 2009 在第 252 行，根据规律，奇数行的第 1 列是空的，偶数行的 第 5 列是空的，那么第 252 行的第 5 列是空的，即 2009 在第 4 列，故选 C. 三. 盲目类比 例 3 、 在 等 差 数 列 { } an 中，若 a10 = 0 ， 则 有 等 式 a1 + a2 + a3 ++ an ( 19, ) 1 2 3 19 = a + a + a ++ a −n n n N 成立，类比性质，相应地：在等比数
列{bn}中,若a=1,则有等式 成立。 错解:类比给出的等式b+b2+b3+…+b=b+b2+b2+…+bn(n<19,n∈N)或 bb2b2…b=bb2b3…b(n<19n∈N") 剖析:忽略了“类比法”的自身局限性:类比事物间只是在某方面的相同或相似,甚至是在 某些特定条件下的相同或相似,而不能泛泛认为二者的所有属性都可以不加任何约束的 对应。“限制不明”的“类比”,要注意将二种的概念、性质等相混淆,造成知识的负迁移, 导致出错 正解:等差数列{an}中,若a4=0,则有等式 an1+a2k-+n=an+2+a2n=2=…=a4+a1=0,所以有 a1+a2 a2k-ln(n<2k -,nEN) 当a1o=0,有等式a1+a2+a3+…+an=a1+a2+a3+…+a19(n<19,n∈N)成立。 从而对等比数列{bn}中,若b=1,则有bb2…b=bb2…b2k-1n(m<2k-1,n∈N) 当k=9时,b…b=bb2…b1=n(m<17,n∈N) 四.演绎推理结构出错 例4、如图所示,已知S为△ABC所在平面外一点,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平 面SBC,求证:AB⊥BC 错解:因为平面SAB⊥平面SBC,且BCc平面SBC,所以BC⊥平面SAB 故AB⊥BC 剖析:上述证法错误在于使用的大前提“如果两个平面互相垂直,那么一个平面 内的直线垂直于另一个平面”是错误的,而使用的大前提应该是“如果两个平面互相 垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面” 正解:过A点作直线AE⊥SB于E,因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,所以 AE⊥平面SBC,所以SB⊥AE,又因为SA⊥平面ABC,所以SA⊥BC,所以BC⊥平面 SAB,故AB⊥BC
列 { } bn 中，若 a9 =1 ，则有等式_________成立。 错解：类比给出的等式 b1 + b2 + b3 ++ bn ( 19, ) 1 2 3 19 = b + b + b ++ b −n n n N 或 b1b2b3 bn ( 19, ). 1 2 3 19 = b b b b −n n n N 剖析：忽略了“类比法”的自身局限性：类比事物间只是在某方面的相同或相似，甚至是在 某些特定条件下的相同或相似，而不能泛泛认为二者的所有属性都可以不加任何约束的一一 对应。“限制不明”的“类比”，要注意将二种的概念、性质等相混淆，造成知识的负迁移， 导致出错。 正解：等差数列 { } an 中，若 ak = 0 ，则有等式 an+1 + a2k −1−n = an+2 + a2k −n−2 == ak + ak = 0 ，所以有 a1 + a2 + a3 ++ an ( ( 2 1, ) 1 2 1 2 2 1 = a + a ++ an + an+ + an+ ++ a k − −n n k − n N ， 当 a10 = 0 ，有等式 a1 + a2 + a3 ++ an ( 19, ) 1 2 3 19 = a + a + a ++ a −n n n N 成立。 从而对等比数列 { } bn 中，若 bk =1 ，则有 b1b2 bn ( 2 1, ). 1 2 2 1 = b b b k − −n n k − n N 当 k=9 时， b1b2 bn ( 17, ). 1 2 17 = b b b −n n n N 四. 演绎推理结构出错 例 4、如图所示，已知 S 为△ABC 所在平面外一点，SA ⊥ 平面 ABC，平面 SAB ⊥ 平 面 SBC，求证：AB ⊥ BC 错解：因为平面 SAB ⊥ 平面 SBC，且 BC 平面 SBC，所以 BC ⊥ 平面 SAB， 故 AB ⊥ BC. 剖析：上述证法错误在于使用的大前提“如果两个平面互相垂直，那么一个平面 内的直线垂直于另一个平面”是错误的，而使用的大前提应该是“如果两个平面互相 垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面”。 正解：过 A 点作直线 AE ⊥ SB 于 E，因为平面 SAB ⊥ 平面 SBC，且交线为 SB，所以 AE ⊥ 平面 SBC，所以 SB ⊥ AE，又因为 SA ⊥ 平面 ABC，所以 SA ⊥ BC，所以 BC ⊥ 平面 SAB，故 AB ⊥ BC