经全国中小学教材审定委员会 2005年初审通过 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-2 人民教育出版社课程教材研究所编著 中学数学课程教材研究开发中心 人真点
本册导引 我们根据《普通高中数学课程标准(实验)》编写了这套实验教科书 本书是高中数学选修课程系列2中的一个模块,包括“导数及其应用”“推理与证明” 和“数系的扩充与复数的引入”三章内容.微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发 展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手 段.推理与证明是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.数 系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程,同时体现了数学发展的客观需求和背景,复 数的引入是中学阶段数系的又一次扩充 导数和定积分都是微积分的核心概念,它们有着极其丰富的背景和广泛的应用.第一 章通过大量实例,引导同学们经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,体会 导数的思想,理解导数的含义.通过用导数研究函数的单调性、极值等性质和解决各种最 优化问题,体会导数在解决数学问题和实际问题中的广泛应用和强大力量.本章还初步介 绍定积分的概念及其简单的应用,同学们也将初步体会定积分的思想及其丰富内涵,为进 步学习微积分打下基础.此外,通过对微积分发展史的介绍,同学们可以体会到微积分 在人类思想、文化发展史上的价值 在第二章中,同学们将学习两种基本的推理—合情推理和演绎推理.合情推理具有 猜测和发现新结论、探求解决问题的思路的作用;演绎推理则具有证明结论,整理和建构 知识体系的作用,是公理体系中的基本推理方法.二者联系紧密、相辅相成.同学们还将 学习证明的两类基本方法—直接证明和间接证明,从中体会证明的功能和特点,了解数 学证明的基本方法,感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用,养成言之有理、论证有 据的习惯 在第三章中,同学们将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性,学 习复数的一些基本知识,体会人类理性思维在数系扩充中的作用 学习始于疑问.在本书中,我们将通过适当的问题情景,引出需要学习的数学内容, 然后在“观察”“思考”“探究”等活动的带领下,引导同学们自己发现问题、提出问题, 通过亲身实践、主动思维,经历不断的从具体到抽象、从特殊到一般的抽象概括活动来理 解和掌握数学基础知识,打下坚实的数学基础 学而不思则罔.只有通过自己的独立思考,同时掌握科学的思维方法,才能真正学会 数学.在本书中,我们将利用数学内容之间的内在联系,特别是数学思想方法的一致性 启发和引导同学们学习类比、推广、特殊化、化归等数学思考的常用逻辑方法,使大家学
会数学思考与推理,在数学思维能力上有一个大的提高 学习的目的在于应用.在本书中,我们将努力为同学们提供应用数学知识解决各种数 学内外问题的机会,以使同学们加深对数学概念本质的理解,认识数学知识与实际的联系 性,并学会用数学解决一些实际问题。另外,我们还开辟了“阅读与思考”“探究与发现” “信息技术应用”等拓展性栏目,为大家提供选学素材,有兴趣的同学可以自主选择其中 的一些内容进行探究 祝愿同学们通过本册书的学习,不但学到更多的数学知识,而且在数学能力、用数学 解决问题的能力等方面都有较大提高,并培养起更高的数学学习兴趣,形成对数学的更加 全面的认识
本书部分数学符号 x趋于a x的增量 f(a) 函数f的导(函)数在a的值 f(r)d 函数f由a到b的定积分 a1+a2+…+an 虚数单位 C 复数集 2, a+bi 复数z,实部为a,虚部为b的复数
目录 第一章导数及其应用… 1.1变化率与导数 ………2 1.2导数的计算 探究与发现牛顿法—用导数方法求方程的 近似解………………20 1.3导数在研究函数中的应用……………22 信息技术应用图形技术与函数性质……33 1.4生活中的优化问题举例…………34 1.5定积分的概念……………38 信息技术应用曲边梯形的面积…………………48 1.6微积分基本定理…………………51 1.7定积分的简单应用 实习作业走进微积分………………61 小结………………………………63 复习参考题…… ……65
第二章推理与证明……… …………69 2.1合情推理与演绎推理…70 阅读与思考平面与空间中的余弦定理 2.2直接证明与间接证明……………85 2.3数学归纳法… 小结 97 复习参考题 98 第三章数系的扩充与复数的引人 101 3.1数系的扩充和复数的概念……… 3.2复数代数形式的四则运算………………107 阅读与思考代数基本定理…………113 小结…………………………115 复习参考题 116
① 你看过高台跳水比赛吗? 照片中锁定了运动员比赛的瞬间.已 知起跪!s后,运动员相对于水面的高度h(单 位:m)可用函数h(=-49r2+651+10表示,如何 求他在某一时刻的速度?他距水面的最大高度 是多少?
第一章 是导数及其应用 变化率与导数 定积分的概念 导数的计算 微积分基本定理 导数在研究函数中的应用7定积分的简单应用 生活中的优化问题举例 为了描写现实世界中运动、变化着的现象,在数学中引入了函数.刻 画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念.随 着对函数的研究的不断深化,产生了微积分,它是数学发展史上继欧氏 几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造,被誉为数学史上的里程碑 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关,一是已知物体运动的 路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度,反之,已知 物体的加速度作为时间的函数,求速度与路程;二是求曲线的切线;三 是求函数的最大值与最小值;四是求长度、面积、体积和重心等.几百 年中,科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰,终于,在17世纪中 叶,牛顿和莱布尼兹在前人探索与研究的基础上,凭着他们敏锐的直觉 和丰富的想象力,各自独立地创立了微积分 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最 大(小)值等问题的最一般、最有效的工具,因而也是解决诸如运动速度、 物种繁殖率、绿化面积增长率,以及用料最省、利润最大、效率最高等 实际问题的最有力的工具.定积分也是微积分的核心概念之一,与导数 相比,定积分的起源要早得多,它的思想萌芽甚至可以追溯到两千多年 前.自然科学和生产实践中的许多问题,如一般平面图形的面积、变速 直线运动的路程、变力所作的功等都可以归结为定积分的问题,实际上, 微积分在物理、化学、生物、天文、地理以及经济等各种科学领域中都 有非常广泛而重要的应用 在本章,我们将利用丰富的背景与大量实例,学习导数和定积分的 基本概念与思想方法;通过应用导数研究函数性质、解决生活中的最优 化问题等实践活动,通过应用定积分解决一些简单的几何和物理问题, 初步感受导数和定积分在解决数学问题与实际问题中的作用;通过微积 分基本定理的学习,初步体会导数与定积分之间的内在联系
变化率与导数 1丰富多彩的变化率问题随处可见让我们从其中的两个问题,开始变化率与导数 的学习吧! /11变化率向题 1问题1气球膨胀率 很多人都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的 增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢? 我们知道,气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r(V)= 当空气容量V从0增加到1L时,气球半径增加了 r(1)-r(0)≈0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r(1)-r(0 62(dm/L). 类似地,当空气容量V从1L增加到2L时,气球半径增加了 r(2)-r(1)≈0.16(dm), 气球的平均膨胀率为 r(2)=(1)≈0.16(dmL) 可以看出,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小了 2厘
第一章导数及其应用 第一章 观 察当△趋近于0时,平均速度有什么样的变化趋势? 我们发现,当△趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于 2时,平均速度都趋近于一个确定的值-13.1 从物理的角度看,时间间隔|△无限变小时,平均速度v就无 限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是 13.1m/s 0我们称确 定值-13.1是 为了表述方便,我们用 h(2+△)=h(2) h(2+△)-h(2) =-13.10 当趋近于0时 的极限 表示“当t=2,M趋近于0时,平均速度v趋近于确定值-13.1” 究 1.运动员在某一时刻to的瞬时速度怎样表示 2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示? aesusenwegubasggsgaugngnganu 般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 max-m+△y)=f(n ey|-表 我们称它为函数y=f(x)在x=x处的导数( derivative),记作示函数y关于自 f(x0)或y|-●,即 变量x在x。处的 f(ro)=lim △ im(x+△x)-f(x) 导数 17世纪,力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展,这些发展对数学提出了新 的要求,它们突出地表现为本章引言中提到的四类问题,其中的两类问题直接导致了导数 的产生:一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度;二是求已知曲线的切线 由导数的定义,我们知道,高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度;气球半 径r关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率 实际上,导数可以描述任何事物的瞬时变化率,如效率、国内生产总值GDP(G1 rOSs Domestic Product的缩写)的增长率,等等. 冒5