经全国中小学教材审定委员会 2006年初审通过 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4-2 矩阵与变换 人民教育出版社课程教材研究所编著 中学数学课程教材研究开发中心 ⑧人唐社 版
的 出 目录 引言 第一讲线性变换与二阶矩阵… 线性变换与二阶矩阵 )几类特殊线性变换及其二阶矩阵 1.旋转变换…………………3 2.反射变换……6 3.伸缩变换………… 4.投影变换 5.切变变换…………y"…8 (二)变换、矩阵的相等 8 二二阶矩阵与平面向量的乘法……11 三线性变换的基本性质……… )线性变换的基本性质14 (二)一些重要线性交提对单位正方形区城的作用 ……………19
第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法 …………………………29 复合变换与二阶矩阵的乘法 二矩阵乘法的性质 第三讲逆变换与逆矩阵 …43 逆变换与逆矩阵 43 1.逆变换与逆矩阵 ………43 2.逆矩阵的性质…47 二二阶行列式与逆矩阵………………50 三逆矩阵与二元一次方程组 Rsn 1.二元一次方程组的矩阵形式 56 2.逆矩阵与二元一次方程组……57 探究与发现三阶矩阵与三阶行列式………62 第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量……63 一变换的不变量——矩阵的特征向量 63 1.特征值与特征向量………………………………63 2.特征值与特征向量的计算……………16 特征向量的应用…… 71A9=2 LA"a的简单表示 2.特征向量在实际问题中的应用…… 学习总结报告…7
写|言 在初中,我们已学过轴对称、旋转、相似等平面图形的变换。例如,我们知道,把一 个平面图形沿着平面上一条直线l折叠,可以得到它关于直线l对称的图形,这个图形与 原图形全等;新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点;连接任意 对对称点的线段被直线l垂直平分.像这样,由一个平面图形(如图0-1中的△ABC)得 到它关于某条直线l的轴对称图形(图0-1中的△ABC)叫做平面图形的轴对称变换 图01 我们也可以这样来看平面图形的轴对称变换:如图0-1,设直线l在平面a内,那么对 于平面a内任意一点P,都存在平面a内唯一一点P,使P与P关于直线l对称,我们称 这样的对应关系为平面a关于直线l的反射变换,这样,经过这个反射变换,平面a内的 △ABC就被对应到△AB℃C 进一步地,如果在平面a内建立直角坐标系xOy,那么平面内的点与有序实数对(x 之间就建立了一一对应。这样,我们又可以从代数的角度来研究反射变换,例如,关于 x轴的反射变换,把平面a内的任意一点P(x,y)对应到它关于x轴的对称点P(x,y) 对于坐标P(x,y)与P(x,y),可以得到 ① y 显然,表达式①完全刻画了关于x轴的反射变换.因此,也称表达式①为关于x轴的反射 变换 我们将反射变换①变形为 r=r+Ov. y=Ory 由于②式由右端式子中x,y的系数唯一确定,我们把它们按原来的顺序写出来,并在两 端分别加上一个括号,就得到正方形数表 这个正方形数表也完全刻画了关于x
通高中课程标准实验教科书数学(选繆42)矩阵与变 轴的反射变换.我们把这种正方形数表称为二阶矩阵.这样关于x轴的反射变换就可以由 二阶矩阵 完全确定 0 类似地,在直角坐标系xOy中,平面内的许多几何变换都具有形式 x=ax+hy, y=cr+dy 其中a,b,c,d均为常数.变换③可以由二阶矩阵完全确定 数学中经常通过引入新的工具,建立不同对象之间的联系来研究问题.例如,引入平 面直角坐标系后,我们可以通过方程来研究平面曲线,也可以通过平面曲线来研究方程 在引进二阶矩阵概念后,能否对二阶矩阵与平面内的某些几何变换进行类似的研究呢?这 就是本专题要解决的主要问题 本专题将以矩阵为工具,研究一些几何变换,并以平面图形的变换为背景,讨论二阶 矩阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量的概念等,用变换的观点理解解二元一次方 程组的意义,初步展示矩阵应用的广泛性,为进一步学习打下基础 2
a+B 第一饼 线性变换与二阶矩阵 在平面直角坐标系中,平面内的点与有序实数对有一一对应关系.这样,借助直角坐标系 我们可以用代数方法表示几何变换,进而就可以从代数的角度研究几何变换本讲中,我们将 在建立一些几何变换的代数表示的基础上,引入线性变换的概念,通过线性变换引入二阶矩阵, 并进一步建立线性变换与二阶矩阵的联系,用矩阵研究线性变换的基本性质 线性变换与二阶矩阵 一)几类特殊线性变换及其二阶矩阵 1.旋转变换 将直角坐标系中所有点绕原点沿逆时针方向旋转一个角度c.设平面内点 P(x,y)经过旋转后变成点P(x',y),那么如何用P的坐标(x,y)表示P的坐 标(x2,y) 年节 我们先从简单情形开始 如图1.1-1所示,在直角坐标系xOy内,每个点都绕原 点O按逆时针方向旋转180°,设点P(x,y)经过旋转后变成 PLr,v) 点P'(x,y),x,y与x,y有什么关系呢? 可以得到 即 我们将①称为旋转角为180°的旋转变换的表达式.它建 图111 立了平面内的每个点P到其对应点P'的对应关系.我们称P 是P在这个旋转变换作用下的像 例1在直角坐标系xOy内,将每个点绕原点O按逆时针方向旋转30°的变换称为旋 回量3
CHAPTER 通高中课程标准买验教科书数学(选修42)矩辟与变换 转角是30°的旋转变换 (1)求点A(1,0)在这个旋转变换作用下的像A'; (2)试写出这个旋转变换的表达式 解:(1)如图1.1-2,不难看出,点A'的横坐标和纵坐标分别为 -lOA cos 30 22 =lOA sin 30 1x= 因此点A(、O在这个旋转变换作用下的像为A(,是 Plr yn 30°… 30 A(1O) 图1.1-2 图1.1-3 (2)如图1.1-3,分别连接OP,OP,设OP=OP=r,记0是以x轴的正半轴为始 边、以射线OP为终边的角.由三角函数的定义得 rcos d y=rsin 0 x=rcos(0+30°), y=rsin(0+30°) 由两角和的三角函数公式得 -rcos 30- yin 30 rsin30°+ 30° 即 这就是所求的旋转变换的表达式 由于②式由其右端式子中x,y的系数唯一确定,我们把这些系数按原来的顺序写出 2 来,并在两端分别加上一个括号,得到一个正方形数表 1可以发现,这个正 22 4
第一饼线性变换与二阶矩阵 第一 方形数表由旋转角是30°的旋转变换唯一确定;反之,旋转角是30°的旋转变换也可以 由这个正方形数表唯一确定.所以,这个正方形数表唯一刻画了旋转角是30°的旋转 变换 事实上,在平面直角坐标系x(内,很多几何变换都具有下列形式: ar+h y=cx+dy 其中系数a,b,c,d均为常数.我们把形如③的儿何变换叫做线性 0在表达式 变换o( linear transformtion),③式叫做这个线性变换的坐标变换美于n,y的常数 公式。P(x,y)是P(x,y在这个线性变换作用下的像 项为0的一次式, 通常称“一次” 与例1的解答一样,我们引进正方形数表 那么线性变 线性” a b b 换③可以由 唯一确定;反之, 也可以由线性变换③唯一确定 像这样,由4个数a,b,,d排成的正方形数表b称为二 c d 阶矩阵e( matrIx),数a,b,c,d称为矩阵的元素.在二阶矩阵中, 8二阶矩阵 横的叫行,从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行:竖的叫列,仅仅是一个包含 从左到右依次称为矩阵的第一列、第二列.矩阵通常用大写的英文 两行,两列的数 表,它既不是数, 字母A,B,C,…表示 也不是代数式 元素全为0的二阶矩阵/C0 00 称为零矩阵,简记为0.矩阵 01/称为二阶单位矩阵,记为E 有了二阶矩阵 cd,我们就可以利用它来研究线性变换③ 与例1(2)的解答过程一样,我们可以得到直角坐标系xOy内的每个点绕原点O按 逆时针方向旋转a角的旋转变换(通常记为R)的坐标变换公式: 如图1.1-4,分别连接OP,OP,设OP=OP=r,记0 是以x轴的正半轴为始边、以射线OP为终边的角,由三角函 . PLrv 数的定义得 reos o y=rsin 0 r=rcos(o-ta) 所以,绕原点O按逆时针方向旋转a角的旋转变换的坐标变 图1.1-4 换公式是 -rcos a sin d. - rsin a+ cos a 国5
CHAPTER 甜通离中课程标准实验教科书数学(远修42)矩阵与变换 对应的二阶矩阵为 COs a sin a sin a cos a 2.反射变换 在引言中我们已经看到,关于x轴的反射变换把直角坐标系xOy内的任意一点P(x )对应到它关于x轴的对称点P(x,y2),相应的坐标变换公式是 10 与之对应的二阶矩阵是 0 同样,关于y轴的反射变换把直角坐标系xOy内的任意一点P(x,y)对应到它关于 y轴的对称点P(x,y).相应的坐标变换公式是 V-v 对应的二阶矩阵为 我们知道,在直角坐标系xOy内,任意一点P(x,y)关于直线y=x的对称点为 P(y,x),所以,关于直线y=x的反射变换把直角坐标系内任意一点P(x,y)对应到 它关于直线y=x的对称点P(x2,y),相应的坐标变换公式是 0 对应的二阶矩阵为 一般地,我们把平面上的任意一点P对应到它关于直线l的对称点P的线性变换叫 做关于直线l的反射( reflection) 在直角坐标系xOy内,直线过原点,倾斜角为a.你能求出关于直线l的 反射变换的坐标变换公式吗? 3.伸缩变换 在直角坐标系xOy内,将每个点的横坐标变为原来的k倍,纵坐标变为原来的k 倍,其中k,k2均为非零常数,我们称这样的几何变换为伸缩变换( stretching) 晶6
第一饼线性变换与二的矩阵 第一 例2在直角坐标系xOy内,将每一点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持 不变 (1)试确定该伸缩变换的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵; (2)求点A(1,-1)在该伸缩变换作用下的像A 解:(1)设在这个伸缩变换作用下,直角坐标系xOy内的任意一点P(x,y)对应到 点P ),则 =2y 因此,所求的坐标变换公式为 =2 10 从而,对应的二阶矩阵为 02 (2)将点A(1,-1)的坐标代入坐标变换公式,得 1 2×( 从而A的坐标为(1,-2) 一般地,在直角坐标系xOy内,将每个点的纵坐标变为原来的k倍(k是非零常数), 横坐标保持不变的线性变换,其坐标变换公式是 k 对应的二阶矩阵是/0 10 k 将每个点的横坐标变为原来的k倍(k是非零常数),纵坐标保持不变的线性变换,其 坐标变换公式是 对应的二阶矩阵是 k 0 将每个点的横坐标变为原来的k倍,纵坐标变为原来的k倍(k1,k2均为非零常数) 的线性变换,其坐标变换公式是 k v=k,y k10 对应的二阶矩阵为0k 4.投影变换 设l是平面内一条给定的直线.对平面内的任意一点P作直线的垂线,垂足为点P, 则称点P为点P在直线l上的投影.将平面上每一点P对应到它在直线上的投影P’,这 ■7圆