经全国中小学教材审定委员会 2005年初审通过 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4-1 几何证明选讲 人民教育出版社课程教材研究所编著 中学数学课程教材研究开发中心 人A点 版
目录 引言………………………………………1 第一讲相似三角形的判定及有关性质… 平行线等分线段定理…………………2 二平行线分线段成比例定理……………5 三相似三角形的判定及性质 10 相似三角形的判定………………………10 2.相似三角形的性质……………16 四直角三角形的射影定理……………20 第二讲直线圆的位置关系……24 圆周角定理……………………………24 二圓内接四边形的性质与判定定理…………27 三圆的切线的性质及判定定理… 四弦切角的性质………………32 五与圆有关的比例线段:…34
第三讲圆锥曲线性质的探讨…43 平行射影 13 平面与圆柱面的截线 三平面与圆锥面的截线 学习总结报告…………………53
我们依据《普通高中数学课程标准(实验)》编写了本册教科书 本书是高中数学选修课程系列4中的一个专题,内容包括相似三角形的判定和性质 直线与圆的位置关系、圆锥曲线性质的探讨等 在初中,同学们已经学习了相似图形的概念以及相似三角形的某些性质·但当时并没 有对相似三角形的有关定理进行严格的证明.本书的第一讲,主要内容就是对这些定理进 行证明,并应用它们去解决一·些问題.为了证明这些定理,我们引人了平行线等分线段、 平行线分线段成比例的有关内容,以组成一个相对严谨的逻辑体系 第二讲,讨论直线与圆的位置关系,涉及圆周角、圆的内接四边形、阙的切线、弦切 角、与圆有关的线段间的度量关系等内容.其中有的慨念同学们在初中阶段已经学习过 本讲力求使这些知识融为一体.对相关定理进行严格论证,并注重知识的应用 第三讲,讨论圆锥曲线的概念和性质.圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线,它们是 解析几何研究的重要内容.在本讲中,我们选择了一个新的视角,用一个平面去截一个圆 柱或圆锥,由平面与所截圆柱或圆锥中轴线的夹角变化去考察截口曲线的形状,得到椭圆、 双曲线和抛物线,同时给出相关结论的证明 在学习本书的过程中,应注意以下儿点: 1.注重证明.数学是一门严谨的科学,得出的结论都要经过严格的证明.正是这种严 谨性,使数学学习成为训练同学们逻辑推理技能、提高逻辑思维能力的有效途径本书突 出数学证明的目的也在于此 2.强调过程.一般说来,正确的数学结论的形成需要“发现”和“证明”两个主要阶 段,在这两个阶段中都包含着“过程”数学知识有一个发生发展过程,通过数学学习,同 学们可以领悟知识产生的背景,经历知识发展的过程,从而提高自己提出问题和解决问题 的能力.因此,本书许多定理的引入和证明,都突出了其发生发展的过程 3.突出思想.在陈述知识的同时,力求突出慨念所反映的数学思想方法因此,同学 们在学习中,掌握知识的同时要努力领悟数学思想方法 1.加强探究。学习中,同学们应跟随书中的“观察”“思考”“探究”等,大胆探究 问题 希望同学们通过本书的学习,在知识的积累、数学能力的提高、对数学的理解和认识 等方面都能更上一个台阶 原1
相似三角形的 B 第一讲 判定及有关性质 B 在初中,我们经在平面几何中讨论过平行线的一些性 质和判定的问题.例如,如果两条直线同时平行于第三条直 你还能回忆起更多 线,那么这两条直线互相平行;同位角相等,两直线平行 的关于平行线的知 两直线平行,内错角相等……下面我们继续研究平行线的●识吗? 性质 平行线等分线段定理 研究平行线的性质,就是在已知一组直线平行的条件下,探究可以推出哪些结论.例 如,一组平行线被另一组平行的或非平行的直线所截(图1-1),所得到的图形具有哪些性 质呢? 图|-1 如图1-2,三条直线h、l2、l满足l1∥l2∥,直线l∥1,且分别与l、l2、l 相交于A1、A3、A1和B1、B2、B,当AA2=AA1时,观察图形,并测量线段 BB2、BB1的长度,它们有什么关系?如果l与1不平行(如图1-3),上述关系还 成立吗? 2
第一讲相似三用形的判定及有关性质 / B 图1-2 图1 通过观察并测量,可以发现,无论l与是否平行,只要 AA2=A:A1,就们BB2=BB.因此可以猜想: 由观察或测量 已知1∥l2∥1,直线1,与1,l2、l分别交于A1、A 得到的沽论不一定 可靠,必须通过严 A1和B1、B2、B1·如果A1A=AA,那么=B2B1 格的数学证明,才 下面我们给出这个猜想的证明. 能得到正确的、具 证明:(1)如图1-2,当∥时, 有一般悲义的结论 你能证明这个猜 ∵h1∥l2∥l.∥r, 想吗? 四边形A1B1B2A是平行四边形 ∴BB=A1A2 同理可证B4=A2A1 AA =A-A ∴BB=BB (2)当/与不平行时,如图1-1.过B作BC2∥AA 交l于C:过B作BC∥AA,交l于Cx.同(1)的证 明方法可得BC:=B2C3 考察△B1CB2和△B2CB ∵B(2∥BC(为什么?) ∴∠CBB=∠CBB 又∵∠BB(2=∠B2BC3BC2=BC, 图14 △BCB2≌△BCB B,B-1B 于是,我们有 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直 线上截得的线段相等.那么在其他直线上截得的线段也 相等 B 将图1-4中的直线了平移,使与l相交于A 图1-5),考察△AAB.因为AA:=AA,所以根据平 523
CHAPTER 通高中课程标堆实验教科书数学(选修41几何证明选讲 行线等分线段定理可得AB2=BB.于是有 推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 ●你能证明这个 推论吗? 必平分第三边0 考察图1-4中的梯形AABB1·你能发现什么结论? 推论2经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线平分另一腰 例1如图16,要在一块钢板上的A、B两个 小孔间再钻三个小孔,使这些小孔都在直线AB 上,井且每两个相邻的小孔中心的距离相等.如果 只有圆规和无刻度直尺,应当怎样确定小孔的中心 位置? 作法:(1)连结AB.过点A作适当射线AC; (2)在射线A上,以适当长r为半径,用圆 规顺次截取AD=DE=EF=FY=r; 图16 (3)连接(; (4)过点F、E、D分别作GB的平行线FR、EQ、DP,分别交AB于点R、Q、P 则P、Q、R就是中问三个小孔的中心位置 你能说说上述作图方法的依据吗? 例2如图1-7.1、E分别是△ABC中B边和 AC边的中点,求证:DE∥BC且DE=BC 这是已经学过的三角形中位线定理.下面我们用 E 平行线等分线段定理证明它 证明:过D作D∥B根据推论1.E为A 的中点,而E是AC的中点,故E与E重合, 即DE∥BC 图17 同样,过D作DF∥AC,交B于F则 F=F(. ∵D)E∥FC,D)F∥EC
第一讲相似三角形的判定及有关性质 算- 四边形D)F(F是平行四边形 ∴DE=F 又∵:FC=1Bx DE-: BC 个数学命题的发现往往来自于对特例的观察和慨括,因为在特例中.其命题的各种 信息会更加明显,容易被人们捕捉,从而更容易发现条件与结论的内在联系.将问题特殊 化,通过观察特殊现象而得出一般结论的猜想,或者通过解决特例而获得解决般问题的 思想方法的启示,这是数学研究中常用的方法.请同学们回顾平行线等分线段定理的概括 过程,从屮体会从特殊到一般的思考方法 习题 1.画一条6厘米长的线段,并把它7等分 2.已知:如图,M、N分别是□ABCD的AB、CD边的中点.CM交BD于 点E,AN交BD于点F.请你探讨BE、EF、FD三条线段之间的关系, 并给出证明 3.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AB、DC的中点,连接EF, 且EF交BD于G,交AC于H. 求证:GH=(BC=AD) (第2题 第3题) 二。平行线分线段成比例定理 我们看到,平行线等分线段定理以“相邻两条平行线间的距离都相等”为条件,如果 一组平行线中相邻两条平行线间距离不相等,又可以得出怎样的结论呢?
CHAPTER 通离中课程标准实验教科书数学(选41)几何证阴进讲 观察 如图1-8,两条直线被一组平行线所娥,当平行线间的距离不相等时,所截得的 我段AB与BC、DF与EF之间有什么关系? D 图1-8 图 容易发现,AB≠BC,DE≠EF. 由以往学习平面几何的经验,当几何图形不全等时,可以考察它们是否相似,而相似 是通过“对应边成比例,对应角相等”来表现的,由此得到启发,我们可以研究被一组平 行线截得的线段是否有“对应边成比例”? 在图1-8中 BC与EF相等吗?取AB2的特殊情形进行探讨 我们可以将上述问题化归为平行线间距离相等的情形 如图1-9.如果 AB 2 BC 3 设线段AB的中点为P1,线段BC的三等分点为P2、P,这 时有 AP=P,B=BP.=P,P,=P, 分别过点P1、P、P作直线a1、a2、a平行于l,与的交点分别为Q1、Q2、Q 由平行线等分线段定理可知: DQI=QE-EQ=QQ,=Q F. ∵DE=DQ+QE=21Q, EF=EQ2+QQ+Q,F=3DQ
”第一讲相似三角形的判定及有关性质 第一拼 ∴!E=21X EF 3/ 4=3 ∴ABDE BC Er. (1 当为有理数时,即 (m,n是互质的正整数),AB是 如果 长度单位的m倍,B是长度单位的n倍,依照上面的方法,可以 证明(1)成立.更一般地,可以证明,当A∥∥A,且AB是实数 么b d a+h 成豆吗? 时,(1)式也成 由(1)式和比例性质,可以得到 设 13 AB DE sC Fr 请你证明这两个 1C ACDF’ACDF 等式(比例的性 般地,我们有 质) 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例 观察图1-1和图1-1.它们是图18的特殊情形,即1与的交点分别在l1、4上 根据平行线分线段成比例定理,可 AD F A13 4( 如果把图110.11中的直线l2看成是平行于△ABC的BC边的直线,那么可以 得到: 推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段 成比例 图|10 例1如图1-12.△AB中,DE∥BC,DF∥AC,AE=4,FC=2,BC=8.求BF 和(F的长 解:∵DE∥B AI) AE I 2 AB 63. ∵DF∥AC 7