2020:2月 禁止商用侵权必究 学签础命 解构“分析法” 王瑛 (进才中学,上海200135) 1“分析法”的来由 其证题思路是“执果索因”.当从条件出发 从最早的哲学家开始,便提出了把复杂的证明不等式无从下手时,或当结论中蕴含着比 事物分解为较简单的因素的组合这种认识世较丰富的信息时,我们不妨换一种思路去探寻 界的基本方法17世纪法国数学家笛卡尔提出条件和结论之间的逻辑关系,即从结论开始寻 了取得知识的原则主张把难题尽可能地分成找到达它的条件,用图示法表示如下B心 细小的部分,直到可以圆满解决,以便从最简 单、最容易的认识对象开始,上升到对复杂对 B1=B2=…Bn=A,(其中A为显 象的认识西方哲学大师罗素主张这样通过然成立的条件,B为要证明的结论) “分解拆分”而建立真理体系的方法叫作“分 上述问题的证明也可以如下方式呈现: 析”我们来看看如何解决以下问题 因为0y>0,求证:√x-√y0 所以(√x-√y)20,√x 只需证x+y-2√xy<x-y, 所以x-√y< 只需证2y<2√xy, 这种证明方法是学生接下来要学习到的 只需证√y<√x, 综合法”此题的证明过程用“综合法”呈现有 只需证y< *)利有弊,优点是阅读起来比较流畅,可读性强, 由题设可知(*)显然成立,所以原不等式缺点是其中有几个步骤较为跳跃,学生无法想 到其实,“综合法”只是一种呈现手段,其中让 上述的证明过程其实是将结论一步步拆学生感到犹如天上掉下来一般的、较为跳跃的 中 分成我们熟悉的条件,哲学中分析的意思是分步骤,是通过“分析法”分析出来,并不是凭空 解拆分,我们把哲学上的叫法应用于数学学科想出来的给出如此的指导性建议后,相信学 浮 上,可以称如此证明不等式的方法为“分析生会更深刻地理解“分析法”的意义所在 4法”严格地说,从要证的结论出发,逐步寻求 2“分析”问题的角度 使它成立的充分条件或充要条件,直到归结为 最早哲学家提出把复杂事物分解为简单 判定一个显然成立的条件(已知、定义、公理、因素的组合这种思想是朴素的,带有猜测性 定理、性质、法则等)为止,从而证明论点的正的中国古代的五行学说认为,万物由金、木 确性、合理性的论证方法,称为分析法 水、火、土组成古希腊哲学中有万物由水、火 网址 .cbpt cnki.net 2 邮箱:zxs82486@163.com
解构“分析法” 王 瑛 (进才中学,上海 ２００１３５) １“分析法”的来由 从最早的哲学家开始,便提出了把复杂的 事物分解为较简单的因素的组合这种认识世 界的基本方法．１７世纪法国数学家笛卡尔提出 了取得知识的原则,主张把难题尽可能地分成 细小的部分,直到可以圆满解决,以便从最简 单、最容易的认识对象开始,上升到对复杂对 象的认识．西 方 哲 学 大 师 罗 素 主 张 这 样 通 过 “分解拆分”而建立真理体系的方法叫作 “分 析”．我们来看看如何解决以下问题: 已知x＞y＞０,求证:x－ y＜ x－y． (A)要证 x－ y＜ x－y, 因为x＞y＞０, 所以 x－ y＞０,x－y＞０． 只需证(x－ y)２＜(x－y)２, 只需证x＋y－２ xy＜x－y, 只需证２y＜２ xy, 只需证 y＜ x, 只需证y＜x． (∗) 由题设可知(∗)显然成立,所以原不等式 成立． 上述的证明过程其实是将结论一步步拆 分成我们熟悉的条件,哲学中分析的意思是分 解拆分,我们把哲学上的叫法应用于数学学科 上,可以 称 如 此 证 明 不 等 式 的 方 法 为 “分 析 法”．严格地说,从要证的结论出发,逐步寻求 使它成立的充分条件或充要条件,直到归结为 判定一个显然成立的条件(已知、定义、公理、 定理、性质、法则等)为止,从而证明论点的正 确性、合理性的论证方法,称为分析法[１]． 其证题思路是“执果索因”．当从条件出发 证明不等式无从下手时,或当结论中蕴含着比 较丰富的信息时,我们不妨换一种思路去探寻 条件和结论之间的逻辑关系,即从结论开始寻 找到达它的条件,用图示法表示如下:B 或 B１ 或 B２ 或 或 Bn 或 A,(其中A 为显 然成立的条件,B 为要证明的结论)． 上述问题的证明也可以如下方式呈现: 因为０＜y＜x, 所以 y＜ x． 所以２y＜２ xy． 所以x＋y－２ xy＜x－y． 所以(x－ y)２＜(x－y)２． 又因为 x－ y＞０,x－y＞０, 所以 x－ y＜ x－y． 这种证明方法是学生接下来要学习到的 “综合法”．此题的证明过程用“综合法”呈现有 利有弊,优点是阅读起来比较流畅,可读性强, 缺点是其中有几个步骤较为跳跃,学生无法想 到．其实,“综合法”只是一种呈现手段,其中让 学生感到犹如天上掉下来一般的、较为跳跃的 步骤,是通过“分析法”分析出来,并不是凭空 想出来的．给出如此的指导性建议后,相信学 生会更深刻地理解“分析法”的意义所在． ２“分析”问题的角度 最早哲学家提出把复杂事物分解为简单 因素的组合这种思 想 是 朴 素 的,带 有 猜 测 性 的．中国古代的五行学说认为,万物由金、木、 水、火、土组成．古希腊哲学中有万物由水、火、 网址:zxss．cbpt．cnki．net ２ 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com
气、土组成的观点,有万物皆数的观点,有万物 只需证2√x-y·√y>0. 皆原子构成的观点20世纪30年代布尔巴基 由题设可知(*)显然成立,所以原不等式 学派的成员们以数学结构作为分类数学理论成立 的基本原则,对数作出了另一种分解数可以 回顾上述(A)(B)(C)(D)四种用“分析 作为运算,从这点着眼,分出了代数结构;数可法”进行证明的方法,我们可以发现对结论的 以比较大小,从这里分出了序结构;考虑到实理解是不相同的,(A)证法中直接对结论进行 数系具有连续性,而整数系是离散的,因而数两边平方运算,(B)和(C)证法中,证明者意识 因而我们可以发现同样是用分解拆分的到√ 具有了拓扑结构 与√x-y分别是“根号的差”与“差 “分析法”解决问题但对结论理解的不同,分的根号”,感受到了数学中的对称美,进而用平 析角度的不同,转化到的条件也会不一样比方差公式x )·(√x+√y)对 如在上述的问题中,我们还可以提供以下三种 不等式的两侧或一侧进行变形后再进行证明, 不同的证明方法 (D)证法中是先进行移项,再进行两边平方运 算.上述四种证法因分析角度的不同,所以转 (B)要证√x-√yy>0 其应用价值. 只需证√x-yy>0, 生活中,我们不妨多从失败的教训中去寻找原 只需证 因,汲取营养在日后决策中,我们也不妨多分 0 (*)住问题的主要矛盾,解决好复杂的现实问题 由题设可知(*)显然成立,所以原不等式 参考文献 成立 [1]张宏翀分析法在证明不等式中的应用 (D)要证√x [J].中学生数学,2018,7(589):7 只需证x<√x-y+ [2]张景中.数学与哲学[M].大连:大连理工 只需证(√x)2<(x-y+√y)2 大学出版社,2016 只需证x<(x-y)+2√x-y·√y+y, (责审张思明) 网址 3 邮箱:zxss2486@163.com
学好基础知识 气、土组成的观点,有万物皆数的观点,有万物 皆原子构成的观点．２０世纪３０年代布尔巴基 学派的成员们以数学结构作为分类数学理论 的基本原则,对数作出了另一种分解．数可以 作为运算,从这点着眼,分出了代数结构;数可 以比较大小,从这里分出了序结构;考虑到实 数系具有连续性,而整数系是离散的,因而数 具有了拓扑结构[２]． 因而我们可以发现,同样是用分解拆分的 “分析法”解决问题,但对结论理解的不同,分 析角度的不同,转化到的条件也会不一样．比 如在上述的问题中,我们还可以提供以下三种 不同的证明方法: (B)要证 x－ y＜ x－y． 因为x,y＞０, 只需证(x － y)(x ＋ y)＜ x－y (x＋ y), 只需证x－y＜ x－y(x＋ y)． 因为x＞y＞０, 只需证 x－y＜ x＋ y． (∗) 由题设可知(∗)显然成立,所以原不等式 成立． (C)要证 x－ y＜ x－y． 因为x＞y＞０, 只需证 x－ y＜ (x－ y)(x＋ y), 只需证 x－ y ＜ x＋ y , 只需证 y＞０． (∗) 由题设可知(∗)显然成立,所以原不等式 成立． (D)要证 x－ y＜ x－y． 只需证 x＜ x－y＋ y, 只需证(x)２＜(x－y＋ y)２, 只需证x＜(x－y)＋２ x－y y＋y, 只需证２ x－y y＞０． (∗) 由题设可知(∗)显然成立,所以原不等式 成立． 回顾上 述 (A)(B)(C)(D)四 种 用 “分 析 法”进行证明的方法,我们可以发现对结论的 理解是不相同的,(A)证法中直接对结论进行 两边平方运算,(B)和(C)证法中,证明者意识 到 x－ y与 x－y分别是“根号的差”与“差 的根号”,感受到了数学中的对称美,进而用平 方差公式x－y＝(x － y)(x ＋ y)对 不等式的两侧或一侧进行变形后再进行证明, (D)证法中是先进行移项,再进行两边平方运 算．上述四种证法因分析角度的不同,所以转 化到的条件也不同,但本质都是相同的,即搭 建了从结论到条件的桥梁． ３“分析法”在现实中的应用 课本中要求学生掌握的内容是运用分析 法证明不等式,其实分析法在现实生活中也有 其应用价值． 辩证法主张分析就是分析事物的矛盾．事 物都有其原因和结果,从结果找原因就是找出 事物产生、发展的来龙去脉和规律,这就起到 了证明论点的合理性和正确性的作用．在日常 生活中,我们不妨多从失败的教训中去寻找原 因,汲取营养．在日后决策中,我们也不妨多分 析几种可能发生的结果以及思考清楚自己所 不能承受的后果,并且反推出可能引起这个结 果的原因,看看是否可以避免或调整,从而抓 住问题的主要矛盾,解决好复杂的现实问题． 参考文献 [１]张 宏 翀．分 析 法 在 证 明 不 等 式 中 的 应 用 [J]．中学生数学,２０１８,７(５８９):７． [２]张景中．数学与哲学[M]．大连:大连理工 大学出版社,２０１６． (责审 张思明) 网址:zxss．cbpt．cnki．net ３ 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com
丝 2020:2月 分式求值问题 陈永 (江苏省涟水中等专业学校,江苏淮安223400) 分式求值问题综合性强,技巧性高,是中c11 考和竞赛的常见题型分式求值问题的本质是abab—c的值 代入求解,一是依据条件求出字母的值,再代 入计算;二是求出字母间的关系(无法求出字 解析要求+0babc 111 的 母的具体值),再代入约分计算当然主要思想值,需求a、b、c的值,若按常规方法是无法解 是方程思想,技巧见下提示 决的,注意到由已知作差可得:a-b=-1,b 1整体代入 c=-1,c-a=2,可采取配凑然后整体代入 例1已知1-1=4,求 的方法,事实上 (a+b+cl-bc a+ab-b的值 原式 解析由条件可得a-b=-4ab,而待求 式也含有a-b与ab的式子,所以可将a-b2ab) lab整体代人 [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] 11 ×(1+1+4)≈ b tab 原式= 主元代入 lablab (-4ab)-3ab 例3已知3x-4y-z=0,2x+y 当然,本题还可以用下面的方法,还是用 8z=0,求 的值 整体代入的方法 ab≠0, 解析把x,y作为主元,z作为字母已知 数,用z表示 Ca +ab-b)x 中 原式 3x-4 得方程组 解之得 浮 代入 +4z2+ b 4 1-43 3设参代入 例4已 例2已知a+d2=2007,b+d2 2004=200ak=24,求2+a+ 的值 网址 .cbpt cnki.net 邮箱:zxs82486@163.com
分式求值问题 陈 永 (江苏省涟水中等专业学校,江苏 淮安 ２２３４００) 分式求值问题综合性强,技巧性高,是中 考和竞赛的常见题型．分式求值问题的本质是 代入求解,一是依据条件求出字母的值,再代 入计算;二是求出字母间的关系(无法求出字 母的具体值),再代入约分计算．当然主要思想 是方程思想,技巧见下提示． １ 整体代入 例１ 已 知 １ a － １ b ＝ ４,求 a＋ab－b ２a－３ab－２b 的值． 解析 由条件可得a－b＝－４ab,而待求 式也含有a－b 与ab 的式子,所以可将a－b ＝－４ab 整体代入． 由 １ a － １ b ＝４,得a－b＝－４ab, ∴ 原 式 ＝ a－b＋ab ２(a－b)－３ab ＝ －４ab＋ab ２×(－４ab)－３ab ＝ －３ab －１１ab ＝ ３ １１ ． 当然,本题还可以用下面的方法,还是用 整体代入的方法． ∵ ab≠０, ∴ 原 式 ＝ (a＋ab－b)× １ ab (２a－３ab－２b)× １ ab ＝ １ b ＋１－ １ a ２ b －３－ ２ a ＝ １－( １ a － １ b ) －３－２( １ a － １ b ) ＝ １－４ －３－８ ＝ ３ １１ ． 例２ 已知a＋d２＝２００７,b＋d２＝ ２００８,c＋d２ ＝２００９,且abc＝２４,求 a bc ＋ b ca ＋ c ab － １ a － １ b － １ c 的值． 解析 要求 a bc ＋ b ca ＋ c ab － １ a － １ b － １ c 的 值,需求a、b、c 的值,若按常规方法是无法解 决的,注意到由已知作差可得:a－b＝－１,b －c＝－１,c－a＝２,可采取配凑然后整体代入 的方法,事实上, 原式＝ １ abc (a２＋b２＋c２－bc－ac－ab) ＝ １ ２abc (２a２ ＋２b２ ＋２c２ －２bc－２ac－ ２ab) ＝ １ ２abc [(a－b)２＋(b－c)２＋(c－a)２] ＝ １ ４８ ×(１＋１＋４)＝ １ ８ ． ２ 主元代入 例３ 已知３x－４y－z＝０,２x＋y －８z＝０,求 x２＋y２＋z２ xy＋yz＋２zx 的值． 解析 把x,y 作为主元,z 作为字母已知 数,用z 表示x,y, 得方程组 ３x－４y＝z, {２x＋y＝８z, 解之得 x＝３z, {y＝２z． 代入 x２＋y２＋z２ xy＋yz＋２zx ＝ ９z２＋４z２＋z２ ６z２＋２z２＋６z２＝１． ３ 设参代入 例４ 已知 x ２０１９ ＝ y ２０２０ ＝ z ２０２１ ≠０, 求 x＋y－z x－y＋z 的值． 网址:zxss．cbpt．cnki．net ４ 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com
解析设2019-20202021=k(k≠0) 1 b+bc+ca 6 这里k为辅助参数 5降次代入 代A之十y=22019k+2020k-2021k3-x2一的知x2+x-3=0,求 则x=2019k,y=2020k,z=2021k 例6 y+z2019k-2020k+2021k 1009 解析由x2+x-3=0,得x2=3-x, l010 ∴x3=3x-x2=3x-(3-x)=4x-3. 4求倒代入 3-x2-x33-(3-x)-(4x-3) 例5已知a,c为实数,且 3(x-1) 1 bc 1 3b+c4c+a5∵ab+b+ca 的值 6局部代入 解析本题条件有三个方程求三个未知 数,a、b、c的值是可求的,只是按常规方法我 例7已知ak=1,求b+4+1+ 们很难将a、b、c的值求出来这里先求它们的 倒数, bc +b+1 ca+c+1 的值 解析 bc=1 +b 3 b+c 4 c+a 5 a+b=3.,+c=4,+a 原式 =5, 则 三式相加并整理得a+b+c ab+a+11+ab+aa+1+ab abta+ 所求式倒立得 ab+bc 1 (责审刘华为) 智慧窗《趣换数字》 智慧窗《趣填数字》 参考答案 参考答案 中 (1)12+32+182+192+ 2020 4 42+62+92+112+142+272+292 2020 (2)22+42+62+122+132+142+152+16 +172+182+192=2020 网址 邮箱:zxss2486@163.com
学好基础知识 解析 设 x ２０１９ ＝ y ２０２０ ＝ z ２０２１ ＝k(k≠０), 这里k 为辅助参数． 则x＝２０１９k,y＝２０２０k,z＝２０２１k． 代 入 x＋y－z x－y＋z ＝ ２０１９k＋２０２０k－２０２１k ２０１９k－２０２０k＋２０２１k ＝ １００９ １０１０ ． ４ 求倒代入 例５ 已知a,b,c为实数,且 ab a＋b ＝ １ ３ , bc b＋c ＝ １ ４ , ca c＋a ＝ １ ５ ,求 abc ab＋bc＋ca 的值． 解析 本题条件有三个方程求三个未知 数,a、b、c 的值是可求的,只是按常规方法我 们很难将a、b、c的值求出来．这里先求它们的 倒数, ∵ ab a＋b ＝ １ ３ , bc b＋c ＝ １ ４ , ca c＋a ＝ １ ５ , ∴ a＋b ab ＝３, b＋c bc ＝４, c＋a ca ＝５, 则 １ a ＋ １ b ＝３, １ b ＋ １ c ＝４, １ c ＋ １ a ＝５, 三式相加并整理得 １ a ＋ １ b ＋ １ c ＝６, 所求式倒立得 ab＋bc＋ca abc ＝ １ c ＋ １ a ＋ １ b ＝６, ∴ abc ab＋bc＋ca ＝ １ ６ ． ５ 降次代入 例６ 已 知 x２ ＋x －３＝０,求 ３－x２－x３ x－１ 的值． 解析 由x２＋x－３＝０,得x２＝３－x, ∴ x３＝３x－x２＝３x－(３－x)＝４x－３． ∴ ３－x２－x３ x－１ ＝ ３－(３－x)－(４x－３) x－１ ＝ －３(x－１) x－１ ＝－３． ６ 局部代入 例７ 已知abc＝１,求 a ab＋a＋１ ＋ b bc＋b＋１ ＋ c ca＋c＋１ 的值． 解析 ∵ abc＝１, ∴ 原 式 ＝ a ab＋a＋１ ＋ ab abc＋ab＋a ＋ c ca＋c＋abc ＝ a ab＋a＋１ ＋ ab １＋ab＋a ＋ １ a＋１＋ab ＝ ab＋a＋１ ab＋a＋１ ＝１． (责审 刘华为) 智慧窗《趣换数字》 参考答案 (１)１２ ＋３２ ＋１８２ ＋１９２ ＋２０２ ＋２１２ ＋２２２ ＝ ２０２０, ４２＋６２ ＋９２ ＋１１２ ＋１４２ ＋２７２ ＋２９２ ＝ ２０２０; (２)２２＋４２ ＋６２ ＋１２２ ＋１３２ ＋１４２ ＋１５２ ＋１６２ ＋１７２＋１８２＋１９２＝２０２０． 智慧窗《趣填数字》 参考答案 网址:zxss．cbpt．cnki．net ５ 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com
2020:2月 恩路与方 利用凹多边形巧求角的度数和 王为民 (徐州高等师范学校,江苏徐州221116) 现行苏教版七年级下册第12章“证明”第E之间有何数量关系?为什么? 166页第9题 (4)如图6,直接写出∠A1PAn-1、∠A 如图1,在五角星 ∠A2、∠A3,……,∠An-1之间的数量关系 ABCDe中,∠A、∠B ∠C、∠D、∠E的和等 于多少度?请加以证明 张亚军老师在文 1中,给出三种求法并 给予证明本文利用对凹 多边形探究得出的结论,给出另外一种解法 并利用此方法,快速解决一类求角的度数和的 问题 1凹多边形 如果把一个多边形的所 有边中,有一条边向两方无 限延长成为一直线时,其他 各边不都在此直线的同旁 解析(1)∠A+∠B+∠C=∠BPC 那么这个多边形就叫做凹多 凹多边形 原因如下 边形,其内角中至少有一个 延长BP,交AC于D, 钝角(优角)如五角星就是凹 多边形 关于凹多边形中凸角、凹角等定义,可以 中 参阅文[2].本文所谈到的凹多边形,仅指只有 一个优角的多边形 图7 浮 2探究 所以∠BPC=∠PDC+∠C,∠PDC= 问题(1)如图3,∠BPC、∠A、∠B、∠C 之间有何数量关系?为什么? ∠A+∠B (2)如图4,∠BPC、∠A、∠B、∠C、∠D 所以∠A+∠B+∠C=∠BPC 之间有何数量关系?为什么? (2)∠A+∠B+∠C+∠D=∠BPC+ (3)如图5,∠BPC、∠A、∠B、∠C、∠D、 原因如下 网址 .cbpt cnki.net 邮箱:zxs82486@163.com
利用凹多边形巧求角的度数和 王为民 (徐州高等师范学校,江苏 徐州 ２２１１１６) 现行苏教版七年级下册第１２章“证明”第 １６６页第９题: 图１ 如 图 １,在 五 角 星 ABCDE 中,∠A、∠B、 ∠C、∠D、∠E 的 和 等 于多少度? 请加以证明． 张 亚 军 老 师 在 文 [１]中,给出三种求法并 给予证明．本文利用对凹 多边形探究得出的结论,给出另外一种解法． 并利用此方法,快速解决一类求角的度数和的 问题． １ 凹多边形 图２ 如果把一个多边形的所 有边 中,有 一 条 边 向 两 方 无 限延 长 成 为 一 直 线 时,其 他 各边 不 都 在 此 直 线 的 同 旁, 那么这个多边形就叫做凹多 边形,其 内 角 中 至 少 有 一 个 钝角(优角)．如五角星就是凹 多边形． 关于凹多边形中凸角、凹角等定义,可以 参阅文[２]．本文所谈到的凹多边形,仅指只有 一个优角的多边形． ２ 探究 问题 (１)如图３,∠BPC、∠A、∠B、∠C 之间有何数量关系? 为什么? (２)如图４,∠BPC、∠A、∠B、∠C、∠D 之间有何数量关系? 为什么? (３)如图５,∠BPC、∠A、∠B、∠C、∠D、 ∠E 之间有何数量关系? 为什么? (４)如图６,直接写出 ∠A１PAn－１、∠A１、 ∠A２、∠A３,,∠An－１之间的数量关系． 图３ 图４ 图５ 图６ 解析 (１)∠A＋∠B＋∠C＝∠BPC． 原因如下: 延长BP,交AC 于D, 图７ 所以∠BPC＝∠PDC＋∠C,∠PDC＝ ∠A＋∠B, 所以∠A＋∠B＋∠C＝∠BPC． (２)∠A ＋ ∠B＋ ∠C＋ ∠D ＝ ∠BPC＋ １８０°． 原因如下: 网址:zxss．cbpt．cnki．net ６ 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com
连接BD,由(1)结论及△ADB的内角和BPC+180°=∠BPC+(5-4)×180°; 可得, 凹六边形∠A+∠B+∠C+∠D+ ∠E=∠BPC+360°=∠BPC+(6-4)× 180 所以,凹n边形有 ∠A1+∠A2+∠A3+……+∠An-1= ∠A1PA-1+(n-4)×180 证明略. ∠A+∠B+∠C+∠D=∠A+∠ADB 根据以上探究,我们得出如下结论 +∠ABD+∠PBD+∠BDC+∠DCP 结论在凹n边形中(只有一个凹角情 (∠PBD+∠BDC+∠DCP)+(∠A况),凸角的和与凹角的外角有如下关系式: +∠ADB+∠ABD) A1+∠A2+∠A3+…+∠Ax-1 ∠BPC+180° ∠A1PA-1+(n-4)×180° (3)∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 利用这个结论,可以快速解决篇首提出的 ∠BPC+360°原因如下: 问题及一类角度和的问题 连接BD,由(1)的结论及四边形ABDE 3应用 的内角和可得 (1)题目见篇首 解析考察凹四边形ACMD,有∠A+ ∠C+∠D=∠CMD ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+ ∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠PBD+ 图10 ∠BDC+∠DCP =(∠PBD+∠BDC+∠DCP)+(∠A 在△BEM中,有∠B+∠E+∠BME +∠ABD+∠BDE+∠DEA) =∠BPC+360° 所以∠A+∠C+∠D+∠B+∠E+ (4)由以上结论可以看出,随着凹多边形∠BME=∠CMD+180 边数增加,凹多边形所有凸角的和与凹角的外 因为∠BME=∠CMD, 4 角之间有以下规律 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° 凹四边形∠A+∠B+∠C=∠BPC= (2)(苏教版七下,P40,练习9) ∠BPC+(4-4)×180°; 如图11,在△ABC中,∠A=62°,∠1 凹五边形∠A+∠B+∠C+∠D 20°,∠2=35°,求∠BDC的度数 网址 邮箱:zxss2486@163.com
思路与方法 连接BD,由(１)结论及△ADB 的内角和 可得, 图８ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝∠A＋∠ADB ＋∠ABD＋∠PBD＋∠BDC＋∠DCP ＝(∠PBD ＋ ∠BDC＋ ∠DCP)＋(∠A ＋∠ADB＋∠ABD) ＝∠BPC＋１８０°． (３)∠A ＋ ∠B ＋ ∠C ＋ ∠D ＋ ∠E ＝ ∠BPC＋３６０°．原因如下: 连接 BD,由(１)的结论及四边形 ABDE 的内角和可得, 图９ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＋∠E ＝∠A＋ ∠ABD ＋ ∠BDE ＋ ∠DEA ＋ ∠PBD ＋ ∠BDC＋∠DCP ＝(∠PBD ＋ ∠BDC＋ ∠DCP)＋(∠A ＋∠ABD＋∠BDE＋∠DEA) ＝∠BPC＋３６０°． (４)由以上结论可以看出,随着凹多边形 边数增加,凹多边形所有凸角的和与凹角的外 角之间有以下规律: 凹四边形 ∠A＋∠B＋∠C＝∠BPC＝ ∠BPC＋(４－４)×１８０°; 凹五 边 形 ∠A ＋ ∠B ＋ ∠C ＋ ∠D ＝ ∠BPC＋１８０°＝∠BPC＋(５－４)×１８０°; 凹六 边 形 ∠A ＋ ∠B ＋ ∠C ＋ ∠D ＋ ∠E ＝ ∠BPC ＋３６０°＝ ∠BPC ＋ (６－４)× １８０°; 所以,凹n 边形有 ∠A１＋ ∠A２ ＋ ∠A３ ＋ ＋ ∠An－１ ＝ ∠A１PAn－１＋(n－４)×１８０°． 证明略． 根据以上探究,我们得出如下结论． 结论 在凹n 边形中(只有一个凹角情 况),凸角的和与凹角的外角有如下关系式: ∠A１ ＋ ∠A２ ＋ ∠A３ ＋ ＋ ∠An－１ ＝ ∠A１PAn－１＋(n－４)×１８０°． 利用这个结论,可以快速解决篇首提出的 问题及一类角度和的问题． ３ 应用 (１)题目见篇首 解析 考 察 凹 四 边 形 ACMD,有 ∠A ＋ ∠C＋∠D＝∠CMD, 图１０ 在△BEM 中,有 ∠B＋∠E＋∠BME＝ １８０°, 所以 ∠A ＋ ∠C ＋ ∠D ＋ ∠B ＋ ∠E ＋ ∠BME＝∠CMD＋１８０°． 因为∠BME＝∠CMD, 所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝１８０°． (２)(苏教版七下,P４０,练习９) 如图 １１,在 △ABC 中,∠A ＝６２°,∠１＝ ２０°,∠２＝３５°,求∠BDC 的度数． 网址:zxss．cbpt．cnki．net ７ 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com
丝 2020:2月 (5)(四川省达州市 D 中考题)如图14,在四边 形ABCD中,∠A ∠D=a,∠ABC的平分 图11 线与∠BCD的平分线 图14 解析考察凹四边形ABDC可得 交于点P,则∠P的度 ∠BDC=∠A+∠1+∠2=62°+20°+数为( 35°=117° 解析图中含有凹五边形 ABPCD,根据 (3)∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F结论得 ∠A+∠D+∠ABP+∠DCP=∠P+ 解析考察凹五 180° 边形 ACDEP,有 因为BP,CP分别平分∠ABC和∠BCD, ∠A+∠C+ 所以∠ABP=-∠ABC, ∠D+∠F=∠APF +(5-4)×180°= ∠DCP=-∠DCB ∠APF+180° 在△PBE中,有 所以∠A+∠D+∠ABC+-∠DCB ∠B+∠E+∠BPE=180° ∠P+180° 所以∠A+∠C+∠D+∠F+∠B+ 化简,得(∠A+∠D)+(∠A+∠D ∠E+∠BPE=∠APF+180°+180° 因为∠BPE=∠APF +∠ABC+∠DCB)=∠P+180°, 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ P+180 ∠F=360 (4)如图13,∠CGE=a,则∠A+∠B+ 所以∠P=a ∠C+∠D+∠E+∠F等于 解题时,认真观察,发现图形中的凹多边 解析图形中包 形,然后根据探究结论,就能简化计算,大大提 中 含两个凹四边形AB- 高解题效率.此结论在涉及一类求角的度数和 GF和EDCG,分别利 的选择、填空题时,可以实现秒杀 用结论可得 参考文献 4 ∠A+∠B+∠F 图13 [1]张亚军,由求五角星和想到的叉模型[J] ∠BGF,∠C+∠D 初中生世界(七年级).2019,7:74 +∠E=a, [2]于利民,王振山关于非凸多边形及其内、外 因为∠BGF=∠CGE=a, 角和的探讨[J].丹东师专学报.1994,3:5. 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ (责审张思明) 网址 .cbpt cnki.net 邮箱:zxs82486@163.com
图１１ 解析 考察凹四边形ABDC 可得, ∠BDC＝ ∠A ＋ ∠１＋ ∠２＝６２°＋２０°＋ ３５°＝１１７°． (３)∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F ＝ °． 图１２ 解析 考察凹五 边形ACDFP,有 ∠A ＋ ∠C ＋ ∠D ＋ ∠F ＝ ∠APF ＋ (５－４)×１８０°＝ ∠APF＋１８０°, 在△PBE 中,有 ∠B＋∠E＋∠BPE＝１８０°, 所以 ∠A ＋ ∠C ＋ ∠D ＋ ∠F ＋ ∠B ＋ ∠E＋∠BPE＝∠APF＋１８０°＋１８０°． 因为∠BPE＝∠APF, 所以 ∠A ＋ ∠B ＋ ∠C ＋ ∠D ＋ ∠E ＋ ∠F ＝３６０°． (４)如图１３,∠CGE＝α,则∠A＋∠B＋ ∠C＋∠D＋∠E＋∠F 等于 ． 图１３ 解 析 图 形 中 包 含两 个 凹 四 边 形 ABＧ GF 和 EDCG,分 别 利 用结论可得 ∠A＋ ∠B ＋ ∠F ＝∠BGF,∠C＋∠D ＋∠E＝α, 因为∠BGF＝∠CGE＝α, 所以 ∠A ＋ ∠B ＋ ∠C ＋ ∠D ＋ ∠E ＋ ∠F＝２α． 图１４ (５)(四川省达州市 中考题)如图１４,在四边 形 ABCD 中,∠A ＋ ∠D＝α,∠ABC 的平分 线 与 ∠BCD 的 平 分 线 交于 点 P,则 ∠P 的 度 数为( )． 解析 图中含有凹五边形 ABPCD,根据 结论得 ∠A ＋ ∠D ＋ ∠ABP＋ ∠DCP＝ ∠P＋ １８０°． 因为BP,CP 分别平分∠ABC 和∠BCD, 所以∠ABP＝ １ ２ ∠ABC, ∠DCP＝ １ ２ ∠DCB． 所以∠A＋∠D ＋ １ ２ ∠ABC＋ １ ２ ∠DCB ＝∠P＋１８０°． 化简,得 １ ２ (∠A＋∠D)＋ １ ２ (∠A＋∠D ＋∠ABC＋∠DCB )＝∠P＋１８０°, １ ２ α＋ １ ２ ×３６０°＝∠P＋１８０°． 所以∠P＝ １ ２ α． 解题时,认真观察,发现图形中的凹多边 形,然后根据探究结论,就能简化计算,大大提 高解题效率．此结论在涉及一类求角的度数和 的选择、填空题时,可以实现秒杀． 参考文献 [１]张亚军．由求五角星和想到的 ∇△ 模型[J]． 初中生世界(七年级)．２０１９,７:７４． [２]于利民,王振山．关于非凸多边形及其内、外 角和的探讨[J]．丹东师专学报．１９９４,３:５． (责审 张思明) 网址:zxss．cbpt．cnki．net ８ 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com
倒桁全券和梱似的构造 张英 (武汉市光谷第二初级中学,湖北武汉430074) 构造法是解决数学问题时实现问题转化90°,已有一组等边,直角的补角仍是直角,延 最具有活力的方法之一.本文以2019年武汉长即可得一组等角,满足全等中的2个条件 市的一道中考题来例析图形中全等和相似形想构造出一个与 构造的灵活巧用解题 △ABM边角边 例如图1, 全等的三角形, 在Rt△ABC中,∠ABC 在直角的延长线 AB 上截取等线段就 M是BC 可以得到全等所 边上一点,连接AM.过 需的另一组等边 点B作BP⊥AM,P为 证明1延长AB到D使得BD=BM, 垂足,连接CP并延长交 连接CD.如图2. CP BM AB于点Q若n=1,求证 ∵∠ABC=90°, ∠ABC=∠CBD 在不做辅助线之前,我们发现比值中的 ∴AB=CB,BM=BD,∠ABC=∠CBD, CP,PQ在一条线段上,而BM,BQ分别在等 ∴△ABM≌△CBD(SAS) 腰直角三角形的两直角边上,四条线段所在的 ∠AMB=∠CDB 三角形两两之间没有全等或相似形线段之间 ∵∠ABC=90°,BP⊥AM 的比值关系无法通过现有图形直接构建,必须 ∠AMB=∠ABP 通过构造全等或相似形来建立线段间的关系 ∴∠ABP=∠CDB 将题目中要证明的比值中的四条线段放到图 ∴BP∥CD 形中,发现涉及的三角形有△ABM,△QPB CP BD BM △BCP等,我们可以借助于图形中所涉及的 PQ BQBQ 三角形进行全等或相似构造,实现线段及线段 方法二作等角,构造全等三角形 比的等量转化,从而达到证明比值相等的目 分析利用条件AB=CB和∠MAB= 中 的构造全等的条件是有相等的边或角,通过∠CBP,想构造出一个与 平移、轴对称或旋转对线段或角进行不同位置△BCP角边角全等的三 的等量变换,通过作等边或等角对三角形进行角形,所以在边的另一端 4 全等构图;构造相似的条件是有相等角,主要作出等角 是作平行线构造或作等角 证明2过点B作 方法一作等线段,构造全等三角形 分析利用条件AB=CB和∠ABC AM相交于点D.如图 网址 9 邮箱:zxss2486@163.com
思路与方法 例析全等和相似的构造 张 英 (武汉市光谷第二初级中学,湖北 武汉 ４３００７４) 构造法是解决数学问题时实现问题转化 最具有活力的方法之一．本文以２０１９年武汉 市的一道中考题来例析图形中全等和相似形 构造的灵活巧用解题． 图１ 例 如图１, 在 Rt△ABC 中,∠ABC ＝９０°, AB BC ＝n,M 是BC 边上 一 点,连 接 AM ．过 点B 作BP⊥AM,P 为 垂足,连接CP 并延长交 AB 于点Q．若n＝１,求证: CP PQ ＝ BM BQ ． 在不做 辅 助 线 之 前,我 们 发 现 比 值 中 的 CP,PQ 在一条线段上,而BM,BQ 分别在等 腰直角三角形的两直角边上,四条线段所在的 三角形两两之间没有全等或相似形．线段之间 的比值关系无法通过现有图形直接构建,必须 通过构造全等或相似形来建立线段间的关系． 将题目中要证明的比值中的四条线段放到图 形中,发现涉及的三角形有△ABM,△QPB, △BCP 等,我们可以借助于图形中所涉及的 三角形进行全等或相似构造,实现线段及线段 比的等量转化,从而达 到 证 明 比 值 相 等 的 目 的．构造全等的条件是有相等的边或角,通过 平移、轴对称或旋转对线段或角进行不同位置 的等量变换,通过作等边或等角对三角形进行 全等构图;构造相似的条件是有相等角,主要 是作平行线构造或作等角． 方法一 作等线段,构造全等三角形 分析 利用条件 AB＝CB 和 ∠ABC＝ ９０°,已有一组等边,直角的补角仍是直角,延 长即可得一组等角,满足全等中的２个条件． 图２ 想构造出一个 与 △ABM 边 角 边 全 等 的 三 角 形, 在直角的延长线 上截取等线段就 可以得到全等所 需的另一组等边． 证明１ 延长 AB 到D 使得BD ＝BM, 连接CD．如图２． ∵ ∠ABC＝９０°, ∴ ∠ABC＝ ∠CBD． ∵ AB＝CB,BM＝BD,∠ABC＝∠CBD, ∴ △ABM ≌△CBD(SAS)． ∴ ∠AMB＝∠CDB． ∵ ∠ABC＝９０°,BP⊥AM, ∴ ∠AMB＝∠ABP． ∴ ∠ABP＝∠CDB． ∴ BP∥CD． ∴ CP PQ ＝ BD BQ ＝ BM BQ ． 方法二 作等角,构造全等三角形 图３ 分析 利用条件 AB＝CB 和 ∠MAB＝ ∠CBP,想构造出一个与 △BCP 角边角全等的三 角形,所以在边的另一端 作出等角． 证明 ２ 过 点 B 作 ∠ABD ＝ ∠BCP ,与 AM 相交于点D．如图３． 网址:zxss．cbpt．cnki．net ９ 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com
小 2020:2月 ∠ABC=9 P⊥AM, ∴∠ADB=∠ACB=45° AMB=∠PBA,∠DAB=∠CBP PD≡PB 又∵∠ABD=∠BCP,AB=BC, ∴CPBM △ABD≌△BCP(ASA) PQ BQ ∴BD=CP,∠ADB=∠CPB. 方法三作平行,构造全等三角形 ∠MDB=∠QPB 分析利用条件AB ∵∠AMB=∠PBA, CB和∠MAB= ∴△BDM∽△QPB ∠CBP,想构造出一个与 BD CP △ABM角边角全等的三 BQ PQ PQ 角形,通过作平行得到等 析利用条件∠CPM与∠QPE互余,角,构造出与△ABM全 图5 作直角可以得到同角的余角是等角,构造出以等的△BCD CP,PQ为斜边的两个相似直角三角形. 证明4过点C作CD∥AB交BP的延 证明3过点C 长线于点D.如图5 作CD⊥PM于点D ∴CD∥AB, QE⊥BP于点E,连 ∴∠ABM+∠DCB=180° 接BD.如图4. ∵∠ABC=90°,BP⊥AM, CD⊥PM,A ∴∠ABM=∠DCB=90°,∠MAB= QE⊥BP,BP⊥AM ∠DBC ∠CDP ∵AB=CB ∠PEQ=∠DPB=∠QEB=90° △ABM≌△BCD(ASA) ∴∠CPD+∠QPE=∠PMB+ BM=CD ∠PBM=∠PQE+∠QPE=90°, ∵CD∥AB, A、B、D、C四点共圆 △CPD△QPB ∴∠CPD=∠PQE,∠ADB=∠ACB CP CD BM △CPD∽△PQE(AA) 分析利用条件AB CP PD CB,想在AB边外侧 中 ∠ABC=90°, 构造出与△BCP全等的 ∠PMB+∠PBM=90°, 三角形,作平行线得到平 浮 行四边形,既构造出等角 4∴△MBP∽△BQE(AA) 又得到等线段 证明5过B作BD ∥AM,在BD上截取 ∠ABC=90°,AB=BC,A、B、D、CBD=BP,过D作DE∥BC交AM于E.如图 四点共圆 网址 .cbpt cnki.net 10 邮箱:zxs82486@163.com
∵ ∠ABC＝９０°,BP⊥AM, ∴ ∠AMB＝∠PBA,∠DAB＝∠CBP． 又∵ ∠ABD＝∠BCP,AB＝BC, ∴ △ABD≌△BCP(ASA)． ∴ BD＝CP,∠ADB＝∠CPB． ∴ ∠MDB＝∠QPB． ∵ ∠AMB＝∠PBA, ∴ △BDM ∽△QPB． ∴ BM BQ ＝ BD PQ ＝ CP PQ ． 分析 利用条件∠CPM 与∠QPE 互余, 作直角可以得到同角的余角是等角,构造出以 CP,PQ 为斜边的两个相似直角三角形． 图４ 证 明 ３ 过 点 C 作CD ⊥PM 于 点 D, QE⊥BP 于 点 E,连 接BD．如图４． ∵ CD ⊥ PM, QE⊥BP,BP⊥AM, ∴ ∠CDP ＝ ∠PEQ＝∠DPB＝∠QEB＝９０°, ∴ ∠CPD ＋ ∠QPE ＝ ∠PMB ＋ ∠PBM ＝∠PQE＋∠QPE＝９０°, A、B、D、C 四点共圆． ∴ ∠CPD＝∠PQE,∠ADB＝∠ACB． ∴ △CPD∽△PQE(AA)． ∴ CP PQ ＝ PD QE ． ∵ ∠ABC＝９０°, ∠PMB＋∠PBM ＝９０°, ∴ ∠PBM ＝∠EQB． ∴ △MBP∽△BQE(AA)． ∴ BM BQ ＝ BP QE ． ∵ ∠ABC＝９０°,AB＝BC,A、B、D、C 四点共圆, ∴ ∠ADB＝∠ACB＝４５°． ∴ PD＝PB． ∴ CP PQ ＝ BM BQ ． 方法三 作平行,构造全等三角形 图５ 分析 利用条件 AB ＝ CB 和 ∠MAB ＝ ∠CBP,想构造出一个与 △ABM 角边角全等的三 角形,通过作平行得到等 角,构 造 出 与 △ABM 全 等的△BCD． 证明４ 过点C 作CD∥AB 交BP 的延 长线于点D．如图５． ∵ CD∥AB, ∴ ∠ABM ＋∠DCB＝１８０°． ∵ ∠ABC＝９０°,BP⊥AM, ∴ ∠ABM ＝ ∠DCB ＝９０°,∠MAB ＝ ∠DBC． ∵ AB＝CB, ∴ △ABM ≌△BCD(ASA)． ∴ BM ＝CD． ∵ CD∥AB, ∴ △CPD∽△QPB． ∴ CP PQ ＝ CD BQ ＝ BM BQ ． 图６ 分析 利用条件 AB ＝CB,想 在 AB 边 外 侧 构造出与 △BCP 全等的 三角形,作平行线得到平 行四边形,既构造出等角 又得到等线段． 证明５ 过B 作BD ∥AM,在 BD 上 截 取 BD＝BP,过D 作DE∥BC 交AM 于E．如图 ６． 网址:zxss．cbpt．cnki．net １０邮箱:zxss２４８６＠１６３．com
DE∥BC ∠AMB=∠AED ∠ABC=∠ABD=90°, BD∥AM,DE∥BC, ∴△ABM∽△DBQ(AA) 四边形EDBM为平行四边形 AB BM MAB=∠ABD ED=BM ∴CPBM ∠ABC=90°,BP⊥AM CP ∠MAB=∠PBC 分析利用条件 在一条直线上,作平行 又∵AB=CB,BD=BP 线构造出与△BCP相似 P (SAS) 的△DQP AD=CP,∠BCP=∠BAD 证明7过点Q作 ∠QPB=∠PCB+∠PBC,∠ EAD QD∥CB交BP的延长 ∠EAB+∠BAD, 线于点D.如图 ∴∠QPB=∠EAD ∴QD∥CB, △AED∽△PBQ(AA) ∴△CPB∽△QPD AD ED PQ BQ ∴CPBC ∵AD=CP,ED=BM AB=BC CP BM AB 方法四作平行,构造相似三角形 ∵QD∥CB 分析利用条件 ABC+∠DQB=180° 在一条直线上,作平行线 ∵∠ABC=90°, ∠DQB=∠ABC=90 构造出与△BCP相似的 ∠ABC=90°,BP⊥AM △DCQ ∴∠PBA=∠AMB 证明6过点Q作 △ABM∽△DQB(AA) QD∥BP交CB的延长 BM AB 线于点D.如图7 BQ QD QD∥BP,AB BC BQ CP BC AB 在构图时可以借助平移、轴对称或旋转变 PQBD=mn,∠CBP=∠CDQ 换来辅助分析,实践图形位置的移动,感受空 ∠ABC=90°,BP⊥AM, 间图形变换的魅力 中学4学 ∠PBC=∠MAB (责审曹付生) 网址 邮箱:zxss2486@163.com
思路与方法 ∵ DE∥BC, ∴ ∠AMB＝∠AED． ∵ BD∥AM,DE∥BC, ∴ 四 边 形 EDBM 为 平 行 四 边 形, ∠MAB＝∠ABD． ∴ ED＝BM ． ∵ ∠ABC＝９０°,BP⊥AM, ∴ ∠MAB＝∠PBC． ∴ ∠ABD＝∠PBC． 又∵ AB＝CB,BD＝BP, ∴ △ABD≌△CBP (SAS)． ∴ AD＝CP,∠BCP＝∠BAD． ∵ ∠QPB＝∠PCB＋∠PBC,∠EAD ＝∠EAB＋∠BAD, ∴ ∠QPB＝∠EAD． ∴ △AED∽△PBQ(AA)． ∴ AD PQ ＝ ED BQ ． ∵ AD＝CP,ED＝BM, ∴ CP PQ ＝ BM BQ ． 方法四 作平行,构造相似三角形 图７ 分析 利用条件 CP PQ 在一条直线上,作平行线 构造出与 △BCP 相似的 △DCQ． 证明 ６ 过 点 Q 作 QD ∥BP 交CB 的 延 长 线于点D．如图７． ∵ QD ∥BP,AB ＝BC, ∴ CP PQ ＝ BC BD ＝ AB BD ,∠CBP＝∠CDQ． ∵ ∠ABC＝９０°,BP⊥AM, ∴ ∠PBC＝∠MAB． ∴ ∠MAB＝∠CDQ． ∵ ∠ABC＝∠ABD＝９０°, ∴ △ABM ∽△DBQ(AA)． ∴ AB BD ＝ BM BQ ． ∴ CP PQ ＝ BM BQ ． 图８ 分析 利用条件 CP PQ 在一 条 直 线 上,作 平 行 线构造出与△BCP 相似 的△DQP． 证明 ７ 过 点 Q 作 QD ∥CB 交BP 的延 长 线于点D．如图８． ∵ QD∥CB, ∴ △CPB∽△QPD． ∴ CP PQ ＝ BC QD ． ∵ AB＝BC, ∴ CP PQ ＝ AB QD ． ∵ QD∥CB, ∴ ∠ABC＋∠DQB＝１８０°． ∵ ∠ABC＝９０°, ∴ ∠DQB＝∠ABC＝９０°． ∵ ∠ABC＝９０°,BP⊥AM, ∴ ∠PBA＝∠AMB． ∴ △ABM ∽△DQB (AA)． ∴ BM BQ ＝ AB QD ． ∴ CP PQ ＝ BM BQ ． 在构图时可以借助平移、轴对称或旋转变 换来辅助分析,实践图形位置的移动,感受空 间图形变换的魅力． (责审 曹付生) 网址:zxss．cbpt．cnki．net １１邮箱:zxss２４８６＠１６３．com