高中数学解解题方法和解题能力培养 用集合法解证数学题 数学家笛卡尔曾一针见血地指出:“没有正确的方法,即使是有 眼睛的博学者也会像瞎子一样盲目摸索。”数学方法是数学的灵魂, 只有掌握了数学方法,才能在看似错综复杂的数学习题前,从容不迫, 得心应手。因此,要培养和提高解题能力,必须在注重基础知识的同 时,强化数学方法的学习和研究,以及数学思想的熏陶。 和初中数学相比,高中数学知识体系大、难度提升,而且题量惊 人,题海战法难以奏效。非常有必要对其解题方法和技巧做一番梳理 和总结,强化在数学学习时把方法的掌握摆在突出的地位。数学方法 如同电子产品的芯片,如果懂得一个方法,那么一类问题就会迎刃而 解。下面首先试就用集合法解有关数学题做一初探。 在中学数学中,集合论的基础知识有着广泛的运用。许多问题, 并不是以集合的形式给出的,但是,若用集合的思路和方法去分析解 决它们,则其解法思路清晰、简捷、明快,富有新意,复杂的问题立 时简单化,直观化,心情会豁然开朗。这种利用集合的知识去解证数 学问题的方法就叫做集合法。随着今后学习和研究的不断深入,集合 法还将越来越引起人们的重视 例1、已知三个方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-a=0中至少有一个方程有实根,求实根a的值集
高中数学解解题方法和解题能力培养 用集合法解证数学题 数学家笛卡尔曾一针见血地指出：“没有正确的方法，即使是有 眼睛的博学者也会像瞎子一样盲目摸索。”数学方法是数学的灵魂， 只有掌握了数学方法，才能在看似错综复杂的数学习题前，从容不迫， 得心应手。因此，要培养和提高解题能力，必须在注重基础知识的同 时，强化数学方法的学习和研究，以及数学思想的熏陶。 和初中数学相比，高中数学知识体系大、难度提升，而且题量惊 人，题海战法难以奏效。非常有必要对其解题方法和技巧做一番梳理 和总结，强化在数学学习时把方法的掌握摆在突出的地位。数学方法 如同电子产品的芯片，如果懂得一个方法，那么一类问题就会迎刃而 解。下面首先试就用集合法解有关数学题做一初探。 在中学数学中，集合论的基础知识有着广泛的运用。许多问题， 并不是以集合的形式给出的，但是，若用集合的思路和方法去分析解 决它们，则其解法思路清晰、简捷、明快，富有新意，复杂的问题立 时简单化，直观化，心情会豁然开朗。这种利用集合的知识去解证数 学问题的方法就叫做集合法。随着今后学习和研究的不断深入，集合 法还将越来越引起人们的重视。 例1、 已 知三 个方 程 2 x ax a + − + = 4 4 3 0 ， 2 2 x a x a + − + = ( 1) 0 ， 2 x ax a + − = 2 0 中至少有一个方程有实根，求实根a 的值集
【分析】按“至少有一个方程有实根”进行讨论,问题比较复杂, 但求解它的反面“三个方程都没有实根”比较简单,因此可用补集的 思想去解决。 解:因这三个方程都无实数根的条件为: (4a)2-4(-4a+3) x+1 【分析】观察可知,不等式√x+7≤x+1比原不等式易解,为什 么呢?因为原不等式的x+1可正可负,两边同时平方就可能造成x的 范围扩大,最后的结果会出现错误。为了防止这种情况发生,就从问 题的反面入手。因为在不等式√2x+5≤x+1里,x+1只能大于等于零, 两边同时平方就不存在上面的问题。若这个不等式的解集为A,这两 个不等式允许的解集为I,则原不等式的解集为C,因此只需要求出 集合A 解:显然,原不等式的允许值集为
【分析】按“至少有一个方程有实根”进行讨论，问题比较复杂， 但求解它的反面“三个方程都没有实根”比较简单，因此可用补集的 思想去解决。 解：因这三个方程都无实数根的条件为： 2 2 2 2 3 1 2 2 (4 ) 4( 4 3) 0 1 3 ( 1) 4 0 1 1 3 2 (2 ) 4( 2 ) 0 2 0 a a a a a a a a a a a − − − + − − − − − − − − 或 所以使这三个方程中至少有一个方程有实根 a 的值集为 3 ( , ] [ 1, ] 2 − − − + 例2、 解不等式 2 7 1 x x + + 【分析】观察可知，不等式 2 7 1 x x + + 比原不等式易解，为什 么呢？因为原不等式的 x +1 可正可负，两边同时平方就可能造成 x 的 范围扩大，最后的结果会出现错误。为了防止这种情况发生，就从问 题的反面入手。因为在不等式 2 5 1 x x + + 里， x +1 只能大于等于零， 两边同时平方就不存在上面的问题。若这个不等式的解集为 A，这两 个不等式允许的解集为 I，则原不等式的解集为 A CI ，因此只需要求出 集合 A。 解：显然，原不等式的允许值集为：
2x+7≥0 x 2x+5≤x+1 x+1≥0 x≥2 (x+1)2≥2x+5x≤-2或x22 ∴2x+5x+1的解集为A=(x|x≥2 于是原不等式的解集为C={x|-35≤xx+1 例3、今有A、B、C、D、E五个学生站成一列,若A不 站在排头,B不站在排尾,C不站在中间,共有多少种不同的站 解:设m()表示这五个同学无限制条件的全排列种数 n(A)、m(B)m(C)分别表示A站在排头、B站在排尾、C站在中 间的排列种数,m(A∩B)、m(B∩O)、n(AC)分别表示A站在排头 且B站在排尾、B站在排尾且C站在中间、A站在排头且C站 在中间的排列种数,m(ABC表示A站在排头、B站在排尾且 C站在中间的排列种数,m(AB∪C)表示A站在排头或B站在排 尾或C站在中间的排列种数,m(C4∩CBC)表示A不站在排头
7 | 2 I x x = − 2 5 1 x x + + 2 7 2 7 0 2 1 0 1 2 ( 1) 2 5 2 2 x x x x x x x x x − + + − + + − 或 ∴ 2 5 1 x x + + 的解集为 A x x = | 2 于是 原不等式的解集为 A CI = 5 | 2 2 x x − 解说：本题解法是补集思想的巧妙应用。 变式演练： 2 25 1 − + x x 例3、 今有 A、B、C、D、E 五个学生站成一列，若 A 不 站在排头，B 不站在排尾，C 不站在中间，共有多少种不同的站 法。 解：设 n I( ) 表示这五个同学无限制条件的全排列种数， n A n B n C ( ) ( ) ( ) 、 、 分别表示 A 站在排头、B 站在排尾、C 站在中 间的排列种数， n A B n B C n A C ( ) ( ) ( ) 、 、 分别表示 A 站在排头 且 B 站在排尾、B 站在排尾且 C 站在中间、A 站在排头且 C 站 在中间的排列种数， n A B C ( ) 表示 A 站在排头、B 站在排尾且 C 站在中间的排列种数， n A B C ( ) 表示 A 站在排头或 B 站在排 尾或 C 站在中间的排列种数， ( ) A B C III n C C C 表示 A 不站在排头
B不站在排尾、C不站在中间的排列种数,则易得 n(D)=n(D)=4, n(A)=n(B)=n(C)=A4, n(A∩B)=n(BC)=m(AnC)=A3,mA∩BnC)=A2 由图可得 n(Ci nCic)=m(1)-m(A∪B∪C n(D)-[m(A)+n(B)+m(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(A∩C)+n(AB∩C=64 解说:一般地说,用集合法解含有附加条件的排列组合问题,容易对 问题进行科学分类,能避免重复或遗漏现象发生。 变式演练:8人排成一排,A不站在排头,B不站在排尾,共有 多少种排法? 例4、已知x2+y2+2x0 证明:设集合A={(x,y)|x2+y2+2x0)={(xy1(x+32+y2 在平面直角坐标系中,集合A表示以点(-1,0)为圆心,1 为半径的圆的内部(不包括边界)的点集,集合B表示以点(-3, 0)为圆心,以1为半径的圆的外部(不包括边界)的点集 由此易得AcB。从而若点(x,y)∈A,则点(x,y∈B,即若 x2+y2+2x0
B 不站在排尾、C 不站在中间的排列种数，则易得 n I( )= 5 n I A ( ) = ， 4 n A n B n C A ( ) ( ) ( ) = = = ， 3 n A B n B C n A C A ( ) ( ) ( ) = = = ， 2 n A B C A ( ) = 由图可得 ( ) A B C III n C C C = n I( ) - n A B C ( ) = n I( )-[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] n A n B n C n A B n B C n A C n A B C + + − − − + =64 解说：一般地说，用集合法解含有附加条件的排列组合问题，容易对 问题进行科学分类，能避免重复或遗漏现象发生。 变式演练：8 人排成一排，A 不站在排头，B 不站在排尾，共有 多少种排法？ 例4、 已知 2 2 x y x + + 2 0 ，求证： 2 2 x y x + + + 6 8 0 证明：设集合 A= 2 2 2 2 ( , ) | 2 0 ( , ) | ( 1) 1 x y x y x x y x y + + = + + ， 集合 B= 2 2 2 2 ( , ) | 6 8 0 ( , ) | ( 3) 1 x y x y x x y x y + + + = + + 在平面直角坐标系中，集合 A 表示以点（-1，0）为圆心，1 为半径的圆的内部（不包括边界）的点集，集合 B 表示以点（-3， 0）为圆心，以 1 为半径的圆的外部（不包括边界）的点集。 由此易得 A B 。从而若点 （x y A ， ） , 则点 （x y ， ）B ，即若 2 2 x y x + + 2 0 ，则 2 2 x y x + + + 6 8 0
解说:本证法通过构造集合,运用解析集合知识极其巧妙 变式演练:已知x2+y2-2x<0,求证:x2+y2+2x+4y+420 例5、某校先后对高三语文、数学和外语三科进行抽测,学生中 至少被抽测一科的:语文204人,数学180人,外语166人;至少被 抽测两科的:语文和数学143人,语文和外语116人、数学和外语 97人;三科都被抽测的89人。求被抽测的学生人数。 设被抽测语文、数学、外语的学生集合分别为A、B、C,则 n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(BnC)-n(AC)+n(A∩B∩C) 204+180+166-143-116-97+89=283 例6、求前1000个自然数中不能被7整除的数的个数 解:设n(4和n(C)分别表示前1000个自然数中可被7整除和不 可被7整除的自然数的个数,设初值为7,得等差数列 7+[m(4)-1]×7=994,得m(4)=142于是m(C4)=1000-142=858 变式演练答案 解:显然,原不等式的允许值集为 x|-55x≤5} 1{x+1≥0 ◇2≤x≤5 (x+1)2≥25-x2(x≥2或x<-3
解说：本证法通过构造集合，运用解析集合知识极其巧妙。 变式演练：已知 2 2 x y x + − 2 0 ，求证： 2 2 x y x y + + + + 2 4 4 0 例 5、某校先后对高三语文、数学和外语三科进行抽测，学生中 至少被抽测一科的：语文 204 人，数学 180 人，外语 166 人；至少被 抽测两科的：语文和数学 143 人，语文和外语 116 人、数学和外语 97 人；三科都被抽测的 89 人。求被抽测的学生人数。 设被抽测语文、数学、外语的学生集合分别为 A、B、C，则 n A B C ( ) = n A n B n C n A B n B C n A C n A B C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + − − − + =204+180+166-143-116-97+89=283 例 6、求前 1000 个自然数中不能被 7 整除的数的个数。 解：设 n A( ) 和 ( ) A I n C 分别表示前 1000 个自然数中可被 7 整除和不 可被 7 整除的自然数的个数，设初值为 7 ，得等差数列： 7 [ ( ) 1] 7 994 + − = n A ,得 n A( ) 142 = 于是 ( ) A I n C =1000-142=858. 变式演练答案： 2 25 1 − + x x 解：显然，原不等式的允许值集为： I x x = − | 5 5 2 25 1 − + x x 2 2 2 25 0 5 5 1 0 1 2 5 ( 1) 25 2 3 x x x x x x x x x − − + − + − − 或
∴√2x+55x+1的解集为A=(x1-5x<2 于是原不等式的解集为C={x1-5x<2 8人排成一排,A不站在排头,B不站在排尾,共有多少种排法? 提示 n(C1B)=n(1)-[n(A)+m(B)-n(A∩B=A-2A1+A=30960 已知x2+y2-2x<0,求证:x2+y2+2x+4y+4≥0 证明:设集合A={(xyx2+y2-2x<0}={(x,y)(x-12+y2<l}, 集合B=(xy)x2+y2+2x+4y+420}={x,y)(x+1)2+(y+2)321 在平面直角坐标系中,集合A表示以点(1,0)为圆心,1 为半径的圆的内部(不包括边界)的点集,集合B表示以点(-1 -2)为圆心,以1为半径的圆的外部(包括边界)的点集。 由此易得AcB。从而若点(x,y)∈A,则点(x,y)∈B,即若 x2+y2-2x<0,则x2+y2+2x+4y+420
∴ 2 5 1 x x + + 的解集为 A x x = − | 5 2 于是 原不等式的解集为 A CI =x x | 5 2 − 8 人排成一排，A 不站在排头，B 不站在排尾，共有多少种排法？ 提示： ( ) A B I n C = n I( )-[ ( ) ( ) ( )] n A n B n A B + − = 8 7 6 A A A − + = 2 30960 已知 2 2 x y x + − 2 0 ，求证： 2 2 x y x y + + + + 2 4 4 0 证明：设集合 A= 2 2 2 2 ( , ) | 2 0 ( , ) | ( 1) 1 x y x y x x y x y + − = − + ， 集合 B= 2 2 2 2 ( , ) | 2 4 4 0 ( , ) | ( 1) ( 2) 1 x y x y x y x y x y + + + + = + + + 在平面直角坐标系中，集合 A 表示以点（1，0）为圆心，1 为半径的圆的内部（不包括边界）的点集，集合 B 表示以点（-1， -2）为圆心，以 1 为半径的圆的外部（包括边界）的点集。 由此易得 A B 。从而若点 （x y A ， ） ,则点 （x y ， ）B ，即若 2 2 x y x + − 2 0 ，则 2 2 x y x y + + + + 2 4 4 0