全程设计 第一章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件 1.4.2充要条件
第一章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件 1.4.2 充要条件
课前·基础认知 课堂·重难突破
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导期 课前·基础认知 1,充要条件 如果若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题，即既有 ,又有q→p,就记作p台4.此时p既是g的充分条件，也是 g的必要条件，我们说p是q的 条件，简称为 条件 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p台q,那 么p与q互为 条件
导航 课前·基础认知 1.充要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有 p⇒q ,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,p既是q的充分条件,也是 q的必要条件,我们说p是q的 充分必要 条件,简称为充要 条件. 如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件,即如果p⇔q,那 么p与q互为 充要 条件
2.从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 (1)若p→，则称p是q的充分条件，g是p的必要条件 (2)若p台q,则p是q的充要条件 3)若p→q,且qp,则称p是q的 条件 (4)若p中4，且q→p,则称p是q的 条件 (⑤)若p中，且中p,则称p是q的既不充分也不必要条件 3.“曰”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p台q,q台s,则有p台S,即 p是s的充要条件
导航 2.从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 (1)若p⇒q,则称p是q的充分条件,q是p的必要条件. (2)若p⇔q,则p是q的充要条件. 3. “⇔”的传递性 若p是q的充要条件,q是s的充要条件,即p⇔q,q⇔s,则有p⇔s,即 p是s的充要条件. (3)若 p⇒q,且 q p,则称 p 是 q 的 充分不必要 条件. (4)若 p q,且 q⇒p,则称 p 是 q 的 必要不充分 条件. (5)若 p q,且 q p,则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件
导航 课堂·重难突破 充要条件的判断 典例剖析 1.在下列各题中，试判断p是g的什么条件. (I)p:+5是无理数，q:a是无理数； (2)若，b∈Rp:2+b2=0,q:u=b=0; (3)p:A∩B=A,q:CUBECUA
导航 课堂·重难突破 一 充要条件的判断 典例剖析 1.在下列各题中,试判断p是q的什么条件. (1)p:a+5是无理数,q:a是无理数; (2)若a,b∈R,p:a 2+b2=0,q:a=b=0; (3)p:A∩B=A,q:∁UB⊆∁UA
导 解：(1)因为+5是无理数→M是无理数，并且M是无理数→+5是 无理数， 所以p是q的充要条件. (2)因为2+b2=0→=b=0,并且1=b=0→a2+b2=0, 所以p是q的充要条件. (3)因为A∩B=A→A∈B→CUB二CA,并且 CuBECIA→A∈B→A∩B=A, 所以p是q的充要条件
导航 解:(1)因为a+5是无理数⇒a是无理数,并且a是无理数⇒a+5是 无理数, 所以p是q的充要条件. (2)因为a 2+b2=0⇒a=b=0,并且a=b=0⇒a 2+b2=0, 所以p是q的充要条件. (3)因为A∩B=A⇒A⊆B⇒∁UB⊆∁UA,并且 ∁UB⊆∁UA⇒A⊆B⇒A∩B=A, 所以p是q的充要条件
导 规律总结 判断p是g的充要条件的两个角度 (1)命题角度：判断p是q的充要条件，需判断p→q及q→p两个 方面. (2)集合角度：当不容易判断p→q及q→p时，也可以从集合角度 去判断，结合集合中“小集合→大集合”的关系来理解，这对解 决与逻辑有关的问题是大有益处的
导航 判断p是q的充要条件的两个角度 (1)命题角度:判断p是q的充要条件,需判断p⇒q及q⇒p两个 方面. (2)集合角度:当不容易判断p⇒q及q⇒p时,也可以从集合角度 去判断,结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解,这对解 决与逻辑有关的问题是大有益处的
导航 二 充要条件的探求与证明 典例剖析 2.求证：一元二次方程x2+bx+c=0(0)有一正根和一负根的 充要条件是ac<0
导航 二 充要条件的探求与证明 典例剖析 2.求证:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根的 充要条件是ac<0
导 证明：①必要性：因为一元二次方程2+bx+c=0(呋0)有一正根 和广负根，所以A=b2-4ac>0,x2=。<0化1心2为一元二次方程 x2+bx+c=0(呋0)的两根)，所以ac<0. ②充分性：由ac0可推得A=-40及r看01x为一元 二次方程x2+bx+c=0(0)的两根).所以一元二次方程 x2+bx+c=0(呋0)有两个相异的实根，且两根异号，即一元二次 方程x2+bx+c-0(≠0)有一正根和一负根 综上所述，一元二次方程x2+bx+c=O(呋0)有一正根和一负根 的充要条件是c<0
导航 证明:①必要性:因为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根 和一负根,所以Δ=b2 -4ac>0,x1x2= 0及x1x2= <0(x1 ,x2为一元 二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根).所以一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相异的实根,且两根异号,即一元二次 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根. 综上所述,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正根和一负根 的充要条件是ac<0. 𝒄 𝒂 𝒄 𝒂
导期 规律总结 充要条件的证明策略 ()要证明是的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向 进行，即证明两个命题“若p,则q”和“若，则p”均为真. (2)可以利用集合的思想来证明，证明p与g的解集是相同的，证 明前必须分清楚充分性和必要性，即槁清楚由哪些条件推证 到哪些结论. 提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向
导航 充要条件的证明策略 (1)要证明p是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向 进行,即证明两个命题“若p,则q”和“若q,则p”均为真. (2)可以利用集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证 明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证 到哪些结论. 提醒:证明时一定要注意,分清充分性与必要性的证明方向