全程设计 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用
第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用
课前·基础认知 课堂·重难突破
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导航 课前·基础认知 利用基本不等式求最值 (1)理论依据： ①设x,y为正实数，若x+y=(和s为定值)，则当 时，积xy有 最 值，且最大值为； ②设xy为正实数，若xy=p(积p为定值)，则当 时，和x+y 有最 值，且最小值为2√p
导航 课前·基础认知 利用基本不等式求最值 (1)理论依据: ①设x,y为正实数,若x+y=s(和s为定值),则当 x=y 时,积xy有 最 大 值,且最大值为 ; ②设x,y为正实数,若xy=p(积p为定值),则当 x=y 时,和x+y 有最 小 值,且最小值为2 . 𝒔 𝟐 𝟒 𝒑
导航 (2)利用基本不等式求最值的条件： ①x,y必须是 ②求积xy的最大值时，应看和x+y是否为 ;求和x+y的 最小值时，应看积xy是否为 ③等号成立的条件是否满足
导航 (2)利用基本不等式求最值的条件: ①x,y必须是 正数 ; ②求积xy的最大值时,应看和x+y是否为 定值 ;求和x+y的 最小值时,应看积xy是否为 定值 ; ③等号成立的条件是否满足
导航 课堂·重难突破 利用基本不等式求最值 典例剖析 1.()若x>0,求3x+4的最小值，并求此时x的值； (2)设02，求x+4的最小值； X-2 4已知心，0，且+号1，求x的最小值
导航 课堂·重难突破 一 利用基本不等式求最值 典例剖析 1.(1)若 x>0,求 3x+ 𝟒 𝟑𝒙 的最小值,并求此时 x 的值; (2)设 02,求 x+ 𝟒 𝒙-𝟐 的最小值; (4)已知 x>0,y>0,且 𝟏 𝒙 + 𝟗 𝒚 =1,求 x+y 的最小值
导航 解当00时，3+≥23x4, 当且仅当3即924号时，取等号 3+0当x时取得最小值4
导航 解:(1)当 x>0 时,3x+ 𝟒 𝟑𝒙 ≥2 𝟑𝒙· 𝟒 𝟑𝒙 =4, 当且仅当 3x= 𝟒 𝟑𝒙 ,即 9x 2 =4,x= 𝟐 𝟑 时,取等号. ∴3x+ 𝟒 𝟑𝒙 (x>0)当 x= 𝟐 𝟑 时取得最小值 4
导航 ②0<Z3-20, 43-2223-2≤2+g-2到 92 当且仅当2-3-2x,即x4时，等号成立 2 B-20<x<)的最大值为2
导航 (2)∵00, ∴4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2 𝟐𝒙+(𝟑-𝟐𝒙) 𝟐 𝟐 = 𝟗 𝟐 . 当且仅当 2x=3-2x,即 x= 𝟑 𝟒 时,等号成立. ∵0< 𝟑 𝟒 < 𝟑 𝟐 , ∴4x(3-2x) 𝟎 < 𝒙 < 𝟑 𝟐 的最大值为𝟗 𝟐
导航 3).x>2,∴.x-2>0, 4经22+22≥2c-20石2-6， X-2 当且仅当x-2=4 -27 即=4时，等号成立 x+4的最小值为6 X-2
导航 (3)∵x>2,∴x-2>0, ∴x+ 𝟒 𝒙-𝟐 =x-2+ 𝟒 𝒙-𝟐 +2≥2 (𝒙-𝟐)· 𝟒 𝒙-𝟐 +2=6, 当且仅当 x-2= 𝟒 𝒙-𝟐 , 即 x=4 时,等号成立. ∴x+ 𝟒 𝒙-𝟐 的最小值为 6
导航 ④方法一)”00,2+号1， *(+)+9+10≥22+10-6+10=16， x y 当且仅当=号罗+}，即412时，上式取等号 故当x=4y=12时，x+y取得最小值16
导航 (4)(方法一)∵x>0,y>0,𝟏 𝒙 + 𝟗 𝒚 =1, ∴x+y= 𝟏 𝒙 + 𝟗 𝒚 (x+y)= 𝒚 𝒙 + 𝟗𝒙 𝒚 +10≥2 𝒚 𝒙 · 𝟗𝒙 𝒚 +10=6+10=16, 当且仅当𝒚 𝒙 = 𝟗𝒙 𝒚 , 𝟏 𝒙 + 𝟗 𝒚 =1,即 x=4,y=12 时,上式取等号. 故当 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16
导航、 (方法二)2+号1，得(c-l00-99(定值 由0>0,2+号1可知19， ∴x+y=(-10+0-9)+10≥2(x-10y-9)+10=16, 当且仅当x-1y-9=3,即x=4y=12时，上式取等号，故当=4y=12 时，x+y取得最小值16
导航 (方法二)由 𝟏 𝒙 + 𝟗 𝒚 =1,得(x-1)(y-9)=9(定值). 由 x>0,y>0,𝟏 𝒙 + 𝟗 𝒚 =1 可知 x>1,y>9, ∴x+y=(x-1)+(y-9)+10≥2 (𝒙-𝟏)(𝒚-𝟗)+10=16, 当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时,上式取等号,故当x=4,y=12 时,x+y取得最小值16