全程设计 第五章 三角函数 5.5三角恒等变换 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第3课时二倍角的正弦、余弦、正物公式
第五章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课前·基础认知 课堂·重难突破
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导航 课前·基础认知 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2a= (2)c0s2a= (3)tan 2a= 如果要求二倍角的余弦公式(C2)中仅含的正弦（余弦），那么 又可得到：c0s2a= ,cos 2a= 以上这些公式都叫做 公式.倍角公式给出了α的三角 函数与2a的三角函数之间的关系
导航 课前·基础认知 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α= 2sin αcos α , (2)cos 2α= cos2α-sin2α , 如果要求二倍角的余弦公式(C2α )中仅含α的正弦(余弦),那么 又可得到:cos 2α= 1-2sin2α ,cos 2α= 2cos2α-1 . 以上这些公式都叫做 倍角 公式.倍角公式给出了α的三角 函数与2α的三角函数之间的关系. (3)tan 2α= 𝟐𝐭𝐚𝐧𝜶 𝟏-𝐭𝐚𝐧𝟐 𝜶
导航 微点拨(1)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值 等于2的情况都成立，如6是3a的2倍，3a是3的2倍.…这里 蕴含着换元思想.这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数 量之间的关系的
导航 微点拨(1)倍角公式中的“倍角”是相对的,对于两个角的比值 等于2的情况都成立,如6α是3α的2倍,3α是 的2倍……这里 蕴含着换元思想.这就是说,“倍”是相对而言的,是描述两个数 量之间的关系的. 𝟑𝜶 𝟐
导航 (2)和角公式与二倍角公式之间的逻辑联系如下： Sia u=3 S2a Cia+) 相除 相除 Ta+A &=B
导航 (2)和角公式与二倍角公式之间的逻辑联系如下:
导航 微训练 (山已知sina号则cos2a等于( C名 24 D 25 (2)如果3sina=cosa,那么tan2a的值等于( A.2 B.-2 c 3 D 答案：1)C (2)C
导航 微训练 (1)已知 sin α= 𝟒 𝟓 ,则 cos 2α 等于( ) A. 𝟕 𝟐𝟓 B. 𝟐𝟒 𝟐𝟓 C.- 𝟕 𝟐𝟓 D.- 𝟐𝟒 𝟐𝟓 (2)如果 3sin α=cos α,那么 tan 2α 的值等于( ) A.2 B.-2 C. 𝟑 𝟒 D.- 𝟑 𝟒 答案:(1)C (2)C
导航 解折：(l)cos2a-0s2a-sin2a=1-2sim2a=1-2x2号名故选C 251 (②：3sina-c0 osa'.tana-号 2tang fan 2a-1-tan2a 2 3 故选 C
导航 解析:(1)cos 2α=cos2 α-sin2 α=1-2sin2 α=1-2× 𝟏𝟔 𝟐𝟓 =- 𝟕 𝟐𝟓 ,故选 C. (2)∵3sin α=cos α,∴tan α= 𝟏 𝟑 . tan 2α= 𝟐𝐭𝐚𝐧𝜶 𝟏-𝐭𝐚𝐧𝟐 𝜶 = 𝟐× 𝟏 𝟑 𝟏- 𝟏 𝟗 = 𝟑 𝟒 .故选 C
导航 微拓展二倍角公式的有关变形 ()倍角公式的逆用及变形 DSz:2sin acos a-sin 2a;sin acos sin2 sin a- n2a in2a cosa icos a= sina 2C2a:cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a=cos 2a. 2tana =tan 2a,2tan a=tan 2a(1-tan2a). ③T2a1-tan2a
导航 微拓展 二倍角公式的有关变形 (1)倍角公式的逆用及变形 ① S 2 α:2sin αcos α =sin 2 α;sin αcos α = 𝟏𝟐 sin 2 α; sin α =𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝜶 𝟐 𝐜 𝐨𝐬𝜶 ;cos α =𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝜶 𝟐𝐬𝐢𝐧 𝜶. ②C2α:cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin 2 α =cos 2 α. ③T2α: 𝟐𝐭𝐚𝐧𝜶 𝟏-𝐭𝐚𝐧𝟐𝜶=tan 2α,2tan α=tan 2α(1-tan2α)
导航 2)配方变形 1±sin2au=sin2a+cos2a±2 sin acos a=(sina±c0saW)2. 3)因式分解变形 cos 2a=cos2a-sin2a-(cos a+sin a)(cos a-sin a). (4)升幂缩角变形 1+cos 2a=2cos2a;1-cos 2a=2sin2a. (⑤)降幂扩角变形 224itan'a- csa1+c9s2,sin2a-1cos2%, -c0s2 1+cos2a
导航 (2)配方变形 1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α) 2 . (3)因式分解变形 cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α). (4)升幂缩角变形 1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α. (5)降幂扩角变形 cos2 α= 𝟏+𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶 𝟐 ;sin2 α= 𝟏-𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶 𝟐 ;tan2 α= 𝟏-𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶 𝟏+𝐜𝐨𝐬𝟐𝜶
导航 课堂·重难突破 二倍角公式的正用、逆用 典例剖析 1.求下列各式的值： (1)sin15°+cos15°； π5π (2)c0s120s12 3)2V3tan15°+tan215°
导航 课堂·重难突破 一 二倍角公式的正用、逆用 典例剖析 1.求下列各式的值: (1)sin 15°+cos 15° ; (2)cos 𝛑 𝟏𝟐 cos 𝟓𝛑 𝟏𝟐 ; (3)2 𝟑tan 15°+tan2 15°