公式法
公式法
公式法(1) 你能将多项式x2-16与多项式m2-4n2分解 因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗? (+b)(a-b)=a2-b2 bi=(a+b(a-b) 两个数的平方差,等于这两个数的和与 这两个数的差的积
你能将多项式x 2－16 与多项式m2－4n 2分解 因式吗?这两个多项式有什么共同的特点吗? (a+b)(a－b) = a 2－b 2 a 2－b 2 =(a+b)(a－b) 两个数的平方差,等于这两个数的和与 这两个数的差的积. 公式法(1)
例3分解因式 (1)4x2-9;(2)(x+p)2-(x+q)2 分析:在(1)中,4x2=(2x)2,9=32,4x2-9=(2x)2 -32,即可用平方差公式分解因式 在(2)中,把(x+p)和(x+q)各看成一个整体,设 x+p=m,x+q=n,则原式化为m2-m2 (1)4x2-9 (2)(x+p)2-(x+q)2 (2x)2-32 =[(x+p)+(x+q)|(x+p)-(x+q) (2x+3)2x-3.=(2x+p+q)p-9
例3 分解因式: (1) 4x 2 – 9 ; (2) (x+p) 2 – (x+q) 2 . 分析：在(1)中，4x 2 = (2x) 2 ，9=32 ，4x 2－9 = (2x ) 2 –3 2，即可用平方差公式分解因式. 在(2)中，把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体，设 x+p=m，x+q=n，则原式化为m2－n 2 . (1) 4x 2 – 9 = (2x)2 – 3 2 = (2x+3)(2x – 3). (2)(x+p) 2 – (x+q) 2 = [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)] =(2x+p+q)(p–q)
例4分解因式: 分解因式 必须进行 (1)x4-y;(2)m3b-a剧每一个 多项式 分析:(1)x4-y写成(2)2-(米)的形式, 这样就可以利用平方差公式进行铟典分解了 (2)3b-mb有公因式ab,应先提出公因式, 再进一步分解 解:(1)x4-y (2)ab-ab =(x2+y2)(x2-y2 =ab(a2-1) (x2+y2)(x+y)(x-y).=ab(a+1)(=
例4 分解因式: (1)x 4—y 4 ; (2) a 3b —ab. 分析:(1)x 4－y 4写成(x 2 ) 2 －(y 2 ) 2的形式， 这样就可以利用平方差公式进行因式分解了. (2)a 3b－ab有公因式ab，应先提出公因式, 再进一步分解. 解:(1) x 4－y 4 = (x 2+y 2 )(x 2－y 2 ) = (x 2+y 2 )(x+y)(x－y). (2) a 3b－ab =ab(a 2－1) =ab(a+1)(a－1). 分解因式 必须进行 到每一个 多项式都 不能再分 解为止
练习 1.下列多项式能否用平方差公式来分 解因式?为什么? (1)x2+y2; xy (3)-x2+y2; (4)-x2-y2 2分解因式: (1)a2 25 b2. (29a2-4b2; (3)xy-4y;
练习 1.下列多项式能否用平方差公式来分 解因式?为什么? (1) x 2+y 2 ; (2) x 2－y 2 ; (3) －x 2+y 2 ; (4) －x 2－y 2 . 2.分解因式: (1)a 2－ b 2 ; (2)9a 2－4b 2 ; (3) x 2y－4y ; (4) －a 4 +16. 25 1
思维延伸 1.观察下列各式: 32-12=8-8×1 52-32=16=8×2: 72-52=24-8×3 把你发现的规律用含n的等式表示出来 2.对于任意的自然数n,(n+7)2-(n-5)2能被24 整除吗?为什么?
思维延伸 1. 观察下列各式: 3 2－1 2=8=8×1; 5 2－3 2=16=8×2; 7 2－5 2=24=8×3; …… 把你发现的规律用含n的等式表示出来. 2. 对于任意的自然数n，(n+7)2－ (n－5)2能被24 整除吗? 为什么?
公式法(2) 思考: 你能将多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2分解因 式吗?这两个多项式有什么特点? (a+b)2=a2+2ab+b2, a2+2ab+b2=(a+b)2 (a-b)2=a2-2mb+b2 a2-2ab+b2=(a-b)2 两个数的平方和加上(或减去)这两 个数的积的2倍,等于这两个数的和(或 差)的平方
思考： 你能将多项式a 2+2ab+b 2与a 2－2ab+b 2分解因 式吗？这两个多项式有什么特点？ (a+b) 2=a 2+2ab+b 2 , (a－b) 2=a 2－2ab+b 2 . 两个数的平方和加上（或减去）这两 个数的积的２倍，等于这两个数的和（或 差）的平方. a 2+2ab+b 2=(a+b) 2 a 2－2ab+b 2=(a－b) 2 公式法(2)
例5分解因式: (1)16x2+24x+9;(2)-x2+4xy4y2 分析:在(1)中,16x2=(4x)2,9=32,24x= 24x3,所以16x2+24x+9是一个完全平方式,即 16x2+24x+9=(4x)2+24x3+32 a2+2·a·b+b2 解:()6x2+24x+49=(4x)2+24x3+32 (4x+3)2
· 例5 分解因式： (1) 16x 2+24x+9； (2) –x 2+4xy–4y 2 . 分析：在(1)中，16x 2=(4x) 2 ，9=32 ，24x= 2·4x·3，所以16x 2+24x+9是一个完全平方式，即 16x 2+24x+9=(4x) 2+2·4x·3+32 a 2 2 a b b 2 + · 解：(1)16x 2+24x+9 = (4x) 2+2·4x·3+32 =(4x+3)2 . +
例5分解因式: (1)16x2+24x+9;(2)-x2+4xy4y2. 解:(2)-x2+4xy-4y2 (x2-4xy+4y2) 区x2-2x2y+(2y)2 (x-2y)2
解：(2) －x 2+4xy－4y 2 = － (x 2－4xy+4y 2 ) = － [x 2－2·x·2y+(2y) 2 ] = － (x－2y) 2 . 例5 分解因式： (1) 16x 2+24x+9； (2) –x 2+4xy–4y 2
例6分解因式: 将a+b看作一个 整体,设a+b=m (1)3ax2+6mxy+3ay2;则原式化为完全 平方式m2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36 12mt+36 分析:在(1)中有公因式3,应先提出公 因式,再进一步分解 解:(1)3x2+6axy+3gy2(2)(a+b)2-12(a+b)+36 3a(x2+2x+y2) (a+b)2-2(a+b)6+62 =3a(x+y)2 =(a+b-6)2
例6 分解因式: (1) 3ax2+6axy+3ay2 ; (2) (a+b) 2－12(a+b)+36. 分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公 因式，再进一步分解. 解：(1)3ax2+6axy+3ay2 =3a(x 2+2xy+y 2 ) =3a(x+y) 2 . (2)(a+b) 2－12(a+b)+36 =(a+b) 2－2·(a+b)·6+62 =(a+b－6)2 . 将a+b看作一个 整体，设a+b=m, 则原式化为完全 平方式m2－ 12m+36