本节内容 三角形的中位线 errED
三角形的中位线 本课内容节 2.4
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 如图2-37,D,E,F分别为△ABC三边中点, 所以,DF,DE,EF分别是三角形的三条中位线 A D F B E C 图2-37 errED
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 如图2-37，D，E，F分别为△ABC 三边中点， 所以，DF，DE，EF分别是三角形的三条中位线. 图2-37
探究 如图2-38,EF是ABC的一条中位线 EF∥BC吗?量一量EF与BC的长各是多少? 你能猜测出EF和BC具有怎样的位置关系和数量关 系吗?为什么? F B C 图2-38 errED
探究 如图2-38，EF是ABC的一条中位线. EF∥BC 吗？量一量EF 与BC 的长各是多少？ 你能猜测出EF和BC具有怎样的位置关系和数量关 系吗？为什么？ 图2-38
我猜测EF∥BC. 我量得EF=lcm,BC=2cm, 猜测EF=-BC 2 这些猜测正确吗?我们来进行证明 errED
我猜测EF∥BC. 我量得EF=1cm， BC=2cm， 猜测 1 2 EF BC . = 这些猜测正确吗？我们来进行证明
如图,将△AEF绕点F旋转180°,设点E的像为点G, 最知点A的像是点C,点F的像还是点F,且E,F,G在 条直线上 因为旋转不改变图形的形状和大小,所以有 CG=AE=BE,GF=EF,∠G=∠AEF 则AE∥CG.(内错角相等,两直线平行) E F G 即BE∥CG 又BE=CG B 图2-39 所以四边形BCGE是平行四边形.(一组对边平行且相 等的四边形是平行四边形 errED
如图，将△AEF绕点F旋转180° ，设点E的像为点G， 易知点A的像是点C，点F的像还是点F，且E，F，G在一 条直线上. 因为旋转不改变图形的形状和大小，所以有 CG=AE=BE，GF=EF，∠G=∠AEF. 则 AE∥CG. (内错角相等，两直线平行) 即 BE∥CG. 又 BE=CG， 所以四边形BCGE是平行四边形.(一组对边平行且相 等的四边形是平行四边形) 图2-39
所以EG=BC,EG∥BC.(平行四边形的对边平行且相等) 又因为EF=GF, 所以EF=2EG=2BC 2 E G 从而EF∥⊥BC. B C 2 图2-39 errED
所以EG=BC，EG∥BC.(平行四边形的对边平行且相等) 又因为EF=GF， EF EG BC 1 1 2 2 所以 EF ?= = EG ? BC .. 图2-39 从而EF﹦∥ 1 2 BC
结论 由此得到三角形的中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边,并且 等于第三边的 errED
结论 三角形的中位线平行于第三边，并且 等于第三边的一半. 由此得到三角形的中位线定理：
举 例 例如图2-40,顺次连结四边形ABCD各边中点 E,F,G,H,得到的四边形EFGH是平行 四边形吗?为什么? A H D E G B F C 图2-40 errED
如图2-40，顺次连结四边形ABCD各边中点 E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行 四边形吗？为什么？ 例 图2-40
解连结AC. 由于EF是△ABC的一条中位线, 所以EF∥AC,且EF=AC 又因HG是△DAC的一条中位线, 因此HG∥AC,且HG=1AC H D 于是EF∥HG,且EF=HG A 所以四边形EFGH是平行四边形.E G B C 图2-40 errED
解 连结AC. 由于EF是△ABC的一条中位线， 又因HG是△DAC的一条中位线， 于是EF∥ HG ，且EF= HG. 所以四边形EFGH是平行四边形. 所以EF∥AC，且 1 = . 2 EF AC 因此HG∥AC，且 1 = . 2 HG AC 图2-40
练习 1.已知△ABC的各边长度分别为3cm, 3.4cm,4cm,求连结各边中点所构成 的△DEF的周长 答:5.2cm. errED
1. 已知△ABC的各边长度分别为3 cm， 3.4cm，4cm，求连结各边中点所构成 的△DEF的周长. 答：5.2 cm. 练习