角平勺的性质
如图,是一个平分角的仪器,其中 AB=AD,cB=CD,将点A放在角的 A 顶点,AB和AD沿着角的两边放下, 沿AC画一条射线AE,AE就是角的平 12 分线。你能说明它的道理吗? D B 根据SSS,可知两个三角形全等 ∴∠1=∠2 C 从上面的探究你能得出作一个角的 角平分线的方法吗? E
如图，是一个平分角的仪器，其中 AB=AD，CB=CD,将点A放在角的 顶点，AB和AD沿着角的两边放下， 沿AC画一条射线AE,AE就是角的平 分线。你能说明它的道理吗？ A B C D E 1 2 根据SSS, 可知两个三角形全等 ∴∠1=∠2 从上面的探究你能得出作一个角的 角平分线的方法吗？
已知:∠AOB 求作:∠AOB的平分线 作法:(1)以O为圆心,适当长为 半径作弧,交OA于M,交OB于N; 1(2)分别以M、N为圆心,大于 MN的长为半径作弧,两弧在 2 ∠AOB的内部交于点C (3)作射线Oc射线OC即为所求。 你能说明其中的道理吗? 做P108页的练习,并回答问题
已知：∠AOB 求作：∠AOB的平分线 作法：（1）以O为圆心，适当长为 半径作弧，交OA于M,交OB于N; （2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在 ∠AOB的内部交于点C. (3)作射线OC.射线OC即为所求。 你能说明其中的道理吗？ A M O B N 2 C 1 做P108页的练习，并回答问题
做一做 1。你能用折叠的办法折出一个角的平分线吗? 将∠AOB折 2。再折出一个直角三角形,(使角平分线为斜 边,OA与OB为直角边) 观察两次折出的三条折痕,你能得出 什么结论? 第二次折出的两条折痕的长度相等。 你能说明其中的道理吗?AASO 从上面的实验中,你能得到什么结论?
做一做 1。你能用折叠的办法折出一个角的平分线吗？ 2。再折出一个直角三角形，（使角平分线为斜 边，OA与OB为直角边） 观察两次折出的三条折痕，你能得出 什么结论？ 第二次折出的两条折痕的长度相等。 A O B C 将∠AOB对折 A O B P A B D P E 你能说明其中的道理吗？AAS 从上面的实验中，你能得到什么结论？
已知:如图,OP是∠AOB的平分线,点P在OC上, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E 求证:PD=PE 证明:∵∠1=∠2,OP=OP ∠PDO=∠PEO=90° ∴PDos∠PEO(AAS) PD=PE(全等三角形的对应 E B 边相等) 定理:在角的平分线上的点到这个角的 两边的距离相等。 该定理的题设和结论分别是什么?
已知：如图，OP是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E 求证：PD=PE 定理：在角的平分线上的点到这个角的 两边的距离相等。 证明: ∵∠1=∠2 , OP=OP ∠PDO=∠PEO=90° ∴⊿PDO≌⊿PEO (AAS) ∴PD=PE (全等三角形的对应 边相等) A O B D P E C 1 2 该定理的题设和结论分别是什么？
角平分线的性质定理 定理1在角的平分线上的点到这个角的 两边的距离相等 定理应用所具备的条件: (1)角的平分线; (2)点在该平分线上; (3)垂直距离。 E B 定理的作用:证明线段相等。 应用定理的书写格式: 推理的理由有三个, 必须写完佥,采能少 OP是∠AOB的平分线 了任何一个 PD⊥OAPE⊥OB ∴PD=PE(在角的平分线上的点 到这个角的雨边的离相等。)
角平分线的性质定理 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的 两边的距离相等。 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 定理的作用： 证明线段相等。 应用定理的书写格式： OP 是 AOB 的平分线 PD ⊥ OA PE ⊥ OB \ PD = PE （在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。） ∵ 推理的理由有三个， 必须写完全，不能少 了任何一个。 A O B D P E
如果交换定理的题设、结论,启得到怎样的命题,这是一个 真命题吗? 逆命题:到一个角的两边距离相等的点,在这个 角的平分线上 已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB,垂 足分别是D,E,PD=PE。 求证:点P在∠AOB的平分线上。 证明:在 RtODP和Rt∠OEP中, ∠ODP=∠OEP=90° OP=OP PDEPE Rt4oPDsRtAOPE(HL) 定理2到一个角的两边的距离相等的点, 在这个角的平分线上
如果交换定理1的题设、结论，能得到怎样的命题，这是一个 真命题吗？ 逆命题： 到一个角的两边距离相等的点，在这个 角的平分线上。 B O A P E D C 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂 足分别是D，E， PD=PE。 求证：点P在∠AOB的平分线上。 证明: 在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中, ∠ODP=∠OEP=90° OP=OP, PD=PE Rt⊿OPD≌Rt⊿OPE (HL) 到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。 定理 2
定理2的应用书写格式: PC⊥OA PD⊥OB PD= PE E OP是∠AOB的平分线 (到一个角的雨边的距离相等的点, 在这个角的平分线上) 用途:判定一条射线是角平分线
定理 2的应用书写格式： OP 是 AOB 的平分线 PC ⊥ OA PD ⊥ OB PD= PE \ （到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上） ∵ 用途：判定一条射线是角平分线 B O A P E D C
例1已知:如图、E是∠BAC平分线上的一点,EB⊥AA EC⊥AC,B,C分别是垂足。求证:∠EBC=∠ECB 证明::E是∠BAC平分线上的一点,EB⊥AB,EC⊥AC EB=EC (在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等) ∴∠EBC=∠ECB(在一个三角形中,等边对等角) 想一想:题中BC被AE垂直平分吗? B °∠ABE=∠ACE=Rt∠ ∠1=∠2:∠3=∠4 E 又∵EB=EC AE垂直平分BC
例1 已知：如图、E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB， EC⊥AC，B，C分别是垂足。求证：∠EBC＝∠ECB 证明：∵ E是∠BAC平分线上的一点，EB⊥AB，EC⊥AC ∴EB=EC （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等） ∴∠EBC＝∠ECB （在一个三角形中，等边对等角） A C E 想一想：题中 B BC 被AE垂直平分吗？ 1 2 3 4 ∵∠ABE＝∠ACE＝Rt∠ ∠1＝∠ 2 ∴∠3＝∠4 又∵EB=EC ∴ AE垂直平分BC
如图,开发区一个工 厂,在公路西侧,到公路北 的距离与到河岸的距离相 等,并且与河上公路桥较 近桥头的距离为500米。 你能尝试确定工厂的位置 吗?并说明理由。 比例尺1:2000 ∴到公路的距离与到河岸的距离相等 工厂在河岸与公路的角平分线上 (到一个角的雨边的雕离相等的点,在这个角的平分线上) 以角的顶点为端点在角平分线上取一段等于25cm 则另一点就是工厂的位置
如图，开发区一个工 厂，在公路西侧，到公路 的距离与到河岸的距离相 等，并且与河上公路桥较 近桥头的距离为500米。 你能尝试确定工厂的位置 吗？并说明理由。 北 比例尺1：20000 ∵到公路的距离与到河岸的距离相等 ∴工厂在河岸与公路的角平分线上 （到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上） 以角的顶点为端点在角平分线上取一段等于2.5㎝ 则另一点就是工厂的位置