本角平分线的性质 errED
角平分线的性质 本课内容节 1.4
角平分线是以一个角的顶点为端点的一条 射线,它把这个角分成两个相等的角. errED
角平分线是以一个角的顶点为端点的一条 射线，它把这个角分成两个相等的角
Y探究 如图1-26,在∠AOB的平分线OC上任取一点P 作PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E 试问PD与PE相等吗? C B 图1-26 errED
探究 如图1-26，在∠AOB的平分线OC上任取一点P， 作PD⊥OA ， PE⊥OB ， 垂足分别为点D， E， 试问PD与PE相等吗？ 图1-26
将∠AOB沿OC对折,我发现PD 与PE重合,即PD与PE相等 你能证明吗? C B 图1-26 errED
你能证明吗？ 将∠AOB沿OC对折，我发现PD 与PE重合，即PD与PE相等. 图1-26
我们来证明这个结论 ∴PD⊥04,PE⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO和△PEO中, ∴∠PDO=∠PEO, C ∠DOP=∠EOP OP=OP, ∴△PDO≌△PEO B 图1-26 ∴PD=PE errED
∵ PD ⊥OA ， PE ⊥OB ， ∴ ∠PDO = ∠PEO = 90 ° . 在△PDO和△PEO中， ∵ ∠PDO =∠PEO， ∠DOP =∠EOP， OP = OP ， ∴ △PDO ≌ △PEO . ∴ PD = PE . 我们来证明这个结论 . 图 1 -26
结论 由此得到角平分线的性质定理: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 errED
结论 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 由此得到角平分线的性质定理：
动脑筋 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上吗? 如图1-27,点P在∠AOB的内部,作PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为点D,E.若PD=PE,那么点P 在∠AOB的平分线上吗? C E B 图1-27 errED
动脑筋 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上吗？ 如图1-27，点P在∠AOB 的内部，作PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为点D，E. 若PD= PE， 那么点P 在∠AOB的平分线上吗？ 图1-27
如图1-27,过点O,P作射线OC A ∴PD⊥O4,PE⊥OB, ∠PDO=∠PEO=90 O P 在Rt△PDO和Rt△PEO中, ∴OP=OP,PD=PE, E ∴Rt△PDO≌Rt△PEO B 图1-27 ∴∠AOC=∠BOC OC是∠AOB的平分线,即点P在∠AOB的平分线OC上 errED
在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∵ OP = OP，PD = PE， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO. ∵ PD⊥OA， PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 如图1-27，过点O，P作射线OC. ∴ ∠AOC =∠BOC. ∴ OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上. 图1-27
结论 由此得到角平分线的性质定理的逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 errED
结论 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 由此得到角平分线的性质定理的逆定理：
举例 1如图1-28,∠BAD=∠BCD=90°,∠1=∠2 (1)求证:点B在∠ADC的平分线上; (2)求证:BD是∠ABC的平分线 D C 图1-28 errED
例1 如图1-28，∠BAD =∠BCD = 90° ，∠1=∠2. （1）求证：点B在∠ADC的平分线上； （2）求证：BD是∠ABC的平分线. 图1-28