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复厦 怎样判断一个命题是真命题? 判断一个命题是不是真命题需要讲道理, 讲道理的过程叫证明。 如何证明?从一个命题的条件出发,通过讲道理(推理), 得出它的结论成立,从而判断该命题为真,这 个推理的过程叫作证明 动脑筋如图,线段a、b一样长吗? b b
a b a b 动脑筋 判断一个命题是不是真命题需要讲道理， 讲道理的过程叫证明。 如何证明？从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理）， 得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这 个推理的过程叫作证明。 怎样判断一个命题是真命题？ 如图，线段a、b一样长吗？
图中两个正方形哪个大? 观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段, 而且人们可以从中猜测发现出一些结论 ◆直观是重要的但它有时也会骗人
图中两个正方形哪个大？ 观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段， 而且人们可以从中猜测发现出一些结论. 直观是重要的,但它有时也会骗人
做一做采用剪拼或度量的方法 猜测“三角形的外角和”等于多少度 从剪拼或度量可以猜测三 另外,由于不同形状的三角形 角形的三个外角之和等于有无数个,我们也不可能用剪拼或 360°,但是剪拼时难以度量的方法来一一验证,因此,我 真正拼成一个周角,只们只能猜测任何一个三角形的外角 是接近周角;分别度量这和都为360°.此时猜测出的命题 个角后再相加,结果可仅仅是一种猜想,未必都是真命 能接近360°,但不能很题。要确定这个命题是真命题,还 准确地都得360 需要通过推理的方法加以证明
做一做 采用剪拼或度量的方法， 猜测“三角形的外角和” 等于多少度. 从剪拼或度量可以猜测三 角形的三个外角之和等于 360° ，但是剪拼时难以 真正拼成一个周角， 只 是接近周角；分别度量这 三个角后再相加，结果可 能接近360°，但不能很 准确地都得360°． 另外，由于不同形状的三角形 有无数个，我们也不可能用剪拼或 度量的方法来一一验证，因此，我 们只能猜测任何一个三角形的外角 和都为360°．此时猜测出的命题 仅仅是一种猜想， 未必都是真命 题．要确定这个命题是真命题，还 需要通过推理的方法加以证明
动脑筋证明命题“三角形的外角和为360°”是真命 爍一步:根据题意,画出图形;K 第二步:结合图形,写出已知求证; 已知:∠BAF,∠CBD和∠ACE 分别是△ABC的三个外角 求证: E ∠BAF+∠CBD+∠ACE=360° 第三步:写出证明过程,并且步步有依据。 证明:如图,∠BAF=∠2+∠3, ∠CBD=∠1+∠3 ACE=∠1+∠2(三角形外角定理) ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性质) ∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理) 。∠BAP+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°
第一步：根据题意，画出图形； 证明命题“三角形的外角和为360°”是真命 题. 动脑筋 第二步：结合图形，写出已知求证； 已知： ∠BAF， ∠CBD和∠ACE 分别是△ABC的三个外角. 求证： ∠BAF +∠CBD +∠ACE = 360°. 第三步：写出证明过程，并且步步有依据。 证明:如图，∵∠BAF=∠2+∠3， ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性质). ∠CBD=∠1+∠3， ∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理）， ∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)， ∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°
人经过刚才三站的“证明”之旅,你能说出完 结论整的几何命题证明需要哪几个步骤吗? (1)根据题意,画出图形。 (2)结合图形,写出已知求证 (3)写出证明过程,并且步步有依据。 数学上证明一个命题时,通常从命题的条件出发,运用 定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论,通过 步步的推理,最后证实这个命题的结论成立 证明的每一步都必须要有根据 条件推理—结论(真命题) 依据 (定义)(定理)(推论)(基本事实
经过刚才三站的“证明”之旅，你能说出完 整的几何命题证明需要哪几个步骤吗？ （1）根据题意，画出图形。 （2）结合图形，写出已知求证 （3）写出证明过程，并且步步有依据。 结论 依据 (定义)(定理)(推论)(基本事实) 条件 结论 （真命题） 数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发，运用 定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一 步步的推理，最后证实这个命题的结论成立. 证明的每一步都必须要有根据. 推理
例已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C,点D S举在线段BA的延长线上,射线AE平分∠DAC 例求证:AE∥BC 证明:∠DAC=∠B+∠C(三角形外角定理) E ∠B=∠C(已知), ∠DAC=2∠B(等式的性质) 又。AE平分∠DAC(已知),B C ∠DAC=2∠DAE(角平分线的定义) ∠DAE=∠B(等量代换) AE∥BC(同位角相等,两直线平行)
例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D 在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC. 求证：AE∥BC. 证明：∵∠DAC =∠B +∠C（三角形外角定理）， ∠B=∠C（已知）， ∴ ∠DAC=2∠B（等式的性质）. 又∵AE平分∠DAC（已知）， ∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义） ∴∠DAE=∠B（等量代换）. ∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）
例2已知:∠A,∠B,∠C是△ABC的内角 求证:∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60° 分析这个命题的结论是“至少有一个” 也就是说可能出现“有一个”、“有两个”、 “有三个”这三种情况.如果直接来证明,将很 繁琐,因此,我们将从另外一个角度来证明 证明假设∠A,∠B,∠C中没有一个角大于或等于60° 即∠A<60°,∠B<60°,∠C<60° 则∠A+∠B+∠C<180° 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾, 所以假设不正确 因此,∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60°
例2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. 求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°. 分析 这个命题的结论是“至少有一个” ， 也就是说可能出现“有一个” 、 “有两个” 、 “有三个”这三种情况. 如果直接来证明，将很 繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明. 证明 假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大于或等于60° 即∠A＜60° ，∠B＜60° ，∠C＜60° ， 则∠A+∠B+∠C＜180°. 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾， 所以假设不正确. 因此，∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°
结论 像这样,当直接证明一个命题为真有困难 时,我们可以先假设命题不成立,然后利用命 题的条件或有关的结论,通过推理导出矛盾, 从而得出假设不成立,即所证明的命题正确, 这种证明方法称为反证法 反证法是一种间接证明的方法,其基本的思路 可归结为“否定结论,导出矛盾,肯定结论” 反证法的步骤: 假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→ 肯定原结论正确
像这样，当直接证明一个命题为真有困难 时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命 题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾， 从而得出假设不成立，即所证明的命题正确， 这种证明方法称为反证法. 反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路 可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”. 反证法的步骤： 假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→ 肯定原结论正确 结论
练习1在括号内填上理由 (1).证明命题:一个角的两边分别平行于另一个角的 两边,且方向相同,则这两个角相等。 已知:如图,AB∥AB’,BC∥BC 求证:∠B=∠B 证明:∵AB‖AB’(已知) ∠B=∠a(两直线平行,同位角相等 BCB'C(已知) ∠B=∠a(两直线平行,同位角湘等 ∠B=∠B(等量代换
(1).证明命题：一个角的两边分别平行于另一个角的 两边，且方向相同，则这两个角相等。 C' B' A' B C 已知：如图，AB∥A’B’,BC∥B’C’. A 求证：∠B= ∠B’ 证明：∵ AB∥A’B’ （ ） ∴ ∠ B’ = ∠α（ ） ∵ BC∥B’C’ （ ） ∴ ∠ B = ∠α（ ） ∴ ∠ B = ∠B’ ( ) 已 知 两直线平行，同位角相等 已 知 两直线平行，同位角相等 等量代换 练习 1. 在括号内填上理由