问题导入 如图,在春陵江岸的一侧有相隔一段距 离的A、B两个仓库,要在江岸边建造一个码 头,使它到A、B两个仓库的距离相等,码 头应建在什么位置?
A B 如图，在春陵江岸的一侧有相隔一段距 离的A、B两个仓库，要在江岸边建造一个码 头，使它到A、B两个仓库的距离相等，码 头应建在什么位置? 春陵江 ● ●
线段的垂直平分线
学习 1.结合具体例子认识什么是线段的垂直 平分线,理解线段的垂直平分线所满 足的两个条件 2.探索掌握线段垂直平分线的性质定理及 其逆定理 3.能应用线段垂直平分线的性质定理找出 线段相等
学习目标 1.结合具体例子认识什么是线段的垂直 平分线，理解线段的垂直平分线所满 足的两个条件. 2.探索掌握线段垂直平分线的性质定理及 其逆定理. 3.能应用线段垂直平分线的性质定理找出 线段相等
观察:如图,人字形屋顶的框架中,点A与点4 关于线段CD所在的直线/对称,你发现线段 CD所在的直线与线段A4有哪些关系? ①l⊥AA':l垂直AA ②AD=A'D:平分AA 现在把人字形屋顶框架图进行简化得到如下图: 已知点4与点A关于直线/对称 如果沿直线折叠, 则点4与点A′重合, 所以AD=AD,∠1=∠2=90° 即直线l既垂直线段AA,又平分线段A4 直线就叫做线段AA"的垂直平分线
观察：如图，人字形屋顶的框架中，点A 与点A′ 关于线段CD 所在的直线l 对称，你发现线段 CD 所在的直线l与线段AA′ 有哪些关系？ 已知点A与点Ａ′ 关于直线l 对称 ● l A D A′ 1 2 (A) 现在把人字形屋顶框架图进行简化得到如下图： ①l⊥AA′ ：l 垂直AA′ ②AD=A′ D：l 平分AA′ 如果沿直线l折叠， 则点A与点Ａ′ 重合， 所以AD=A′D，∠1 =∠2 = 90° ， 即直线l 既垂直线段AA′，又平分线段AA′ ． 直线l 就叫做线段AA′ 的垂直平分线 ●
由上得到线段的垂直平分线的定义: 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线 段的垂直平分线.(中垂线) 用符号语言表示:如图 A B l⊥AB,AC=BC 直线l是线段AA的垂直平分线 想一想: 线段是轴对称图形吗?它的对称轴是什么? 线段是轴对称图形 线段的垂直平分线是它的对称轴
________且_______一条线段的直线叫作这条线 段的垂直平分线. 想一想： 线段是轴对称图形吗？ 它的对称轴是什么？ l A B C （中垂线） 由上得到线段的垂直平分线的定义： 垂直 平分 用符号语言表示：如图 ∵_______，_______ ∴直线l 是线段AA′ 的垂直平分线 线段是轴对称图形， 线段的垂直平分线是它的对称轴. l ⊥AB AC=BC
探究交流 (1)在纸上画一条线段AB,再画出线段AB的 垂直平分线MN; (2)在线段AB的垂直平分线MN上 任取一点P,连接PA,PB, (3)测量PA、PB的长度, 你有什么发现? PA=PB 0 (4)你能用语言表达这个结论吗? 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 相等
N M P 探究交流： A O B ● （1）在纸上画一条线段AB，再画出线段AB的 垂直平分线 MN； （2）在线段AB的垂直平分线MN上 任取一点P,连接PA，PB， （3）测量PA、PB的长度， 你有什么发现？ PA=PB 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 相等． （4）你能用语言表达这个结论吗？
探究交流 (5)理由: 直线MN是线段AB的垂直平分线 ∴点4与点B关于直线MN对称 ∴沿直线MN折叠,点4与点B重合 从而线段PA与线段PB重合 于是PA=PB 0 由此得出线段垂直平分线的性质定理:N 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 条件:点在线段的垂直平分线上 结论:这个点到线段两端的距离相等
N M P 探究交流： A O B ● （5）理由： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ∵直线MN是线段AB 的垂直平分线， ∴沿直线MN折叠，点A与点B重合. ∴点A与点B关于直线MN对称 从而线段PA与线段PB重合 于是PA= PB. 由此得出线段垂直平分线的性质定理： 条件：点在线段的垂直平分线上 结论：这个点到线段两端的距离相等
学致用 1.解答前面所提出的问题: 如图,在春陵江岸的一侧有相隔一段距离的A、B 两个仓库,要在江岸边建造一个码头,使它到A、 B两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置? 分析:(1)所建造的码头要满足几个条件? ①在江岸边 ②到A、B两个端点AQ 的距离相等 答:码头应 B (2)码头位置 建在点P 的位置 应为江岸边与 线段AB的垂直 平分线的交点 ●
A B P O 学以致用 如图，在春陵江岸的一侧有相隔一段距离的A、B 两个仓库，要在江岸边建造一个码头，使它到A、 B两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 春陵江 1.解答前面所提出的问题： ● ● 分析：（1）所建造的码头要满足几个条件？ ①在江岸边 ②到A、B两个端点 的距离相等 （2）码头位置 应为江岸边与 线段AB的垂直 平分线的交点. 答：码头应 建在点P 的位置
2.如图,△ABC中,AB=9cm,AC=15cm,BC的 垂直平分线DE交AC于点D,交BC于点E, 求△ABD的周长 解::DE是BC的垂直平分线 .. BD=DC (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 △ABD的周长 AB+BD+AD =AB+DC+AD AB+AC=9+15=24(cm) 方法小结:应用线段的垂直平分线性质定理可帮 助我们找到线段相等关系,即线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点的距离相等
2.如图，△ABC中，AB=9cm,AC＝15cm，BC的 垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点E， 求△ABD的周长 A B E D C 解: ∵ DE是BC的垂直平分线 ∴ BD=DC ∴ △ABD的周长 =AB+BD+AD =AB+DC+AD =AB+AC =9+15=24(cm) 方法小结：应用线段的垂直平分线性质定理可帮 助我们找到线段相等关系，即线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点的距离相等． (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)
3.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的 垂直平分线交AB于E,D为垂足,连接EC (1)求∠ECD的度数;(2)若CE=5,求BC长 解(1)DE是AC的垂直平分线 A . EA=EC (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)⊥D ECD=∠A=36(等边对等角) (2yAB=AC∠A=36 ∠B=∠ACB(等边对等角)B 1800-36 =720 又∠BEC=∠A+∠ECA=72° ∠B=∠BEC BC=EG=5(等角对等边)
B A D E C 3.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的 垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC. (1)求∠ECD的度数；(2)若CE＝5，求BC长． 解(1)∵ DE是AC的垂直平分线 ∴ EA=EC ∴ ∠ECD＝∠A＝36（等边对等角） ° (2)∵AB=AC ∠A＝36° ∴ ∠B＝∠ACB（等边对等角） ＝ 2 _______ 1800 -360 ＝720 又∵∠BEC＝∠A+∠ECA=72° ∴ ∠B＝∠BEC ∴ BC = EC =5 （等角对等边） (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)