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观察如图,人字形屋顶的框架中,点4与点 A关于线段CD所在的直线对称,问线段CD 所在的直线与线段44有什么关系? 我发现DADA,L⊥A A D 我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到如图 已知点A与点A关于直 线称,如果沿直线折叠, 则点A与点A重合, AD=AD,∠1=∠2=90° 即直线l既平分线段AA’,又 垂直线段AA
如图， 人字形屋顶的框架中，点A 与点 A′关于线段CD 所在的直线l对称，问线段CD 所在的直线l 与线段AA′有什么关系？ 观察 我发现DA=DA′ , l⊥AA′ 已知点A与点Ａ′关于直 线l对称，如果沿直线l折叠， 则点A与点Ａ′重合， AD=A′D，∠1 =∠2 = 90° ， 即直线l既平分线段AA′ ，又 垂直线段AA′． ● ● l A D A′ 1 2 (A) 我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到如图
说一说我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条 线段的垂直平分线。(中垂线) 用符号语言描述右图的内容 A B 线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴 探究如图,在线段4B的垂直平分线上任取 点P,连接PA,PB,线段PAPB之间有什么 关系? 作关于直线/的轴反射(即 沿直线/对折),由于/是线段AB 的垂直平分线,因此点与点匯 合.从而线段PA与线段PB重合 于是PA=PB B (4)
说一说 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条 线段的垂直平分线。（中垂线） 线段是轴对称图形， 线段的垂直平分线是它的对称轴. l A B 用符号语言描述右图的内容 C (A) (B)A B P l 如图， 在线段AB 的垂直平分线l上任取一 点P， 连接PA，PB，线段PA, PB之间有什么 关系？ 作关于直线l的轴反射（即 沿直线l对折），由于l是线段AB 的垂直平分线，因此点A与点B重 合. 从而线段PA与线段PB重合， 于是PA= PB. 探究
Ns结由此得出线段垂直平分线的性质定理 论线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 几何语言:∵CD⊥AB,AC=BC..PA=PB 动脑筋我们知道线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等,反过来,如 果已知一点P到线段AB两端的距离 PA与PB相等,那么点P在线段AB的 垂直平分线上吗? (1)当点P在线段AB上时,因为PA=PB, 所以点P为线段AB的中点,显然此时点P在 线段AB的垂直平分线上
结 论 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 几何语言：∵CD⊥AB,AC=BC∴PA=PB C 动脑筋 我们知道线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等，反过来，如 果已知一点P到线段AB 两端的距离 PA与PB相等，那么点P在线段AB的 垂直平分线上吗？ (1) 当点P在线段AB上时，因为PA = PB， 所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在 线段AB的垂直平分线上. 由此得出线段垂直平分线的性质定理：
(2)当点P在线段AB外时,如图,因为 PA=PB,所以△PAB是等腰三角形过 顶点P作PC⊥AB,垂足为点C,从而 P 底边AB上的高PC也是底边AB上的中 线即PC⊥AB,且AC=BC 因此直线PC是线段AB的垂直平分线, 此时点P也在线段AB的垂直平分线上 A B 由此得到线段垂直平分线的性质定理的 逆定理:(判定定理) 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 几何语言: PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线
（2） 当点P在线段AB外时,如图, 因为 PA =PB，所以△PAB是等腰三角形.过 顶点P 作PC⊥AB，垂足为点C，从而 底边AB上的高PC也是底边AB上的中 线.即PC⊥AB，且AC = BC. 因此直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 几何语言： ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线 上 由此得到线段垂直平分线的性质定理的 逆定理：（判定定理）
例1已知:如图,在△ABC中,AB,BC的垂直 举平分线相交于点O,连接OA,OB,OC 例求证:点0在AC的垂直平分线上 证明∵点O在线段AB的垂直平分线上, 。OA=0B. 同理OB=OC O4=0C B C 点O在AC的垂直平分线上 在三角形ABC中,DE是边AB的垂直平分线, AB=8cm,△ACD的周长为10cm。求△ABC的周长。 分析:∵△ACD的周长=AC+CD+AD=10C D 而AD=BD。AC+CD+BD=AC+BC=10 △ABC的周长=AC+BC+AB=10+8=18A B
例1 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直 平分线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上. 举 例 证明 ∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴ OA=OB. 同理OB=OC. ∴ OA=OC. ∴ 点O在AC的垂直平分线上. 例2 在三角形ABC中，DE是边AB的垂直平分线， AB=8cm，△ACD的周长为10cm。求△ABC的周长。 C A E D B 分析：∵△ACD的周长=AC+CD+AD=10 而AD=BD∴AC+CD+BD=AC+BC=10 ∴△ABC的周长=AC+BC+AB=10+8=18
一练习1.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交 AB,BC于点D,E,∠B=30°,∠BAC=80°, 求∠CAE的度数 答:∠CAE=50° B 2已知:如图,点C,D是线段AB外的两点,且 AC=BC,AD=BD,AB与CD相交于点O 求证:AO=BO 证明:":AC=BC,AD=BD 点C和点D在线段AB的垂直平分线上, CD为线段AB的垂直平分线 A B 又AB与CD相交于点O:AO=BO D
练习 1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交 AB，BC于点D，E，∠B=30° ，∠BAC= 80° ， 求∠CAE的度数. 答：∠CAE=50° . 2.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且 AC =BC，AD=BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO. 证明： ∵ AC =BC，AD=BD， ∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上， ∴ CD为线段AB的垂直平分线. 又 AB与CD相交于点O ∴ AO=BO
3.若P是线段AB的垂直平分线上一点,且PB=6 一练习cm,则PA= cm。 4.如图2,在△ABC中,AC的垂直平分线交AC于点E, 交BC于点D,△ABD的周长是12cm,AC=5cm, 则AB+BD+DC cm;△ABC的周长是 cm 5如图,△ABC中,BC=10,边BC的垂直平分线分别交AB、 BC于点E、D.BE=6,求△BCE的周长 6.如图,已知AE=CE,BD⊥AC.求证:AB+CD=AD+BC 7如图,在△ABC上,已知点D在BC上,且BD+AD=BC 求证:点D在AC的垂直平分线上 A (4)题 (5)题 (7)题入 B 的)题
练习 6. 如图，已知AE＝CE， BD⊥AC．求证： AB＋CD＝AD＋BC． 7.如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD＋AD＝BC． 求证： 点D在AC的垂直平分线上． 3．若 P 是线段 AB 的垂直平分线上一点，且 PB＝6 cm，则PA ＝________cm. 4．如图 2，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交 AC 于点 E， 交 BC 于点 D，△ABD 的周长是 12 cm，AC＝5 cm， 则 AB＋BD＋DC＝________cm；△ABC 的周长是________cm. 5.如图，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、 BC于点E、D．BE＝6，求△BCE的周长． (4)题 (5)题 (6)题 (7)题
中考例如图,在△ABC中,BC=8cm,AB的垂直平分 试题线交AB于点D,交边AC于点E,△BCE的周长等于 18cm,则4C的长等于(C) A 6cm B 8cm C 10cm D 12cm 解析 DE是AB的垂直平分线, AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 又。在△BCE中, BE+CE+BC=18cm, BC=8cm, BE+CE=10cm AC=AE+CE=BE+CE=10cm E 故应选择C B C
如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分 线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于 18cm，则AC的长等于（ ）. A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm 中考 试题 例 解析 ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等). 又∵在△BCE中， BE+CE+BC=18cm，BC=8cm， ∴BE+CE=10cm. ∴AC=AE+CE=BE+CE=10cm. 故应选择C. C
小结1.线段的垂直平分线的性质是什么? 2.线段的垂直平分线的判定是什么? 3这两个定理的关系是什么? 作业:P72A1、2、3
小结 1. 线段的垂直平分线的性质是什么？ 2. 线段的垂直平分线的判定是什么？ 3.这两个定理的关系是什么？ 作业：P72 A 1、2、3