列1已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E在边 BC上,且AD=AE.求证:BD=CE A 证明作AF⊥BC,垂足为点F 则AF是等腰△ABC和等腰△ADE 底边上的高,也是底边上的中线 BF=CF, DF=EF. BF-DF-CF-EF, ED BD=CE B DF C 如图的三角测平架中 c以一议,AB=AC,在BC的中点DBC 挂一个重锤,自然下垂, 调整架身,使点A怡好在铅 锤线上 (1)AD与BC是否垂直,试说明理由 (2)这时BC处于水平位置,为什么
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边 BC上，且AD=AE. 求证：BD=CE. 证明 作AF⊥BC，垂足为点F， 则AF是等腰△ABC和等腰△ADE 底边上的高，也是底边上的中线. ∴ BF=CF， ∴ BF-DF=CF-EF， DF=EF， 即 BD=CE. F 如图的三角测平架中 ，AB=AC，在BC的中点D 挂一个重锤，自然下垂， 调整架身，使点A恰好在铅 锤线上. （1）AD与BC是否垂直，试说明理由. （2）这时BC处于水平位置，为什么 ？
等腰三角形(C
复习点等腰三角形的性质有哪些? (1)从边看:等腰三角形两边相等(定义) (2)从角看:等腰三角形两底角相等(性质定理) (3)从重要线段看: 等腰三角形底边上的高、底边上的中线与顶 角的平分线互相重合(三线合一); (4)从特殊图形看: 等边三角形每个角都相等并且每个角都等于60°。 (5)从对称性看: 等腰三角形是轴对称图形,对称轴是 。等边三角形有对称轴
等腰三角形的性质有哪些？ (1)从边看：等腰三角形两边相等（定义）； (2)从角看：等腰三角形两底角相等（性质定理）； (3)从重要线段看： 等腰三角形底边上的高、底边上的中线与顶 角的平分线互相重合（三线合一）； (4)从特殊图形看： 等边三角形每个角都相等并且每个角都等于60° 。 (5)从对称性看： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线 所在的直线。等边三角形有三条对称轴
探究 我们知道,等腰三角形的两底角相等, 反过来,两个角相等的三角形是等腰三角形吗? 如图,在△ABC中,如果∠B=∠C,那么AB 与AC之间有什么关系吗? 我测量后发现AB 3c 3 cm 与AC相等 如何证明 C AB=AC?
我测量后发现AB 与AC相等. 3cm 3cm 探究 我们知道，等腰三角形的两底角相等， 反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ 如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB 与AC之间有什么关系吗？ 如何证明 AB=AC？
事实上,如图,在△ABC中,∠B=∠C 沿过点A的直线把∠BAC对折, 得∠BAC的平分线AD交BC于点D, 则∠1=∠2.又∠B=∠C, A 由三角形内角和的性质得 ∠ADB=∠ADC 2 沿AD所在直线折叠, 由于∠ADB=∠ADC,∠1=∠2, 所以射线DB与射线DC重合, B C 射线AB与射线AC重合 D 从而点B与点C重合, 于是AB=AC
事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C. 沿过点A的直线把∠BAC对折， 得∠BAC的平分线AD交BC于点D， 则∠1=∠2. 又∠B=∠C， 由三角形内角和的性质得 ∠ADB=∠ADC. D 1 2 沿AD所在直线折叠， 由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2， 所以射线DB与射线DC重合， 射线AB与射线AC重合. 从而点B与点C重合， 于是AB=AC
结论 有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简称“等角对等边”) 由此并且结合三角形内角和定理,还可以得到等边三角 形的判定定理:三个角都是60°的三角形是等边三角形 举 例1已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D 例E分别是AB,AC上的点,且DE∥BC. 求证:△ADE为等腰三角形 证明∵AB=AC,∴∠B=∠C 又∵DE∥BC, D E ∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∠ADE=∠AED B C 于是△ADE为等腰三角形
结论 三个角都是60°的三角形是等边三角形. 由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角 形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形 (简称“等角对等边”). 例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D， E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC. 求证：△ADE为等腰三角形. 证明 ∵AB=AC，∴ ∠B=∠C. 又∵ DE∥BC， ∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C. ∴ ∠ADE=∠AED. 于是△ADE为等腰三角形
动脑筋 有一个角是60°的等腰三角形是 等边三角形吗?为什么? 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC 由三角形内角和定理得 ∠A+∠B+∠C=180° 如果顶角∠A=60° B C 则∠B+∠C=180°-60°=120° 又AB=AC, ∠B=∠C...∠B=∠C=∠A=60 △ABC是等边三角形 由此得到另一条等边三角形的判定定理 结论
有一个角是60°的等腰三角形是 等边三角形吗？为什么？ 动脑筋 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC. 由三角形内角和定理得 ∠A+∠B+∠C= 180°. 如果顶角∠A=60° ， 则∠B+∠C= 180°-60°=120°. 又 AB=AC，∴ ∠B=∠C. ∴ ∠B=∠C=∠A=60°. ∴ △ABC是等边三角形. 结论 由此得到另一条等边三角形的判定定理： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
(举例2已知:如图,△ABC是等边三角形,点D,E 分别在BA,C4的延长线上,且AD=AE,q 求证:△ADE是等边三角形 证明“△ABC是等边三角形 ∠BAC=∠B=∠C=60 ∠EAD=∠BAC=60 又AD=AE,∴△ADE是等边三角形( 如图,∠ABC中,∠ACB的平分线交AB于点E,过点E作 FE/BC,交AC于点O,交∠ACD的平分线于点F,求证:EO=FO 证明:CE平分∠ACB,CF平分∠ACD, ∠1=∠2,∠3=∠4 EF∥BC, E 。∠2=∠5,∠3=∠6 。∠1=∠5,∠4=∠6, B EO=CO F0=CO.E0=FO
例2 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E 分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE. 求证：△ADE是等边三角形. 证明 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠B=∠C= 60°. ∵∠EAD=∠BAC= 60° ， 又 AD =AE，∴△ADE是等边三角形 （ ） 例3 如图，⊿ABC中,∠ACB的平分线交AB于点E,过点E作 FE//BC,交AC于点O,交∠ACD的平分线于点F,求证：EO=FO. 证明： ∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠1=∠2，∠3=∠4. ∵EF ∥BC, ∴ ∠2=∠5，∠3=∠6, ∴ ∠1=∠5，∠4=∠6, ∴EO=CO,FO=CO, ∴EO=FO. A B C D E O F 1 2 3 4 5 6
1.已知:等腰三角形ABC的底角∠ABC和 练习 ∠ACB的平分线相交于点O 求证:△OBC为等腰三角形 证明:∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O 。∠ABD=∠DBC ∠ABC 2 E D ∠ACE=∠ECB=-∠ACB 2 又。△ABC是等腰三角形, B ∠ABC=∠ACB,∴∠DBC=∠ECB △OBC是等腰三角形 2、如图,在△ABC中,∠ACB 和∠ACB的平分线相交于点 D,且DB=DC,请说明 AB=AC的理由 B
练习 1. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和 ∠ACB的平分线相交于点O. 求证：△OBC为等腰三角形. A B C E D O 证明: ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ ∠ABD =∠DBC= ， 1 2 ABC 又∵ △ABC是等腰三角形， ∴ ∠DBC =∠ECB， ∴ △OBC是等腰三角形. ∴ ∠ABC =∠ACB， 1 2 ∠ACE =∠ECB= ACB 2、如图，在△ABC中，∠ACB 和∠ACB的平分线相交于点 D，且DB=DC，请说明 AB=AC的理由. A B C D
3.已知:如图,CD平分∠ACB,AE∥DC,AE 交BC的延长线于点E,且∠ACE=60° 求证:△ACE是等边三角形 证明·CD平分∠ACB, ∠ACD=∠DCB 又∠ACE=60 ∠ACD=∠DCB=60° 又"AEⅢDC, ∠BCD=∠E=60° B E 在△ACE中,∠CAE=180°-∠E-∠ACE=60° 。∠CAE=∠ACE=∠E=60° △ACE是等边三角形 4、已知:如图,AD∥BC, BD平分∠ABC。 求证:AB=AD B12
3. 已知：如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE 交BC的延长线于点E，且∠ACE= 60°. 求证：△ACE是等边三角形. 证明 ∵CD平分∠ACB， ∴ 在△ACE中，∠CAE= 180°- ∠E -∠ACE =60 ° 又∵∠ACE=60° ， ∴ ∠BCD=∠E=60° ， ∴ ∠ACD =∠DCB， ∴ ∠ACD=∠DCB=60° ， 又 ∵ AE∥DC， ∴ ∠CAE = ∠ACE=∠E=60° ∴△ACE是等边三角形. 4、已知：如图，AD∥BC， BD平分∠ABC。 求证：AB=AD A D B C 1 2 3