等边三角形(3)
等边三角形（3）
复习 等边三角形的判定与性质有哪些?
复习 等边三角形的判定与性质有哪些？
探索 1.等边三角形的性质:三边相等三角部是60°; 三边上的中线、高、角平分线相等 2.等边三角形的判定: 三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角 是60°的等腰三角形是等边三角形; 在直角三角形中,如果一个影角等于30°,那么 它所的直角边等于斜边的一半
探索 1．等边三角形的性质：三边相等；三角都是60° ； 三边上的中线、高、角平分线相等 2．等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角 是60°的等腰三角形是等边三角形； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 它所对的直角边等于斜边的一半
注意: 推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要 方法.推论2说明在等腰三角形中,只要有一个角 是600,不论这个角是角还是底角,就可以判定 这个三角形是等边三角形。推论反映的是直角三 角形中边与角之间的关系
注意： 推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要 方法.推论2说明在等腰三角形中，只要有一个角 是60 0，不论这个角是顶角还是底角，就可以判定 这个三角形是等边三角形。推论3反映的是直角三 角形中边与角之间的关系
3.补充:已知如图所示,在△ABC中,BD是AC边 上的中线,DB⊥BCB∠ABC=120,求证: AB=2BC 分析由已知条件可得∠AB=30,如能构造有 个锐角是B0的直角三角形,斜边是B,30所 对的边是与B相等的线最,问题就得到解决了
3．补充：已知如图所示, 在△ABC中, BD是AC边 上的中线, DB⊥BC于B, ∠ABC=120 o , 求证: AB=2BC 分析 由已知条件可得∠ABD=30 o , 如能构造有 一个锐角是30 o的直角三角形, 斜边是AB,30 o角所 对的边是与BC相等的线段,问题就得到解决了. B C D A
证明:过A作AE∥BC交BD的延长线于E DB⊥BC(C知) ∠AED=90(两直线平行内错角相等) 在△ADE和△CDB中 ∠E=∠CBDC证) ∠ADE=∠BDC(对顶角相等) AD=CD已知) ∠ADE≌ACDB(AAS AE=CB(全等三角形的对应边相等) ∠ABC=120,DBBC(C知) ∠ABD=300
证明: 过A作AE∥BC交BD的延长线于E ∵DB⊥BC(已知) ∴∠AED=90 o (两直线平行内错角相等) 在△ADE和△CDB中 ∴△ADE≌△CDB(AAS) ∴AE=CB(全等三角形的对应边相等) ∵∠ABC=120 o ,DB⊥BC(已知) ∴∠ABD=30 o = = = ( ) ( ) ( ) 已知 对顶角相等 已证 AD CD ADE BDC E CBD
在Rt△ABE中,∠ABD=30 AE=AB(在直角三角形中,如果一个锐角等于30, 那么它所剧的直角边等于斜边的一半) BC=AB即AB=2BC 点评本题还可过C作CE∥AB
在Rt△ABE中,∠ABD=30 o ∴AE=AB(在直角三角形中,如果一个锐角等于30 o , 那么它所对的直角边等于斜边的一半) ∴BC=AB 即AB=2BC 点评 本题还可过C作CE∥AB
现固练习 如图所示,在等边△ABC的边的延长线上取一点E以CE为边 作等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧,点M为线 段D的中点,点形为线段B的中点,求证:△CM是等边三角 形 分析已知易证明△ADC≌△BEC得 B=AD∠BBC=∠DAE1而M、M分别为B、AD的中点,于是有 BM=MM,要证明1CM是等边三角形,只须证M=CM ∠MC60,所以要证△MBC≌△MC,由上述已推出的结 论,根据边角边公里,可证得△MBC≌AMC
巩固练习 如图所示,在等边△ABC的边的延长线上取一点E,以CE为边 作等边△CDE,使它与△ABC位于直线AE的同一侧,点M为线 段AD的中点,点N为线段BE的中点,求证:△CNM是等边三角 形. 分析 由已知易证明△ADC≌△BEC,得 BE=AD,∠EBC=∠DAE,而M、N分别为BE、AD的中点，于是有 BN=AM，要证明△CNM是等边三角形，只须证MC=CN， ∠MCN=60 o，所以要证△NBC≌△MAC，由上述已推出的结 论，根据边角边公里，可证得△NBC≌△MAC N M D C B A E
证明::等边△ABC和等边△DCE, BC=AC,CD=CE,(等边三角形的边相等) ∠BCA=∠DCB=60(等边三角形的每个角都是60) ∠BCE=∠DCA △BCE≌△ACD(SAS) ∠EBC=∠DAC(全等三角形的对应角相等) BE=D(全等三角形的对应边相等) 又:BVBE,MM=AD(中点定义) BN=AM AMBC≌△MC(SAS) CM=CW(全等三角形的对应边相等) ∠ACM∠BC(全等三角形的应角相等) ∠MCV=∠ACB=600 请△MCN为等边三角形(有一个角等于60的等腰 :角形是等边三角形)
证明：∵等边△ABC和等边△DCE， ∴BC=AC，CD=CE，（等边三角形的边相等） ∠BCA=∠DCE=60 o（等边三角形的每个角都是60） ∴∠BCE=∠DCA ∴△BCE≌△ACD（SAS） ∴∠EBC=∠DAC（全等三角形的对应角相等） BE=AD（全等三角形的对应边相等） 又∵BN=BE，AM=AD（中点定义） ∴BN=AM ∴△NBC≌△MAC（SAS） ∴CM=CN（全等三角形的对应边相等） ∠ACM=∠BCN（全等三角形的对应角相等） ∴∠MCN=∠ACB=60 o ∴△MCN为等边三角形（有一个角等于60 o的等腰 三角形是等边三角形）
解题小结 1.本题话过将分析法和综合法并用进行分析得到 了本题的证题思路较复杂的几何问题经常用这种 方法进行分析 本题反复利用等边三角形的性质,证得了两三 角形全等从历证得AMW是一个含60角的等腰三 角形在较复杂的图形中,如何准确地找到所需要 的全等三角形是证题的关键
解题小结 1.本题通过将分析法和综合法并用进行分析,得到 了本题的证题思路,较复杂的几何问题经常用这种 方法进行分析 2.本题反复利用等边三角形的性质,证得了两对三 角形全等,从而证得△MCN是一个含60 o角的等腰三 角形,在较复杂的图形中,如何准确地找到所需要 的全等三角形是证题的关键