第二章二次巫 数 小结与复习 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业
小结与复习 第二章 二次函 数 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业
要点梳理 、二次函数的定义 1.一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数, a:0),那么叫叫做x的二次函数.特别地,当a0,b= c=0时,y=ax2是二次函数的特殊形式 2.二次函数的三种基本形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0); (2)顶点式:y=a(x=h2+ka线0),由顶点式可以直 接写出二次函数的顶点坐标是,k; (3)交点式:y=a(x-x1)x-x2)(a0),其中x1,x2是 图象与x轴交点的横坐标
一、二次函数的定义 要点梳理 1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数， a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝ c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式． 2．二次函数的三种基本形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h) 2＋k(a≠0)，由顶点式可以直 接写出二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1 )(x－x2 )(a≠0)，其中x1，x2是 图象与x轴交点的横坐标．
、二次函数的图象和性质 二次函数y=a(xh2+k y=ax++c 开口 a>0开口向上 方向 a0 y最小=k 值 y最小An4ab2 a0在对称轴左边xxy在对称轴右边,xy7 减 性a≤0在对称轴左边xy7在对称轴右边,xy
二次函数 y=a(x-h)2+k y＝ax2＋bx＋c 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最 值 a＞0 a＜0 增 减 性 a＞0 a＜0 a＞0 开口向上 a ＜ 0 开口向下 x=h (h , k) y最小=k y最大=k 在对称轴左边,x↗ y↘;在对称轴右边, x↗ y↗ 在对称轴左边,x↗ y↗;在对称轴右边, x↗ y↘ 2 b x a = − 2 4 ( , ) 2 4 b ac b a a − − y最小= 2 4 4 ac b a − y最大= 2 4 4 ac b a − 二、二次函数的图象和性质
三、二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与系数a,b,c的关系 项目字母字母的符号 图像的特征 a>0 开口向上 a0a与b同号)对称轴在轴左侧 ab0 与轴正半轴相交 C0 与x轴有两个交点 b2-4ac<0 同x轴没有交点
三、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与系数a，b，c的关系 项目字母 字母的符号 图像的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b b＝0 对称轴为y轴 ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 c c＝0 经过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b 2－4ac b 2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点) b 2－4ac＞0 与x轴有两个交点 b 2－4ac＜0 与x轴没有交点
四、二次函数图象的平移 任意抛物线y=a(x-h)2+k可以由抛物线y=ax2 经过平移得到,具体平移方法如下: 上加下减 y人向上k>0)、下k0)、下(k<0平移k个单位 y(分+k
四、二次函数图象的平移 任意抛物线y＝a(x－h) 2＋k可以由抛物线y＝ax2 经过平移得到，具体平移方法如下：
五、二次函数表达式的求法 般式:y=ax2+bx+c(a≠0) 若已知条件是图象上三个点的坐标,则设一般式y=ax bx+c(a≠0),将已知条件代入,求出a,b,c的值 2.顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或 最小值,则设顶点式y=a(x-h2+k(a≠0),将已知条件 代入,求出待定系数的值,最后将解析式化为一般式. 3.交点式:y=a(x-x1)x-x2)(a≠0) 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标,则设交点 式y=a(x-x1)x-x2)(a1:0),将第三点的坐标或其他已知条 件代入,求出待定系数a的值,最后将解析式化为一般式
五、二次函数表达式的求法 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0) 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值． 2．顶点式：y＝a(x－h) 2＋k(a≠0) 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或 最小值，则设顶点式y＝a(x－h) 2＋k(a≠0)，将已知条件 代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式． 3．交点式：y＝a(x－x1 )(x－x2 )(a≠0) 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点 式y＝a(x－x1 )(x－x2 )(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条 件代入，求出待定系数a的值，最后将解析式化为一般式．
六、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象和轴交点有三种情况:有 两个交点有一个交点没有交点当二次函数y=ax2+bx+c的 图象和轴有交点时交点的横坐标就是当y0时自变量x的值, 即一元二次方程ax2+bx+c=0的根 二次函数y=ax2+bx 元二次方程 元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别式 +c的图象和轴交点ax2+bx+c=0的根 (b2-4ac) 有两个交点 有两个相异的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0
六、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况:有 两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的 图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根. 二次函数y＝ax2＋bx ＋c的图象和x轴交点 一元二次方程 ax2＋bx＋c=0的根 一元二次方程 ax2＋bx＋c=0根的判别式 （b 2 -4ac） 有两个交点 有两个相异的实数根 b 2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b 2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b 2-4ac < 0
七、二次函数的应用 二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系,解决 最大化问题(即最值问题); (2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根及 元二次不等式的解集 2.一般步骤:(1)找出问题中的变量和常量以及它们 之间的函数关系;(2)列出函数关系式,并确定自变量的 取值范围;(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题 (4)检验结果的合理性,是否符合实际意义
七、二次函数的应用 2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们 之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的 取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题； (4)检验结果的合理性，是否符合实际意义． 1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决 最大化问题(即最值问题)； (2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根及 一元二次不等式的解集．
考点讲练 考点一求抛物线的顶点、对称轴、最值 例1抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标为(1,2) 【解析】 方法一: 配方,得y=x2-2x+3=(x-1)2+2,则顶点 坐标为(1,2) 方法二: 4ac-b24×1×3-22 代入公式x =1,y 2a2×1 4×1 则顶点坐标为(1,2)
考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值 考点讲练 例1 抛物线y＝x 2－2x＋3的顶点坐标为______． 【解析】 方法一： 配方，得y＝x 2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则顶点 坐标为(1,2)． 方法二： 代入公式 ， ， 则顶点坐标为(1,2)． 2 1 2 2 1 b x a − = − = − = 2 2 4 4 1 3 2 2 4 4 1 ac b y a − − = = = (1,2)
针对训练 1.对于y=2(x-3)2+2的图象下列叙述正确的 是(C) A.顶点坐标为(-3,2) B.对称轴为y=3 C.当x3时,y随x的增大而增大 D.当x=3时,y取最大值,为2
1．对于y＝2(x－3)2＋2的图象下列叙述正确的 是( ) A．顶点坐标为(－3,2) B．对称轴为y＝3 C．当x≥3时，y随x的增大而增大 D．当x=3时，y取最大值，为2 C 针对训练