八年级(下)期中数学试卷 、选择题(本大题共10小题,共30.0分) 1.下列图形中,是中心对称图形的是() B 2.在代数式,5,,塑,2a+中,分式有()个 B.2 C.3 3.下列根式中,与√2是同类二次根式的是() A.√12 B.8 C v6 D.√3 4.以下调查中适合作抽样调查的有() ①了解全班同学期末考试的数学成绩情况: ②了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况 ③学校为抗击“非典”,需了解全校师生的体温 ④了解《课课练》在全省七年级学生中受欢迎的程序 A.1个 B.2个 C.3个 D.4 5.如图,一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域,并涂 上了相应的颜色,转动转盘,转盘停止后,指针指向蓝色区域/红\/红 的概率是() 蓝 D 6.如图,在ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分∠BAD 交BC边于点E.则线段CE的长度为 A.3 B.2 C 7.下列说法中,正确的是() A.两条对角线相等的四边形是平行四边形 B.两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形 C.两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D.两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是菱形 第1页,共21页
第 1 页，共 21 页 八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在代数式 2𝑥 𝑥+1 ， 5 𝑎 ， 2𝑎 3𝜋 ， 2𝑎𝑏 7 ，2𝑎 + 𝑏 3中，分式有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列根式中，与√2是同类二次根式的是（ ） A. √12 B. √8 C. √6 D. √3 4. 以下调查中适合作抽样调查的有（ ） ①了解全班同学期末考试的数学成绩情况； ②了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况； ③学校为抗击“非典”，需了解全校师生的体温； ④了解《课课练》在全省七年级学生中受欢迎的程序． A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 5. 如图，一个可以自由转动的转盘被等分成 6 个扇形区域，并涂 上了相应的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域 的概率是（ ） A. 1 6 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 3 6. 如图，在▱ABCD 中，AD=5，AB=3，AE 平分∠BAD 交 BC 边于点 E．则线段 CE 的长度为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两条对角线相等的四边形是平行四边形 B. 两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形 C. 两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是菱形
8.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形, 使它形状改变,当∠B=90°时,如图1,测得AC=2,当∠B=60°时,如图2,AC=() 图1 图 B C.√6 D.2√2 9.关于x的方程x1-1的解是正数,则a的取值范围是() A.a>-1 B.a>-1且a≠0C.a<-1 D.a<-1且a≠2 10.如图,已知直线ⅢAB,l与AB之间的距离为2.C、D是直线l上两个动点(点C 在D点的左侧),且AB=CD=5.连接AC、BC、BD,将△ABC沿BC折叠得到△A′BC.下 列说法 ①四边形ABCD的面积始终为10 ②当A′与D重合时,四边形ABDC是菱形 ③当A′与D不重合时,连接A′、D,则∠CA′D+∠BCA=180° ④若以A、C、B、D为顶点的四边形为矩形,则此矩形相邻两边之和为3√5或7 其中正确的是() A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 二、填空题(本大题共8小题,共16.0分) 11.二次根式√x-1中字母x的取值范围是 12.当 时,分式的值为0 13.袋子里有5只红球,3只白球,每只球除颜色以外都相同,从中任意摸出1只球, 是红球的可能性 (选填“大于”“小于”或“等于”)是白球的可能性 14.菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,则菱形ABCD的面积是 高是 15.如果√a-2+√3-b=0,则√a+Y 16.如图,连接四边形ABCD各边中点,得到四边形EFGH, 还要添加条件,才能保证四边形EFGH是矩形. H 17.如图,延长正方形ABCD的边AB到E,使BE=AC,则∠E=度 第2页,共21页
第 2 页，共 21 页 8. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ABCD，转动这个四边形， 使它形状改变，当∠B=90°时，如图 1，测得 AC=2，当∠B=60°时，如图 2，AC=（ ） A. √2 B. 2 C. √6 D. 2√2 9. 关于 x 的方程2𝑥+𝑎 𝑥−1 =1 的解是正数，则 a 的取值范围是（ ） A. a＞-1 B. a＞-1 且 a≠0 C. a＜-1 D. a＜-1 且 a≠-2 10. 如图，已知直线 l∥AB，l 与 AB 之间的距离为 2．C、D 是直线 l 上两个动点（点 C 在D点的左侧），且AB=CD=5．连接AC、BC、BD，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC．下 列说法： ①四边形 ABCD 的面积始终为 10； ②当 A′与 D 重合时，四边形 ABDC 是菱形； ③当 A′与 D 不重合时，连接 A′、D，则∠CA′D+∠BCA′=180°； ④若以 A′、C、B、D 为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为 3√5或 7． 其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共 8 小题，共 16.0 分） 11. 二次根式√𝑥 − 1中字母 x 的取值范围是______． 12. 当 x=______时，分式𝑥+2 𝑥−3的值为 0． 13. 袋子里有 5 只红球，3 只白球，每只球除颜色以外都相同，从中任意摸出 1 只球， 是红球的可能性______（选填“大于”“小于”或“等于”）是白球的可能性． 14. 菱形 ABCD 中，对角线 AC=6，BD=8，则菱形 ABCD 的面积是______，高是______． 15. 如果√𝑎 − 2+√3 − 𝑏=0，则√𝑎+ √6 √𝑏 =______ 16. 如图，连接四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH， 还要添加______条件，才能保证四边形 EFGH 是矩形． 17. 如图，延长正方形 ABCD 的边 AB 到 E，使 BE=AC，则∠E=______度．
18.在平面直角坐标系中,已知A、B、C、D四点的坐标依次为(0,0)、(6,2)、 (8,8)、(2,6),若一次函数y=mx-6m+2(m0)的图象将四边形ABCD的面 积分成1:3两部分,则m的值为 三、计算题(本大题共2小题,共12.0分) 19.计算 (1)√3-2°3×12 20.先化简,再求值:a2=4a=2其中F1 四、解答题(本大题共6小题,共42.0分) 21.解方程:亠 22.郑州市大力发展绿色交通,构建公共绿色交通体系,“共享单车”的投入使用给人 们的出行带来便利.小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t(单位: 分),将获得的数据分成四组,绘制了如图统计图,请根据图中信息,解答下列问 题 各组人数的条形统计图 各组人数占被调查总人数的百分比统计图 人数(人) A:t≤10分 B:10分<1≤20分 38% C:20分<t≤30分 0ABcD组别 图1 (1)这次被调查的总人数是: 第3页,共21页
第 3 页，共 21 页 18. 在平面直角坐标系中，已知 A、B、C、D 四点的坐标依次为（0，0）、（6，2）、 （8，8）、（2，6），若一次函数 y=mx-6m+2（m≠0）的图象将四边形 ABCD 的面 积分成 1：3 两部分，则 m 的值为______． 三、计算题（本大题共 2 小题，共 12.0 分） 19. 计算： （1）√3-2 0 -√3×√12 （2）4√ 1 2 +√27-√8 20. 先化简，再求值： 4 𝑎2−4 - 1 𝑎−2，其中 a=1． 四、解答题（本大题共 6 小题，共 42.0 分） 21. 解方程： 1 𝑥+1 + 2 𝑥−1 = 4 𝑥 2−1 22. 郑州市大力发展绿色交通，构建公共绿色交通体系，“共享单车”的投入使用给人 们的出行带来便利．小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间 t（单位： 分），将获得的数据分成四组，绘制了如图统计图，请根据图中信息，解答下列问 题： （1）这次被调查的总人数是______；
(2)补全条形统计图; (3)在扇形统计图中,求表示A组(10分)的扇形圆心角的度数 (4)如果骑共享单车的平均速度为12km/h,请估算,在租用共享单车的市民中, 骑车路程不超过6m的人数所占的百分比 23.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-5,0)、B(-2,3)、C(-1,0) (1)画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1BC1; (2)将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°,画出对应的△A′B′C′ (3)若以A′、B′、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形,请直接写出在第 四象限中的D′坐标 --1 .4.4 cIo: -}- 24.如图,已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于 D 点O,OB=OD,BF=DE,AECF (1)求证:△OAE≌△OCF (2)若O=OD,猜想:四边形ABCD的形状,请B 证明你的结论 25.在南宁市地铁1号线某段工程建设中,甲队单独完成这项工程需要150天,甲队单 独施工30天后增加乙队,两队又共同工作了15天,共完成总工程的 第4页,共21页
第 4 页，共 21 页 （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求表示 A 组（t≤10 分）的扇形圆心角的度数； （4）如果骑共享单车的平均速度为 12km/h，请估算，在租用共享单车的市民中， 骑车路程不超过 6km 的人数所占的百分比． 23. 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（-5，0）、B（-2，3）、C（-1，0） （1）画出△ABC 关于坐标原点 O 成中心对称的△A1B1C1； （2）将△ABC 绕坐标原点 O 顺时针旋转 90°，画出对应的△A′B′C′； （3）若以 A′、B′、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出在第 四象限中的 D′坐标______． 24. 如图，已知四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 点 O，OB=OD，BF=DE，AE∥CF． （1）求证：△OAE≌△OCF； （2）若 OA=OD，猜想：四边形 ABCD 的形状，请 证明你的结论． 25. 在南宁市地铁 1 号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要 150 天，甲队单 独施工 30 天后增加乙队，两队又共同工作了 15 天，共完成总工程的1 3．
(1)求乙队单独完成这项工程需要多少天? (2)为了加快工程进度,甲、乙两队各自提高工作效率,提高后乙队的工作效率 是二,甲队的工作效率是乙队的m倍(1sm<2),若两队合作40天完成剩余的工程, 请写出a关于m的函数关系式,并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍? 26.综合与实践 如图1,已知△ABC为等边三角形,点D,E分别在边AB、AC上,AD=AE,连接 DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点 (1)观察猜想 在图1中,线段PM与PN的数量关系是 ∠MPN的度数是 (2)探究证明 把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置 ①判断△PMN的形状,并说明理由 ②求∠MPN的度数 (3)拓展延伸 若△ABC为直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=10,点DE分别在边AB,AC上 AD=E=4,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.把△ADE绕点A 在平面内自由旋转,如图3,请直接写出△PMN面积的最大值 E 图2 图3 第5页,共21页
第 5 页，共 21 页 （1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率 是 1 𝑎，甲队的工作效率是乙队的 m 倍（1≤m≤2），若两队合作 40 天完成剩余的工程， 请写出 a 关于 m 的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？ 26. 综合与实践： 如图 1，已知△ABC 为等边三角形，点 D，E 分别在边 AB、AC 上，AD=AE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点． （1）观察猜想 在图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是______，∠MPN 的度数是______； （2）探究证明 把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置， ①判断△PMN 的形状，并说明理由； ②求∠MPN 的度数； （3）拓展延伸 若△ABC 为直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=10，点 DE 分别在边 AB，AC 上， AD=AE=4，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点．把△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，如图 3，请直接写出△PMN 面积的最大值．
答案和解析 1.【答案】C 【解析】 解:A、不是中心对称图形,故本选项错误 B、不是中心对称图形,故本选项错误 C、是中心对称图形,不是轴对称图形,故本选项正确; D、不是中心对称图形,故本选项错误. 故选:C. 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解. 本题考査了中心对称图形与轴对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称 中心,旋转180度后两部分重合 2.【答案】B 【解析】 2a 2ab 解: 中的分母中均不含有字母,因此它们是整式,而不是分式 2x5 x+1a分母中含有字母,因此是分式 分式有2个 故选:B 判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不 含有字母则不是分式 本题主要考查分式的定义,注意π不是字母,是常数,所以不是分式,是整 式 3.【答案】B 【解析】 解:A、√12=2√3,与√不是同类二次根式 B、√8=2√2,与√2是同类二次根式; C、√6与√2不是同类二次根式; D、√3与√2不是同类二次根式 故选:B 第6页,共21页
第 6 页，共 21 页 答案和解析 1.【答案】C 【解析】 解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项正确； D、不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：C． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称 中心，旋转 180 度后两部分重合． 2.【答案】B 【解析】 解： 中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式， 分母中含有字母，因此是分式； 分式有 2 个， 故选：B． 判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不 含有字母则不是分式． 本题主要考查分式的定义，注意 π不是字母，是常数，所以 不是分式，是整 式． 3.【答案】B 【解析】 解：A、 =2 ，与 不是同类二次根式； B、 =2 ，与 是同类二次根式； C、 与 不是同类二次根式； D、 与 不是同类二次根式， 故选：B．
把各选项中式子化为最简二次根式,利用同类二次根式定义判断即可 此题考查了同类二次根式,以及最简二次根式,熟练掌握同类二次根式定义 是解本题的关键 4.【答案】B 【解析】 解:①了解全班同学期末考试的数学成绩情况,人数不多,可利用全面调查 ②了解夏季冾饮市场上冰淇淋的质量情况,数量众多,利用全面调查具有破 坏性,因此利用抽样调查; ③学校为抗击“非典”,需了解全校师生的体温,人数不多,可利用全面调查; ④了解《课课练》在全省七年级学生中受欢迎的程序,数量众多,因此利用抽 样调查 故选:B 由普査得到的调査结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调 查得到的调查结果比较近似 本题考査了抽样调查和全面调査的区别,选择普查还是抽样调查要根据所要 考查的对象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行 普査、普査的意义或价值不大时,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调 查,事关重大的调查往往选用普查 5.【答案】D 【解析】 解∷一个自由转动的转盘被等分成6个鬲形区域,其中蓝色部分占2份, 指针指向蓝色区域的概率是=6=3 故选:D 首先确定在图中蓝色区域的面积在整个面积中占的比例,根据这个比例即可 求出指针指向蓝色区域的概率 此题考查了几何概率,用到的知识点为:概率=相应的面积与总面积之比. 第7页,共21页
第 7 页，共 21 页 把各选项中式子化为最简二次根式，利用同类二次根式定义判断即可． 此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握同类二次根式定义 是解本题的关键． 4.【答案】B 【解析】 解：①了解全班同学期末考试的数学成绩情况，人数不多，可利用全面调查； ②了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况，数量众多，利用全面调查具有破 坏性，因此利用抽样调查； ③学校为抗击“非典”，需了解全校师生的体温，人数不多，可利用全面调查； ④了解《课课练》在全省七年级学生中受欢迎的程序，数量众多，因此利用抽 样调查； 故选：B． 由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调 查得到的调查结果比较近似． 本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要 考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行 普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调 查，事关重大的调查往往选用普查． 5.【答案】D 【解析】 解：∵一个自由转动的转盘被等分成 6 个扇形区域，其中蓝色部分占 2 份， ∴指针指向蓝色区域的概率是= = ； 故选：D． 首先确定在图中蓝色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可 求出指针指向蓝色区域的概率． 此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
6.【答案】B 【解析】 解:∵AE平分∠BAD交BC边于点E ∠BAE=∠EAD, ∵四边形ABCD是平行四边形, ADIlBC, AD=BC=5 ∠DAE=∠AEB ∠BAE=∠AEB, ab=bE=3 ∴EC=BC-BE=5-3=2 故选:B 先根据角平分线及平行四边形的性质得出∠BAE=∠AEB,再由等角对等边得 出BE=AB,从而求出EC的长 本题主要考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定,根据已 知得出∠BAE=∠AEB是解决问题的关键 7.【答案】C 【解析】 解:A、两粲对角线相等的四边形不一定是平行四边形,如等腰梯形,此选项 错误 B、两粲对角线相等且互相垂直的四边形不一定是矩形,故此选项错误 C、两粲对角线互相垂直平分的四边形是菱形,正确; D、两粲对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,故此选项错误 故选:C. 分别利用平行四边形和矩形、以及菱形的判定方法分别分析求出即可 此题主要考查了多边形的相关定义,正确把握矩形、菱形以及平行四边形的 区别是解题关键 8.【答案】A 【解析 【分析】 本题考查了正方形的性质,勾股定理以及等边三角形的判定和性质,利用勾 第8页,共21页
第 8 页，共 21 页 6.【答案】B 【解析】 解：∵AE 平分∠BAD 交 BC 边于点 E， ∴∠BAE=∠EAD， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC=5， ∴∠DAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=3， ∴EC=BC-BE=5-3=2． 故选：B． 先根据角平分线及平行四边形的性质得出∠BAE=∠AEB，再由等角对等边得 出 BE=AB，从而求出 EC 的长． 本题主要考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据已 知得出∠BAE=∠AEB 是解决问题的关键． 7.【答案】C 【解析】 解：A、两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，此选项 错误； B、两条对角线相等且互相垂直的四边形不一定是矩形，故此选项错误； C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确； D、两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故此选项错误． 故选：C． 分别利用平行四边形和矩形、以及菱形的判定方法分别分析求出即可． 此题主要考查了多边形的相关定义，正确把握矩形、菱形以及平行四边形的 区别是解题关键． 8.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利用勾
股定理得出正方形的边长是关键.图1中根据勾股定理即可求得正方形的边 长,图2根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得 【解答】 解:如图1, 图2 AB=BC=CD=DA,∠B=90° 四边形ABCD是正方形 连接AC,则AB2+BC2=AC2 ∴AB=BC= AC=,/ 如图2,∠B=60°,连接AC, ∴△ABC为等边三角形, AC=AB= 故选A 9.【答案】D 【解析】 解:去分母得,2x+a=x-1 -1-a 方程的解是正数 :-1-a>0即a<-1 又因为x-1 则a的取值范围是a<-1且a≠-2 故选:D 先解关于ⅹ的分式方程,求得x的值,然后再依据“解是正数'建立不等式求a 的取值范围. 第9页,共21页
第 9 页，共 21 页 股定理得出正方形的边长是关键．图 1 中根据勾股定理即可求得正方形的边 长，图 2 根据有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形即可求得． 【解答】 解：如图 1， ∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°， ∴四边形 ABCD 是正方形， 连接 AC，则 AB2+BC2=AC2， ∴ = = ， 如图 2，∠B=60°，连接 AC， ∴△ABC 为等边三角形， ∴AC=AB=BC= . 故选 A. 9.【答案】D 【解析】 解：去分母得，2x+a=x-1 ∴x=-1-a ∵方程的解是正数 ∴-1-a＞0 即 a＜-1 又因为 x-1≠0 ∴a≠-2 则 a 的取值范围是 a＜-1 且 a≠-2 故选：D． 先解关于 x 的分式方程，求得 x 的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求 a 的取值范围．
由于我们的目的是求a的取值范围,根据方程的解列出关于a的不等式,另外, 解答本题时,易漏掉a≠-2,这是因为忽略了ⅹ-1≠0这个隐含的粲件而造成的, 这应引起同学们的足够重视. 10.【答案】D 【解析】 解:①AB=CD=5,ABCD :四边形ABCD为平行四边形 四边形ABDC的面积=2×5=10;故①正确 ②四边形ABDC是平行四边形, ∵A与D重合时, AC=CD 四边形ABDC是平行四边形, 四边形ABDC是菱形;故②正确; ③连结AD,如图, △ABC沿BC折叠得到△AB CA=CABD. AB=CD=AB 在△ACD和△ABD中 CA=BD CD=BA AD=AD △ACD≌△ABD(SSS) ∠3=∠4 又∵∠l=∠CBA=∠2, ∠1+∠2=∠3+∠4 ∠l=∠4 . ADBC ∠CAD+∠BCA=180°;故③3正确 ④设矩形的边长分别为a,b 当∠CBD=90 四边形ABDC是平行四边形, ∠BCA=90° ∴S△ACB=S△ABC=×2×5= 第10页,共21页
第 10 页，共 21 页 由于我们的目的是求 a 的取值范围，根据方程的解列出关于 a 的不等式，另外， 解答本题时，易漏掉 a≠-2，这是因为忽略了 x-1≠0 这个隐含的条件而造成的， 这应引起同学们的足够重视． 10.【答案】D 【解析】 解：①∵AB=CD=5，AB∥CD， ∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∴四边形 ABDC 的面积=2×5=10；故①正确； ②∵四边形 ABDC 是平行四边形， ∵A′与 D 重合时， ∴AC=CD， ∵四边形 ABDC 是平行四边形， ∴四边形 ABDC 是菱形；故②正确； ③连结 A′D，如图， ∵△ABC 沿 BC 折叠得到△A′BC， ∴CA′=CA=BD，AB=CD=A′B， 在△A′CD 和△A′BD 中 ， ∴△A′CD≌△A′BD（SSS）， ∴∠3=∠4， 又∵∠1=∠CBA=∠2， ∴∠1+∠2=∠3+∠4， ∴∠1=∠4， ∴A′D∥BC， ∴∠CA′D+∠BCA′=180°；故③正确； ④设矩形的边长分别为 a，b， 当∠CBD=90°， ∵四边形 ABDC 是平行四边形， ∴∠BCA=90°， ∴S△A′CB=S△ABC= ×2×5=5