第18章平行四边形 、选择题(每小题4分共32分) 已知ABCD中,∠A+∠C=240°,则∠B的度数是( A.100° C.80° 2如图1,在四边形ABCD中AB∥CD要使四边形ABCD是平行四边形,下列选项中不能作 为添加条件的是() AAB=CD B BC=AD C.∠A=∠C D.BC∥AD 3如图2,在口ABCD中AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为 4如图3,ABCD中,∠B=110°,延长AD至点F,延长CD至点E,连结EF,则∠E+∠F的度 数为() C.50° D.70°
第 18 章 平行四边形 一、选择题(每小题 4 分,共 32 分) 1.已知▱ABCD 中,∠A+∠C=240°,则∠B 的度数是 ( ) A.100° B.60° C.80° D.160° 2.如图 1,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,要使四边形ABCD 是平行四边形,下列选项中不能作 为添加条件的是 ( ) A.AB=CD B.BC=AD C.∠A=∠C D.BC∥AD 图 1 图 2 3.如图 2,在▱ABCD 中,AD=2AB,CE 平分∠BCD 交 AD 边于点 E,且 AE=3,则 AB 的长为 ( ) A.4 B.3 C. 5 2 D.2 4.如图 3,▱ABCD 中,∠B=110°,延长 AD 至点 F,延长 CD 至点 E,连结 EF,则∠E+∠F 的度 数为 ( ) A.110° B.30° C.50° D.70° 图 3 图 4
5如图4所示,ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为EF,图中全等三角形有() 2对 B.3对 C.4对 D.5对 6如图5在ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E,F, 连结CE若ABCD的周长为16,则△CDE的周长是() C.8 D.6图5 7在ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,若AC=10,BD=14,则AB的取值范围是 2<AB<12 B.10<AB<12 5<AB<7 D.4<AB<24 8如图6所示四边形ABCD中AB=CD,对角线AC,BD相交于点OAE⊥BD于点ECF⊥ BD于点F,连结AFCE若DE=BF,则下列结论①CF=AE②OE=OF,③四边 ABCD是平行四边形;④图中共有四对全等三角形其中正确结论的个数是 图6 填空题(每小题4分,共24分) 9在四边形ABCD中,已知AB=CDAD=BCAC,BD相交于点O若AC=6,则AO的长等 10.如图7,直线a∥b,点A,B位于直线a上,点CD位于直线b上,且AB:CD=1:2.若△ABC 的面积为6,则△BCD的面积为 图7 图8
5.如图 4 所示,▱ABCD 中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为 E,F,图中全等三角形有 ( ) A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 6.如图 5,在▱ABCD 中,对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD,BC 于点 E,F, 连结 CE.若▱ABCD 的周长为 16,则△CDE 的周长是( ) A.16 B.10 C.8 D.6 图 5 7.在▱ABCD 中,对角线 AC 和 BD 相交于点 O,若 AC=10,BD=14,则 AB 的取值范围是 ( ) A.2<AB<12 B.10<AB<12 C.5<AB<7 D.4<AB<24 8.如图 6 所示,四边形 ABCD 中,AB=CD,对角线 AC,BD 相交于点 O,AE⊥BD 于点 E,CF⊥ BD 于点 F,连结 AF,CE.若 DE=BF,则下列结论:①CF=AE;②OE=OF;③四边 形ABCD是平行四边形;④图中共有四对全等三角形.其中正确结论的个数是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 图 6 二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 9.在四边形 ABCD 中,已知 AB=CD,AD=BC,AC,BD 相交于点 O.若 AC=6,则 AO 的长等 于 . 10.如图7,直线a∥b,点A,B 位于直线a上,点C,D位于直线b上,且AB∶CD=1∶2.若△ABC 的面积为 6,则△BCD 的面积为 . 图 7 图 8
1l0如图8, PABCD中,DB=DC,∠C=70°,AE⊥BD于点E,则∠DAE= 12如图9,BCD中EF分别为ADBC边上的点若再增加一个条件_就可推得 BE=DE 图 图10 13.如图10,在ABCD中,点E在CD的延长线上,AE∥BD,EC=4,则AB的长是 图 14如图11,在Rt△ABC中,∠B=90°B=3,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线的所有 ADCE中DE的最小值是 三、解答题(共44分) 15(8分)如图12,在ABCD中EF分别是ABDC的中点 求证:∠DEA=∠BFC 图12
11.如图 8,▱ABCD 中,DB=DC,∠C=70°,AE⊥BD 于点 E,则∠DAE= °. 12.如图 9,▱ABCD 中,E,F 分别为 AD,BC 边上的点,若再增加一个条件 ,就可推得 BE=DF. 图 9 图 10 13.如图 10,在▱ABCD 中,点 E 在 CD 的延长线上,AE∥BD,EC=4,则 AB 的长是 . 图 11 14.如图 11,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点 D 在 BC 上,以 AC 为对角线的所有▱ ADCE 中,DE 的最小值是 . 三、解答题(共 44 分) 15.(8 分)如图 12,在▱ABCD 中,E,F 分别是 AB,DC 的中点. 求证:∠DEA=∠BFC. 图 12
6(10分)如图13,在ABCD中,EF分别是边AD,BC的中点求证:BE=DF 图13 17.(12分)如图14,四边形ABCD中AB∥CDBC⊥CD,E是AD的中点连结BE并延长交 CD的延长线于点E (1)若连结AF,BD,试判断四边形ABDF是何种特殊四边形并说明理由 (2)若AB=4,BC=5,CD=6,求△BCF的面积 18(14分)如图15,已知△ABC中AB=AC,D为△ABC所在平面内的一点过点D作DE∥ AB,DF∥AC分别交直线AC,直线AB于点EF (1)如图①当点D在线段BC上时通过观察分析线段DE,DFAB之间的数量关系并说明 理由; (2)如图②当点D在直线BC上其他条件不变时试猜想线段DEDF,AB之间的数量关系
16.(10 分)如图 13,在▱ABCD 中,E,F 分别是边 AD,BC 的中点.求证:BE=DF. 图 13 17.(12 分)如图 14,四边形 ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,E 是 AD 的中点,连结 BE 并延长交 CD 的延长线于点 F. (1)若连结 AF,BD,试判断四边形 ABDF 是何种特殊四边形,并说明理由; (2)若 AB=4,BC=5,CD=6,求△BCF 的面积. 图 14 18.(14 分)如图 15,已知△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 所在平面内的一点,过点 D 作 DE∥ AB,DF∥AC 分别交直线 AC,直线 AB 于点 E,F. (1)如图①,当点 D 在线段 BC 上时,通过观察分析线段 DE,DF,AB 之间的数量关系,并说明 理由; (2)如图②,当点 D 在直线 BC 上,其他条件不变时,试猜想线段 DE,DF,AB 之间的数量关系
(请直接写出等式不需证明) (3)如图③若D是△ABC内一点过点D作GE∥AB,DF∥AC分别交直线AC、直线BC 和直线AB于点E,G和F试猜想线段DE,DF,DG与AB之间的数量关系(请直接写出等式不需 证明) △x 图
(请直接写出等式,不需证明); (3)如图③,若 D 是△ABC 内一点,过点 D 作 GE∥AB,DF∥AC 分别交直线 AC、直线 BC 和直线 AB 于点 E,G 和 F.试猜想线段 DE,DF,DG 与 AB 之间的数量关系(请直接写出等式,不需 证明). 图 15
详解详析 1.[解析]B:四边形ABCD是平行四边形,∠A=∠CAD∥BC,∴∠A+∠B=1800:∠ A+∠C=240°,:∠A=120°∴∠B=180°∠A=60° 2[答案]B 3.[答案]B 4.[解析]D因为四边形ABCD是平行四边形,∠B=110°,所以∠ADC=∠B=110°,则∠ FDC=70°由三角形外角的关系,知∠FDC=∠E+∠F,所以∠E+∠F=70 5[答案]B 6.解析]C:对付角线AC的垂直平分线交AD于点E,∴AE=CE.:四边形ABCD是平行 四边形,∴AD=BC,DC=AB, DC+AD=8,∴ CDE =DE+EC+CD=DE+EA+DC=DA+DC=8.故选C 7.[解析]A设AB=x:四边形ABCD是平行四边形,AC=10,BD=14 O4=OC=5,OD=OB=7在△OAB中,OB-OA<x<OB+OA,7-5<x<7+5,2<x<12故选A 8[答案]B 9.[答案]3 [解析]在四边形ABCD中AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.:AC=6 AO=AC=×6=3 10.[答案]12 [解析]过点C作CM⊥AB于点M过点B作BN⊥CD于点N.:a∥b,:CM=BN而S△ ABC=BCMS△BCD=2CD·BN,…S△ABC:S△BCD=AB:CD=1:2.:△ABC的面积为6,△BCD 的面积为12 11答案]20
详解详析 1.[解析] B ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠C,AD∥BC,∴∠A+∠B=180°.∵∠ A+∠C=240°,∴∠A=120°,∴∠B=180°-∠A=60°. 2.[答案] B 3.[答案] B 4.[解析] D 因为四边形 ABCD 是平行四边形,∠B=110°,所以∠ADC=∠B=110°,则∠ FDC=70°.由三角形外角的关系,知∠FDC=∠E+∠F,所以∠E+∠F=70°. 5.[答案] B 6.[解析] C ∵对角线 AC 的垂直平分线交 AD 于点 E,∴AE=CE.∵四边形 ABCD 是平行 四边形 , ∴ AD=BC,DC=AB, ∴ DC+AD=8, ∴ △ CDE 的 周 长 =DE+EC+CD=DE+EA+DC=DA+DC=8.故选 C. 7.[ 解 析 ] A 设 AB=x. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ,AC=10,BD=14, ∴ OA=OC=5,OD=OB=7.在△OAB 中,OB-OA<x<OB+OA,∴7-5<x<7+5,∴2<x<12.故选 A. 8.[答案] B 9.[答案] 3 [解析] ∵在四边形 ABCD 中,AB=CD,AD=BC,∴四边形 ABCD 是平行四边形.∵AC=6,∴ AO=1 2 AC=1 2 ×6=3. 10.[答案] 12 [解析] 过点 C 作 CM⊥AB 于点 M,过点 B 作 BN⊥CD 于点 N.∵a∥b,∴CM=BN.而 S△ ABC= 1 2 AB·CM,S△BCD= 1 2 CD·BN,∴S△ABC∶S△BCD=AB∶CD=1∶2.∵△ABC 的面积为 6,∴△BCD 的面积为 12. 11.[答案] 20
[解析]:DB=DC,∴:∠DBC=∠C=70°.:四边形ABCD是平行四边形,AD∥BC,∴∠ ADB=∠DBC=70°.∴:AE⊥BD,∴∠AED=90°,∠DAE=90°-70°=20° 12.[答案]答案不唯一,如AE=CF或∠AEB=∠CFD或∠ABE=∠CDF等 13.[答案]2 [解析]:四边形ABCD是平行四边形, AB∥CDAB=CD.∴点E在CD的延长线上,∴AB∥ED.又:AE∥BD,四边形ABDE是 平行四边形,AB=ED,∴AB=ED=DC=EC=2 14.[答案]3 [解析]:四边形ADCE是平行四边形, OD=OE. OA=OC 当OD取最小值时线段DE最短,此时BC⊥DE B⊥BC ,AB∥DE 又∵AE∥BC ∴四边形ABDE是平行四边形 ∴DE=AB=3 15.证明::四边形ABCD是平行四边形 AB=DC,∠A=∠C,AD=CB 又:E,F分别是ABDC的中点 AE=CF 在△ADE和△CBF中
[解析] ∵DB=DC,∴∠DBC=∠C=70°.∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ ADB=∠DBC=70°.∵AE⊥BD,∴∠AED=90°,∴∠DAE=90°-70°=20°. 12.[答案] 答案不唯一,如 AE=CF 或∠AEB=∠CFD 或∠ABE=∠CDF 等 13.[答案] 2 [解析] ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD.∵点 E 在 CD 的延长线上,∴AB∥ED.又∵AE∥BD,∴四边形ABDE 是 平行四边形,∴AB=ED,∴AB=ED=DC=1 2 EC=2. 14.[答案] 3 [解析] ∵四边形 ADCE 是平行四边形, ∴OD=OE,OA=OC, ∴当 OD 取最小值时,线段 DE 最短,此时 BC⊥DE. ∵AB⊥BC, ∴AB∥DE. 又∵AE∥BC, ∴四边形 ABDE 是平行四边形, ∴DE=AB=3. 15.证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB=DC,∠A=∠C,AD=CB. 又∵E,F 分别是 AB,DC 的中点, ∴AE=CF. 在△ADE 和△CBF 中
AE=CF,∠A=∠CAD=CB △ADE≌△CBF ∠DEA=∠BFC. 16.证明:四边形ABCD是平行四边形 AD∥BCAD=BC E,F分别是边AD,BC的中点 DE=AD BF=BC ∴DE=BF,四边形BFDE是平行四边形, ∴BE=DF 17.解:(1)如图所示 四边形ABDF是平行四边形理由如下 AB∥CD.∴:∠BAD=∠FDE E是AD的中点,AE=DE 在△ABE和△DFE中 ∠BAD=∠FDE,AE=DE,∠AEB=∠DEF △ABE≌△DFE,∴BE=FE, 四边形ABDF是平行四边形 (2)由(1)知△ABE≌△DFE.又:BC⊥CD, △BCF的面积=梯形ABCD的面积=(AB+CD)·BC=×(4+6)×5=25 18.解:(1)DE+DF=AB
∵AE=CF,∠A=∠C,AD=CB, ∴△ADE≌△CBF, ∴∠DEA=∠BFC. 16.证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC. ∵E,F 分别是边 AD,BC 的中点, ∴DE=1 2 AD,BF=1 2 BC, ∴DE=BF,∴四边形 BFDE 是平行四边形, ∴BE=DF. 17.解:(1)如图所示: 四边形 ABDF 是平行四边形.理由如下: ∵AB∥CD,∴∠BAD=∠FDE. ∵E 是 AD 的中点,∴AE=DE. 在△ABE 和△DFE 中, ∵∠BAD=∠FDE,AE=DE,∠AEB=∠DEF, ∴△ABE≌△DFE,∴BE=FE, ∴四边形 ABDF 是平行四边形. (2)由(1)知△ABE≌△DFE.又∵BC⊥CD, ∴△BCF 的面积=梯形 ABCD 的面积= 1 2 (AB+CD)·BC=1 2 ×(4+6)×5=25. 18.解:(1)DE+DF=AB
理由如下:∴DE∥AB,DF∥AC, 四边形AEDF是平行四边形,∴DE=AF DF∥AC∴:∠FDB=∠C AB=AC.∴:∠C=∠B ∠FDB=∠B,∴DF=FB DE+DF=AF+FB=AB (2)当点D在直线BC上时分三种情况: ①当点D在CB的延长线上时,如图 (a), AB=DE-DF, 图(b) 2当点D在线段BC上时AB=DE+DF, ③当点D在BC的延长线上时如图(b)AB=DF-DE (3)AB=DE+DG+DE
理由如下:∵DE∥AB,DF∥AC, ∴四边形 AEDF 是平行四边形,∴DE=AF. ∵DF∥AC,∴∠FDB=∠C. ∵AB=AC,∴∠C=∠B, ∴∠FDB=∠B,∴DF=FB, ∴DE+DF=AF+FB=AB. (2)当点 D 在直线 BC 上时,分三种情况: ①当点 D 在 CB 的延长线上时,如图 (a),AB=DE-DF; ②当点 D 在线段 BC 上时,AB=DE+DF; ③当点 D 在 BC 的延长线上时,如图(b),AB=DF-DE. (3)AB=DE+DG+DF