专题训练(八)矩形的折叠问题 类型一沿矩形对角线所在直线对折 1如图1,已知矩形ABCD将△BCD沿对角线BD折叠,记点C的对应点为点C若∠ADC=20° 求∠BDC的度数 图1 2如图2,将矩形ABCD沿对角线AC对折,使△ABC落在△AEC的位置,且CE与AD相交于点 E求证:EF=DF 图2 3如图3,在矩形纸片ABCD中AB=8cm把矩形纸片沿对角线AC折叠,使点B落在点E处AE
专题训练(八) 矩形的折叠问题 类型一 沿矩形对角线所在直线对折 1.如图 1,已知矩形 ABCD,将△BCD 沿对角线 BD 折叠,记点 C 的对应点为点 C'.若∠ADC'=20°, 求∠BDC 的度数. 图 1 2.如图 2,将矩形 ABCD 沿对角线 AC 对折,使△ABC 落在△AEC 的位置,且 CE 与 AD 相交于点 F.求证:EF=DF. 图 2 3.如图 3,在矩形纸片 ABCD 中,AB=8 cm,把矩形纸片沿对角线 AC 折叠,使点 B 落在点 E 处,AE
交DC于点F,若AF=cm,求AD的长 图3 4如图4,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B的位置AB与CD相交于点E 若AB=8,DE=3P为线段AC上任意一点PG⊥AE于点GPH⊥EC于点H试求PG+PH的值 并说明它是定值 C B 类型二沿仅过矩形一个顶点的直线对折 5如图5,在矩形纸片ABCD中AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合折痕为DG 求AG的长
交 DC 于点 F,若 AF=25 4 cm,求 AD 的长. 图 3 4.如图 4,将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠,使点 B 落在点 B'的位置,AB'与 CD 相交于点 E. 若 AB=8,DE=3,P 为线段 AC 上任意一点,PG⊥AE 于点 G,PH⊥EC 于点 H,试求 PG+PH 的值, 并说明它是定值. 图 4 类型二 沿仅过矩形一个顶点的直线对折 5.如图 5,在矩形纸片 ABCD 中,AB=4,AD=3,折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合,折痕为 DG, 求 AG 的长
6如图6,折叠矩形ABCD,使顶点D与BC边上的点F重合如果AB=6,AD=10,求BF,DE的长 DEC 图6 如图7,将矩形ABCD沿直线AE折叠顶点D恰好落在BC边上的点F处,已知CE=3cm,AB=8 cm,求图中阴影部分的面积 DEc 图7
图 5 6.如图 6,折叠矩形 ABCD,使顶点 D 与 BC 边上的点 F 重合.如果 AB=6,AD=10,求 BF,DE 的长. 图 6 7.如图7,将矩形ABCD沿直线AE 折叠,顶点D恰好落在BC边上的点F 处,已知CE=3 cm,AB=8 cm,求图中阴影部分的面积. 图 7
8如图8将一张矩形纸片ABCD沿CF折叠使点D与AB的中点E重合求AF:FD的值 类型三沿矩形对角线的垂直平分线对折 把一张矩形纸片ABCD按图9所示方式折叠,使点B和点D重合折痕为EF若AB=3cm,BC=5 cm,求重叠部分△DEF的面积 A- B 10.如图10,在矩形ABCD中,沿EF将矩形折叠使AC两点重合点D落在点G处 (1)求证:△ABE≌△AGF (2)若AB=6,BC=8,求△ABE的面积
8.如图 8,将一张矩形纸片 ABCD 沿 CF 折叠,使点 D 与 AB 的中点 E 重合,求 AF∶FD 的值. 图 8 类型三 沿矩形对角线的垂直平分线对折 9.把一张矩形纸片ABCD按图9所示方式折叠,使点B 和点D重合,折痕为EF.若AB=3 cm,BC=5 cm,求重叠部分△DEF 的面积. 图 9 10.如图 10,在矩形 ABCD 中,沿 EF 将矩形折叠,使 A,C 两点重合,点 D 落在点 G 处. (1)求证:△ABE≌△AGF; (2)若 AB=6,BC=8,求△ABE 的面积
BLk…C 1l0如图11将矩形纸片ABCD沿EF折叠使点A与点C重合点D落在点G处,EF为折痕 (1)求证:△FGC≌△EBC (2)若AB=8,AD=4,求四边形ECGF(阴影部分)的面积
图 10 11.如图 11,将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠,使点 A 与点 C 重合,点 D 落在点 G 处,EF 为折痕. (1)求证:△FGC≌△EBC; (2)若 AB=8,AD=4,求四边形 ECGF(阴影部分)的面积. 图 11
答案 解:设AD与BC相交于点G 四边形ABCD为矩形, ∠A=∠C=90 又∴∠C=∠C=90°,∠AGB=∠CGD ∴∠ABC=∠ADC'=20 由折叠的性质可知∠DBC=∠DBC"=(90°20°)=35°, ∴∠BDC=90°35°=55° 2证明:由折叠和矩形的性质可知∠D=∠B=∠E,AE=AB=CD ∠E=∠D 在△AEF和△CDF中∠AFE=∠CFD AE= CD ∴△AEF≌△CDF(AAS.),EF=DF 解由折叠和矩形的性质可知∠EAC=∠BAC=∠DCA,则AF=CF已知AB=8cm4F4cm,根 据矩形的性质可知DF=cm由∠D=90°在Rt△ADF中根据勾股定理得AD=AF2-DF2=6cm 4解如图,延长HP交AB于点M,则PM⊥AB C 由折叠的性质可知∠1=∠2又:PG⊥AB, PM=PG CD∥AB,∴:∠2=∠3
答案 1.解:设 AD 与 BC'相交于点 G. ∵四边形 ABCD 为矩形, ∴∠A=∠C=90°. 又∵∠C'=∠C=90°,∠AGB=∠C'GD, ∴∠ABC'=∠ADC'=20°. 由折叠的性质可知∠DBC=∠DBC'=1 2 (90°-20°)=35°, ∴∠BDC=90°-35°=55°. 2.证明:由折叠和矩形的性质可知∠D=∠B=∠E,AE=AB=CD. 在△AEF 和△CDF 中,{ ∠𝐸 = ∠𝐷, ∠𝐴𝐹𝐸 = ∠𝐶𝐹𝐷, 𝐴𝐸 = 𝐶𝐷, ∴△AEF≌△CDF(A.A.S.),∴EF=DF. 3.解:由折叠和矩形的性质可知∠EAC=∠BAC=∠DCA,则 AF=CF.已知 AB=8 cm,AF=25 4 cm,根 据矩形的性质可知 DF=7 4 cm.由∠D=90°,在 Rt△ADF 中,根据勾股定理,得 AD=√𝐴𝐹2-𝐷𝐹2=6 cm. 4.解:如图,延长 HP 交 AB 于点 M,则 PM⊥AB. 由折叠的性质可知∠1=∠2.又∵PG⊥AB', ∴PM=PG. ∵CD∥AB,∴∠2=∠3
∴∠1=∠3 :AE=CE=8-3=5 在Rt△ADE中,DE=3 ∴AD=52-32=4 PH+PM=AD.:PG+PH=AD=4 AD边的长是固定不变的, ∴PG+PH是定值 5解在矩形ABCD中,AB=4AD=3,:BD=V42+32=5由折叠的性质,得△ADG≌△ADG, ∴AG=AG,AD=AD=3, ∴AB=5-3=2,BG=4AG 在Rt△ABG中,BG2=AG2+AB2, 即(4AG)2=AG2+2 解得AG=,∴AG=AG 6解设DE=x,则EC=CDx 在矩形ABCD中AB=6AD=10 .BC=AD=10. CD=AB=6 AE为折痕 ∴AF=AD=10,EF=DE=x 在Rt△ABF中 BF=VAF2-ABz=102-62=8 ∴FC=10-8=2
∴∠1=∠3, ∴AE=CE=8-3=5. 在 Rt△ADE 中,DE=3, ∴AD=√5 2-3 2=4. ∵PH+PM=AD,∴PG+PH=AD=4. ∵AD 边的长是固定不变的, ∴PG+PH 是定值. 5.解:在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=3,∴BD=√4 2 + 3 2=5.由折叠的性质,得△ADG≌△A'DG, ∴A'G=AG,A'D=AD=3, ∴A'B=5-3=2,BG=4-AG. 在 Rt△A'BG 中,BG2=A'G2+A'B2 , 即(4-AG) 2=A'G2+2 2 , 解得 A'G=3 2 ,∴AG=A'G=3 2 . 6.解:设 DE=x,则 EC=CD-x. ∵在矩形 ABCD 中,AB=6,AD=10, ∴BC=AD=10,CD=AB=6. ∵AE 为折痕, ∴AF=AD=10,EF=DE=x. 在 Rt△ABF 中, BF=√𝐴𝐹2-𝐴𝐵2=√10 2-6 2=8, ∴FC=10-8=2
在R△EFC中,EF2=FC2+EC2, 即x2=2+(6x),解得x=0 故BF的长为8,DE的长为 7解由已知得EF=DE=5cm,根据矩形的性质,得∠C=90 在Rt△EFC中由勾股定理得CF=4cm设BF=xcm,则AF=AD=BC=(x+4)cm 在Rt△ABF中由勾股定理得82+x2=(x+4)2,解得x=6,即BF=6cm 故阴影部分的面积=BF·AB12CF·CE=×6×8+2×4x3=30cm2) 解:设AF=a,FD=b,AB=C,则EF=FD=b由折叠的性质得△EFC≌△DFC, 所以S矩形ACD=S△EF+S△BC+2S△DFC 即ca+b)=ac+(a+b)+be, 整理得2a=b,所以a:b=1:2. 即AFFD=1:2 解:由折叠的性质可得AB′=AB=3AE=AE在R△ADE中由勾股定理得AD2+AE2=DE.又 AE+DE=AD,可设DE=xcm,则AE=AE=AD-DE=(5x)m,列方程得32+(5-x)2=x2,解得x=3.4 即DE=34cm,所以S△B=DE·AB+×34×3=5.1(cm2) 10.解(1)证明:∴四边形ABCD是矩形, AD∥BC.∠AFE=∠FEC 又∠AFE=∠F ∴∠AFE=∠AEF,:AE=AF 由折叠的性质得AG=CD=AB
在 Rt△EFC 中,EF2=FC2+EC2 , 即 x 2=2 2+(6-x) 2 ,解得 x= 10 3 . 故 BF 的长为 8,DE 的长为10 3 . 7.解:由已知,得 EF=DE=5 cm,根据矩形的性质,得∠C=90°. 在 Rt△EFC 中,由勾股定理,得 CF=4 cm.设 BF=x cm,则 AF=AD=BC=(x+4)cm. 在 Rt△ABF 中,由勾股定理,得 8 2+x2=(x+4)2 ,解得 x=6,即 BF=6 cm. 故阴影部分的面积= 1 2 BF·AB+1 2 CF·CE=1 2 ×6×8+ 1 2 ×4×3=30(cm2 ). 8.解:设 AF=a,FD=b,AB=c,则 EF=FD=b.由折叠的性质得△EFC≌△DFC, 所以 S 矩形 ABCD=S△AEF+S△BEC+2S△DFC, 即 c(a+b)= 1 4 ac+1 4 c(a+b)+bc, 整理得 2a=b,所以 a∶b=1∶2. 即 AF∶FD=1∶2. 9.解:由折叠的性质可得 A'B'=AB=3,A'E=AE.在 Rt△A'DE 中,由勾股定理得 A'D2+A'E2=DE2 .又 ∵AE+DE=AD,可设 DE=x cm,则 A'E=AE=AD-DE=(5-x)cm,列方程得 3 2+(5-x) 2=x2 ,解得 x=3.4, 即 DE=3.4 cm,所以 S△DEF= 1 2 DE·AB=1 2 ×3.4×3=5.1(cm2 ). 10.解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD∥BC,∠AFE=∠FEC. 又∵∠AFE=∠FEC, ∴∠AFE=∠AEF,∴AE=AF. 由折叠的性质,得 AG=CD=AB
∠G=∠D=∠B=90° 在R△ABE和△AGF中{AE =AG ∴Rt△ABE≌Rt△AGF (2)根据折叠的性质可得AE=EC 设BE=x,则AE=EC=8-x 在Rt△ABE中根据勾股定理可得62+x2=(8-x)2, 解得x—即BE 则S=4B·BE=×62 ll解(1)证明:四边形ABCD是矩形 AB∥CD,∴∠CFE=∠FEA 又∵∠CEF=∠FEA,∴∠CEF=∠CFE ∴EC=FC 由折叠的性质,得GC=AD=BC,∠G=∠D=∠B=90° 在Rt△FGC和Rt△EBC中,FC=ECGC=BC,Rt△FGC≌Rt△EBC (2)由(1)知,DF=GF=BE,∴四边形ECGF的面积-四边形AEFD的面积A+DhA2ABAD-16
∠G=∠D=∠B=90°, 在 Rt△ABE 和△AGF 中,{ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐺, 𝐴𝐸 = 𝐴𝐹, ∴Rt△ABE≌Rt△AGF. (2)根据折叠的性质可得 AE=EC. 设 BE=x,则 AE=EC=8-x. 在 Rt△ABE 中,根据勾股定理可得 6 2+x2=(8-x) 2 , 解得 x= 7 4 ,即 BE=7 4 , 则 S△ABE= 1 2 AB·BE=1 2 ×6× 7 4 = 21 4 . 11.解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AB∥CD,∴∠CFE=∠FEA. 又∵∠CEF=∠FEA,∴∠CEF=∠CFE, ∴EC=FC. 由折叠的性质,得 GC=AD=BC,∠G=∠D=∠B=90°. 在 Rt△FGC 和 Rt△EBC 中,FC=EC,GC=BC,∴Rt△FGC≌Rt△EBC. (2)由(1)知,DF=GF=BE,∴四边形 ECGF 的面积=四边形 AEFD 的面积= (𝐴𝐸+𝐷𝐹)·𝐴𝐷 2 = 𝐴𝐵·𝐴𝐷 2 =16