专题训练坐标与图形的变换(轴对称、 与旋转)常见类型 类型一坐标与图形的轴对称变换 如图1所示△ABC和△ABC关于直线BC对称,其中点A的对应点是A,A(3,6)A3,0,△ABC 内部的点M4,4)的对应点是N4,2) (1)你知道它们的对应点的坐标有什么关系吗? (2)如果△ABC内有一点P(xy),那么在△ABC内点P的对应点P的坐标是什么? 2如图2,在平面直角坐标系xOy中,每个小方格的边长均为1.已知点A(-2,3),B(-60)C(-1,0) (1)请在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C,并求出△A1BC1的面积; (2)写出点A1,B1的坐标A (3)若△DBC与△ABC全等,则点D的坐标为 图2
专题训练 坐标与图形的变换(轴对称、 与旋转)常见类型 类型一 坐标与图形的轴对称变换 1.如图 1 所示,△ABC 和△A'BC 关于直线BC 对称,其中点 A 的对应点是 A',A(3,6),A'(3,0),△ABC 内部的点 M(4,4)的对应点是 N(4,2). (1)你知道它们的对应点的坐标有什么关系吗? (2)如果△ABC 内有一点 P(x,y),那么在△A'BC 内点 P 的对应点 P'的坐标是什么? 图 1 2.如图 2,在平面直角坐标系 xOy 中,每个小方格的边长均为 1.已知点 A(-2,3),B(-6,0),C(-1,0). (1)请在图中作出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1,并求出△A1B1C1 的面积; (2)写出点 A1,B1 的坐标:A1 , B1 ; (3)若△DBC 与△ABC 全等,则点 D 的坐标为 . 图 2
类型二坐标与图形的平移变换 3如图3,已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合,另两个顶点A,B的坐标分别为 10/3)现将该三角板向右平移使点A与点O重合得到△OCB;则点B的对应点B的坐 图3 A(1,0)B.(√3, D.(-1, 4如图4,已知点A(-4,-1)B(-5,-4),C(-1,-3),△ABC经过平移得到△ABC,△ABC中任意一点 P(xy)平移后的对应点为P(x1+6y+4) (1)请在图中作出△AB℃ (2)写出点A,B’C的坐标 ∏立345x 图4
类型二 坐标与图形的平移变换 3 如图 3,已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合,另两个顶点 A,B 的坐标分别为 (-1,0),(0,√3).现将该三角板向右平移使点 A 与点 O 重合,得到△OCB',则点 B 的对应点 B'的坐 标是 ( ) 图 3 A.(1,0) B.(√3, √3) C.(1, √3) D.(-1, √3) 4.如图 4,已知点 A(-4,-1),B(-5,-4),C(-1,-3),△ABC 经过平移得到△A'B'C',△ABC 中任意一点 P(x1,y1)平移后的对应点为 P'(x1+6,y1+4). (1)请在图中作出△A'B'C'; (2)写出点 A',B',C'的坐标. 图 4
类型三坐标与图形的旋转变换 5.如图5,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0,等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转 都可以得到△OBD 图 (1)若△AOC沿x轴向右平移得到△OBD,则平移的距离是 (2)若△AOC与△BOD关于某直线对称则对称轴是 (3)若△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB,则最小旋转角度是 6如图6,在平面直角坐标系中,R△ABC的三个顶点分别是A(-32)B(04)C(0,2) (1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1BC1,平移△BC,使点A2的 坐标为(0,-4),画出平移后对应的△A2B2C2 (2)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标 图6
类型三 坐标与图形的旋转变换 5.如图 5,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(-2,0),等边三角形 AOC 经过平移或轴对称或旋转 都可以得到△OBD. 图 5 (1)若△AOC 沿 x 轴向右平移得到△OBD,则平移的距离是 个单位; (2)若△AOC 与△BOD 关于某直线对称,则对称轴是 ; (3)若△AOC 绕原点 O 顺时针旋转得到△DOB,则最小旋转角度是 度. 6.如图 6,在平面直角坐标系中,Rt△ABC 的三个顶点分别是 A(-3,2),B(0,4),C(0,2). (1)将△ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180°,画出旋转后对应的△A1B1C1,平移△ABC,使点 A2 的 坐标为(0,-4),画出平移后对应的△A2B2C2; (2)若将△A1B1C1 绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标. 图 6
答案 解(1):点A的对应点是A’A(36)A130)△ABC内部的点M(44)的对应点是N(4,2)∴它们 的对应点的横坐标相等,纵坐标的和为6 (2)由(1)可知点P的坐标为(x,6-y) 解(1)如图所示,△A1BC1即为所求 工工丁y工工工 ÷- 上士士上上 △A1B1C1的面积为×5×3=75 (2)由图知,点A1的坐标为(2,3),点B1的坐标为6,0)故答案为(2,3)(6,0) (3)如图,点D的坐标为(-2,3)或(-5,-3)或(-5,3)故答案为(-2,-3)或(-5,-3)或(-5,3 3C[解析]因为点A与点O对应,点A-10)点O00所以图形向右平移1个单位, 所以点B的对应点B的坐标为(0+1,3即(1,3故选C 4解(1):△ABC中任意一点Px1y)严平移后的对应点为P(x1+6y+4) ∴平移规律为:向右平移6个单位,向上平移4个单位 △AB℃C如图所示
答案 1.解:(1)∵点 A 的对应点是 A',A(3,6),A'(3,0),△ABC 内部的点 M(4,4)的对应点是 N(4,2),∴它们 的对应点的横坐标相等,纵坐标的和为 6. (2)由(1)可知点 P'的坐标为(x,6-y). 2.解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求. △A1B1C1 的面积为1 2 ×5×3=7.5. (2)由图知,点 A1 的坐标为(2,3),点 B1 的坐标为(6,0).故答案为(2,3),(6,0). (3)如图,点 D 的坐标为(-2,-3)或(-5,-3)或(-5,3).故答案为(-2,-3)或(-5,-3)或(-5,3). 3.C [解析] 因为点 A 与点 O 对应,点 A(-1,0),点 O(0,0),所以图形向右平移 1 个单位, 所以点 B 的对应点 B'的坐标为(0+1,√3),即(1,√3).故选 C. 4.解:(1)∵△ABC 中任意一点 P(x1,y1)平移后的对应点为 P'(x1+6,y1+4), ∴平移规律为:向右平移 6 个单位,向上平移 4 个单位. △A'B'C'如图所示:
(2)A(2,3),B(1,0),C(5,1) 5(1)2(2)y轴(3)120 6解(1)△A1B1C1和△A2B2C2如图所示 -4 (2)旋转中心的坐标为
(2)A'(2,3),B'(1,0),C'(5,1). 5.(1)2 (2)y 轴 (3)120 6.解:(1)△A1B1C1 和△A2B2C2 如图所示. (2)旋转中心的坐标为 3 2 ,-1
专题训练求一次函数表达式 常用的五种方法 方法一利用一次函数的定义求表达式 1.已知函数y=(m-3)xm3+3是关于x的一次函数,求其函数表达式 方法二利用待定系数法求表达式 2已知一次函数的图象经过A(-2,-3)B(0,3)两点 (1)求这个一次函数的表达式 (2)试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上 方法三利用一次函数的图象求表达式 3随着地球上的水资源日益枯竭,各级政府越来越重视节约用水某市市民生活用水按“阶梯水 价”的方式进行收费,人均月生活用水收费标准如图5-ZT-1所示图中x(吨)表示人均月生活用 水的吨数(元)表示收取的人均月生活用水费请根据图象信息,回答下列问题 (1)该市人均月生活用水的收费标准是不超过5吨每吨按_元收取;超过5吨的部分, 每吨按 元收取;
专题训练 求一次函数表达式 常用的五种方法 方法一 利用一次函数的定义求表达式 1.已知函数 y=(m-3)𝑥 𝑚2 -8+3 是关于 x 的一次函数,求其函数表达式. 方法二 利用待定系数法求表达式 2.已知一次函数的图象经过 A(-2,-3),B(0,3)两点. (1)求这个一次函数的表达式; (2)试判断点 P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上. 方法三 利用一次函数的图象求表达式 3.随着地球上的水资源日益枯竭,各级政府越来越重视节约用水.某市市民生活用水按“阶梯水 价”的方式进行收费,人均月生活用水收费标准如图 5-ZT-1 所示,图中 x(吨)表示人均月生活用 水的吨数,y(元)表示收取的人均月生活用水费.请根据图象信息,回答下列问题: (1)该市人均月生活用水的收费标准是:不超过 5 吨,每吨按 元收取;超过 5 吨的部分, 每吨按 元收取;
(2)当x>5时,求y与x之间的函数表达式 (3)若某个家庭有5人,五月份的生活用水费共76元则该家庭这个月用了多少吨生活用水? 0x(吨) 图5-ZI-1 方法四利用图形的平移求表达式 把直线y=3x向上平移后得到直线AB,直线AB经过点m,n),且3m+n=10,则直线AB的函数 表达式为() Ay=3x-5B.y=3x-10 C.y=3x+5D.y=-3x+10 5把直线y=2x向上平移后得到直线AB,若直线AB经过点(mn),且2m+n=8,求直线AB的函数 表达式
(2)当 x>5 时,求 y 与 x 之间的函数表达式; (3)若某个家庭有 5 人,五月份的生活用水费共 76 元,则该家庭这个月用了多少吨生活用水? 图 5-ZT-1 方法四 利用图形的平移求表达式 4.把直线 y=-3x 向上平移后得到直线 AB,直线 AB 经过点(m,n),且 3m+n=10,则直线 AB 的函数 表达式为 ( ) A.y=-3x-5 B.y=-3x-10 C.y=-3x+5 D.y=-3x+10 5.把直线 y=-2x 向上平移后得到直线 AB,若直线 AB 经过点(m,n),且 2m+n=8,求直线 AB 的函数 表达式
方法五利用图形的对称性求表达式 6已知直线y=2x+1 (1)求该直线与y轴的交点A的坐标 (2)若直线y=kx+b与该直线关于y轴对称求k和b的值
方法五 利用图形的对称性求表达式 6.已知直线 y=2x+1. (1)求该直线与 y 轴的交点 A 的坐标; (2)若直线 y=kx+b 与该直线关于 y 轴对称,求 k 和 b 的值
答案 1解由一次函数的定义知m2-8=1且m-3≠0,∴m=3, ∴次函数的表达式为y=6x+3 2k+b=-3 2解(1)设所求函数的表达式为y=kx+b,把A(-2,3)B(03)代入 所求函数表达式为y=3x+3 (2)因为当x=1时y=3×(-1)+3=0≠1,所以点P(-1,1)不在这个一次函数的图象上 3解(1)该市人均月生活用水的收费标准是不超过5吨每吨按16元收取超过5吨的部分每 吨按24元收取 (2)当x>5时,设y=kx+b(k≠0),将(5,8)(1020代入,得 (5k+b=8 10k+b=20 解8( 与x之间的函数表达式为y-3 (3)38.:该家庭人均月生活用水超过5吨故把y=代入y=2x-4,得4-2 解得x=8,5×8=40(吨 答该家庭这个月用了40吨生活用水 4.D 5解设直线AB的函数表达式为y=-2x+b, 把点(m,n)代入并整理,得b=2m+n, y=2x+(2m+n) 2m+n=8 2x+8
答案 1.解:由一次函数的定义知 m2 -8=1 且 m-3≠0,∴m=-3, ∴一次函数的表达式为 y=-6x+3. 2.解:(1)设所求函数的表达式为 y=kx+b,把 A(-2,-3),B(0,3)代入,得{ -2𝑘 + 𝑏 = -3, 𝑏 = 3, 解得{ 𝑘 = 3, 𝑏 = 3, 故 所求函数表达式为 y=3x+3. (2)因为当 x=-1 时,y=3×(-1)+3=0≠1,所以点 P(-1,1)不在这个一次函数的图象上. 3.解:(1)该市人均月生活用水的收费标准是:不超过 5 吨,每吨按 1.6 元收取;超过 5 吨的部分,每 吨按 2.4 元收取. (2)当 x>5 时,设 y=kx+b(k≠0),将(5,8),(10,20)代入,得 { 5𝑘 + 𝑏 = 8, 10𝑘 + 𝑏 = 20, 解得{ 𝑘 = 12 5 , 𝑏 = -4, ∴y 与 x 之间的函数表达式为 y= 12 5 x-4. (3)76 5 >8,∴该家庭人均月生活用水超过 5 吨.故把 y= 76 5 代入 y= 12 5 x-4,得 12 5 x-4= 76 5 , 解得 x=8,5×8=40(吨). 答:该家庭这个月用了 40 吨生活用水. 4.D 5.解:设直线 AB 的函数表达式为 y=-2x+b, 把点(m,n)代入并整理,得 b=2m+n, ∴y=-2x+(2m+n). ∵2m+n=8, ∴y=-2x+8
即直线AB的函数表达式为y=2x+8 6解(1)令x=0y=2×0+1=1,故该直线与y轴的交点A的坐标为(O,1) (2):直线y=kx+b与直线y=2x+1关于y轴对称,…两直线的交点为A(0,1)…b=1 在直线y=2x+1上取一点B(1,3) 则点B关于y轴的对称点B(-1,3)在直线y=kx+b上,∴3=k+1,k=2 专题训练一次函数与反比例函数综合 类型一探求图象的交点坐标 如图1,已知直线y=kx与反比例函数y=坐的图象交于MN两点若点M的坐标是(1,2) 点N的坐标是() 图
即直线 AB 的函数表达式为 y=-2x+8. 6.解:(1)令 x=0,y=2×0+1=1,故该直线与 y 轴的交点 A 的坐标为(0,1). (2)∵直线 y=kx+b 与直线 y=2x+1 关于 y 轴对称,∴两直线的交点为 A(0,1),∴b=1. 在直线 y=2x+1 上取一点 B(1,3), 则点 B 关于 y 轴的对称点 B'(-1,3)在直线 y=kx+b 上,∴3=-k+1,∴k=-2. 专题训练 一次函数与反比例函数综合 类型一 探求图象的交点坐标 1.[ 如图 1,已知直线 y=k1x 与反比例函数 y= 𝑘2 𝑥 的图象交于 M,N 两点.若点 M 的坐标是(1,2),则 点 N 的坐标是 ( ) 图 1