专题训练(一)分式及其运算常见六种易错 易错点一对概念理解不透出错 1思考是分式还是整式?小李是这样想的因为=a2÷a=a,而a是一个整式所以是一个整 式,你认为他的想法正确吗?为什么? 易错点二混淆“或”与“且”而出错 2下面是小刚解答“当x为何值时分式x+x有意义”的过程由分母(x+3(x2)0 或x=2,所以当x≠-3或x≠2时,分式 (x+3)(x-2) 有意义你认为小刚的解答正确吗?为什么? 易错点三随意约分出错 3小明解答题目“当x为何值时分式上2生有意义”的过程如 解因为22x+2所以当分母x≠0时原分式有意义
专题训练(一) 分式及其运算常见六种易错 易错点一 对概念理解不透出错 1.思考: 𝑎 2 𝑎 是分式还是整式?小李是这样想的:因为𝑎 2 𝑎 =a2÷a=a,而 a 是一个整式,所以𝑎 2 𝑎 是一个整 式,你认为他的想法正确吗?为什么? 易错点二 混淆“或”与“且”而出错 2.下面是小刚解答“当 x 为何值时,分式 1 (𝑥+3)(𝑥-2) 有意义”的过程:由分母(x+3)(x-2)=0 得 x=-3 或 x=2,所以当 x≠-3 或 x≠2 时,分式 1 (𝑥+3)(𝑥-2)有意义.你认为小刚的解答正确吗?为什么? 易错点三 随意约分出错 3.小明解答题目“当 x 为何值时,分式 𝑥 2 -4 𝑥(𝑥+2)有意义”的过程如下: 解:因为 𝑥 2 -4 𝑥(𝑥+2) = (𝑥-2)(𝑥+2) 𝑥(𝑥+2) = 𝑥-2 𝑥 ,所以当分母 x≠0 时,原分式有意义
他的解法对吗?如果对,请说明理由;如果不对,请改正 易错点四结果不是最简分式出错 4.下面是小华计算2+2的过程 原式 (m+3)(m-3)m-3 (m+3(m-3) 2m+6 他的解法正确吗?如果正确,请说明每一步的依据如果不正确,请说明理由并改正
他的解法对吗?如果对,请说明理由;如果不对,请改正. 易错点四 结果不是最简分式出错 4.下面是小华计算 12 𝑚2-9 + 2 3-𝑚的过程: 原式= 12 (𝑚+3)(𝑚-3) - 2 𝑚-3 = 12-2(𝑚+3) (𝑚+3)(𝑚-3) = -2𝑚+6 (𝑚+3)(𝑚-3) =- 2𝑚-6 𝑚2-9 . 他的解法正确吗?如果正确,请说明每一步的依据;如果不正确,请说明理由并改正
易错点五对通分理解不清楚出错 5嘉淇同学计算a+2+时,是这样做的 a+2+2n第一步 =(2+a(2-a)+a2第二步 =2-a2+a2第三步 =2.第四步 (1)嘉淇的做法从第 步开始出现错误,正确的计算结果应是 )计算 易错点六忽视隐含条件出错 6先化简 x2+2xx2+4x+4x 再选取一个适当的x的值代入求值
易错点五 对通分理解不清楚出错 5.嘉淇同学计算 a+2+ 𝑎 2 2-𝑎时,是这样做的: a+2+ 𝑎 2 2-𝑎 =2+a+𝑎 2 2-𝑎 第一步 =(2+a)(2-a)+a2 第二步 =2-a 2+a2 第三步 =2. 第四步 (1)嘉淇的做法从第 步开始出现错误,正确的计算结果应是 ; (2)计算: 𝑥 2 𝑥-1 -x-1. 易错点六 忽视隐含条件出错 6.先化简: 𝑥-2 𝑥 2+2𝑥 - 𝑥-1 𝑥 2+4𝑥+4 ÷ 4-𝑥 𝑥 ,再选取一个适当的 x 的值代入求值
答案 解:小李的想法不正确理由:判断一个代数式是不是分式,不能从原式化简后的结果来判断 而只需看原式的“本来面目”是否符合分式的定义即可因为二的分母含有字母因此它是分式 而不是整式 2解小刚的解答不正确理由因为“或”表示选择关系,“且”表示并列关系本题x=3或x=2 都能使(x+3)(x-2)=0成立但满足(x+3)(x-2)≠0的x的值应为x≠-3且x≠2,所以小刚的解答不 正确,正确答案应为x≠-3且x≠2 3解他的解法不对错在先约分再求x的取值范围改正由分母x(x+2)≠0,得x≠0且x≠-2,所 以当x≠0且x≠-2时,原分式有意义 解:他的解法不正确. 理由:最后的结果没有化简 改正:原式 (m+3(m-3)m-3(m+3 5解(1)a+2+a (a+2)2a)a2 嘉淇的做法从第二步开始出现错误正确的计算结果应是 故答案为:二 x2(x-1Xx+1)x2-x2+1 6解原式
答案 1.解:小李的想法不正确.理由:判断一个代数式是不是分式,不能从原式化简后的结果来判断, 而只需看原式的“本来面目”是否符合分式的定义即可.因为𝑎 2 𝑎 的分母含有字母,因此它是分式, 而不是整式. 2.解:小刚的解答不正确.理由:因为“或”表示选择关系,“且”表示并列关系,本题 x=-3 或 x=2 都能使(x+3)(x-2)=0 成立,但满足(x+3)(x-2)≠0 的 x 的值应为 x≠-3 且 x≠2,所以小刚的解答不 正确,正确答案应为 x≠-3 且 x≠2. 3.解:他的解法不对,错在先约分再求 x 的取值范围.改正:由分母 x(x+2)≠0,得 x≠0 且 x≠-2,所 以当 x≠0 且 x≠-2 时,原分式有意义. 4 解:他的解法不正确. 理由:最后的结果没有化简. 改正:原式= 12 (𝑚+3)(𝑚-3) - 2 𝑚-3 = 12-2(𝑚+3) (𝑚+3)(𝑚-3) = -2𝑚+6 (𝑚+3)(𝑚-3) =- 2 𝑚+3 . 5.解:(1)a+2+ 𝑎 2 2-𝑎 = (𝑎+2)(2-𝑎) 2-𝑎 + 𝑎 2 2-𝑎 = 4-𝑎 2+𝑎 2 2-𝑎 = 4 2-𝑎 , 嘉淇的做法从第二步开始出现错误,正确的计算结果应是 4 2-𝑎 . 故答案为:二, 4 2-𝑎 . (2) 𝑥 2 𝑥-1 -x-1= 𝑥 2 𝑥-1 - (𝑥-1)(𝑥+1) 𝑥-1 = 𝑥 2 -𝑥 2+1 𝑥-1 = 1 𝑥-1 . 6.解:原式=[ 𝑥-2 𝑥(𝑥+2) - 𝑥-1 (𝑥+2) 2 ]× 𝑥 4-𝑥
x+2 选取的x值的不唯一,合理即可如当x=1时,原式=1 专题训练(二)分式的化简求值 类型一化简后直接代入求值 先化简,再求值 其中x 2先化简再求值如2+1m1m其中m
= 𝑥 2 -4-𝑥 2+𝑥 𝑥(𝑥+2) 2 × 𝑥 4-𝑥 = 𝑥-4 𝑥(𝑥+2) 2× 𝑥 4-𝑥 = -1 (𝑥+2) 2. 选取的 x 值的不唯一,合理即可.如当 x=1 时,原式=- 1 9 . 专题训练(二) 分式的化简求值 类型一 化简后直接代入求值 1. 先化简,再求值: 𝑥 𝑥-1 -1 ÷ 𝑥 2+2𝑥+1 𝑥 2-1 ,其中 x=2. 2.先化简,再求值: 𝑚2 -2𝑚+1 𝑚2-1 ÷ m-1- 𝑚-1 𝑚+1 ,其中 m= 1 2
类型二化简后整体代入求值 3已知2b-5(ab求bb的值 4先化简再求值2x1+x2其中x满足x2x-2=0 类型三化简后自选数代入求值 5先化简下列式子,再从-1,2,3,4中选一个合适的数作为x的值代入求值 x2.2x4 4x+4x-2
类型二 化简后整体代入求值 3.已知1 𝑎 + 1 𝑏 =√5(a≠b),求 𝑎 𝑏(𝑎-𝑏) - 𝑏 𝑎(𝑎-𝑏) 的值. 4.先化简,再求值: 𝑥-1 𝑥 - 𝑥-2 𝑥+1 ÷ 2𝑥 2 -𝑥 𝑥 2+2𝑥+1 ,其中 x 满足 x 2 -2x-2=0. 类型三 化简后自选数代入求值 5.先化简下列式子,再从-1,2,3,4 中选一个合适的数作为 x 的值代入求值. 𝑥 2 -2𝑥 𝑥 2-4𝑥+4 - 4 𝑥-2 ÷ 𝑥-4 𝑥 2-4
6化简代数式再从不等式组(24123x+1的解集中取一个合适的整数 值代入,求出代数式的值 类型四分式化简说理题 7有这样一道题“化简m3m”小华说“不论m取何值这个题目的结果都是一样的” 他说得对吗?谈谈你的看法
6. 化简代数式: 3𝑥 𝑥-1 - 𝑥 𝑥+1 ÷ 𝑥 𝑥 2-1 ,再从不等式组{ 𝑥-2(𝑥-1) ≥ 1, 6𝑥 + 10 > 3𝑥 + 1 的解集中取一个合适的整数 值代入,求出代数式的值. 类型四 分式化简说理题 7.有这样一道题“化简 : : 𝑚 𝑚+3 + 6 𝑚2-9 ÷ 2 𝑚-3 .”小华说“不论 : m 取何值,这个题目的结果都是一样的.” 他说得对吗?谈谈你的看法
答案 1解原式=x+1.+1x 当x=2时,原式 解原式=(mm1m+m12m1·=m=m1 原式==2 3解:+-5=5, b a b: b5 i ba.5 a-b atbolab-b)atb-v5 4解原式1212 x+1 x(x+1)x(x+1)(x+1)x(x+1)x(2x-1)x x2-2x-2=0 则原式 5解:原式 2x-2≠0.x-4≠0 ∴x≠2且x≠4 ∴x只能选-1和3,当x=-1时,原式=-1+2=1.当x=3时,原式=3+2=5(选-1或3均可) 6解原式xxx×x=3(x+1)(x-1)=2x+4
答案 1.解:原式= 𝑥-𝑥+1 𝑥-1 · (𝑥+1)(𝑥-1) (𝑥+1) 2 = 1 𝑥+1 . 当 x=2 时,原式= 1 3 . 2.解:原式= (𝑚-1) 2 (𝑚+1)(𝑚-1) ÷ (𝑚-1)(𝑚+1)-(𝑚-1) 𝑚+1 = 𝑚-1 𝑚+1· 𝑚+1 𝑚2-𝑚 = 𝑚-1 𝑚2-𝑚 = 𝑚-1 𝑚(𝑚-1) = 1 𝑚 . 当 m= 1 2时,原式= 1 1 2 =2. 3.解:∵ 1 𝑎 + 1 𝑏 =√5,∴ 𝑎+𝑏 𝑎𝑏 =√5, ∴ 𝑎 𝑏(𝑎-𝑏) - 𝑏 𝑎(𝑎-𝑏) = 𝑎 2 𝑎𝑏(𝑎-𝑏) - 𝑏 2 𝑎𝑏(𝑎-𝑏) = 𝑎 2 -𝑏 2 𝑎𝑏(𝑎-𝑏) = (𝑎+𝑏)(𝑎-𝑏) 𝑎𝑏(𝑎-𝑏) = 𝑎+𝑏 𝑎𝑏 =√5. 4.解:原式= 𝑥 2 -1 𝑥(𝑥+1) - 𝑥 2 -2𝑥 𝑥(𝑥+1) ÷ 𝑥(2𝑥-1) (𝑥+1) 2= 2𝑥-1 𝑥(𝑥+1)· (𝑥+1) 2 𝑥(2𝑥-1) = 𝑥+1 𝑥 2 . ∵x 2 -2x-2=0, ∴x 2=2x+2=2(x+1), 则原式= 𝑥+1 2(𝑥+1) = 1 2 . 5.解:原式= 𝑥(𝑥-2) (𝑥-2) 2- 4 𝑥-2 ÷ 𝑥-4 𝑥 2-4 = 𝑥 𝑥-2 - 4 𝑥-2 ÷ 𝑥-4 𝑥 2-4 = 𝑥-4 𝑥-2· (𝑥-2)(𝑥+2) 𝑥-4 =x+2. ∵x-2≠0,x-4≠0, ∴x≠2 且 x≠4, ∴x 只能选-1 和 3,当 x=-1 时,原式=-1+2=1.当 x=3 时,原式=3+2=5.(选-1 或 3 均可) 6.解:原式= 3𝑥 𝑥-1 × 𝑥 2 -1 𝑥 - 𝑥 𝑥+1 × 𝑥 2 -1 𝑥 =3(x+1)-(x-1)=2x+4
x-2(x-1)≥1,① 6x+10>3x+1,② 解得x≤1 解②得x>-3 故不等式组的解集为-3<x≤1,不等式组的整数解为x=2,x=1,x=0x=1.由题目可得x≠-1,1,0, 故x只能取-2 把x=2代入,得原式=0 7解小华说得对理由 m+3m2-9m-3 n+3(m+3)m-3) m号1 因为结果等于1,所以不论m取何值,这个题目的结果都是一样的
{ 𝑥-2(𝑥-1) ≥ 1,① 6𝑥 + 10 > 3𝑥 + 1,② 解①,得 x≤1, 解②,得 x>-3, 故不等式组的解集为-3<x≤1,不等式组的整数解为 x=-2,x=-1,x=0,x=1.由题目可得,x≠-1,1,0, 故 x 只能取-2. 把 x=-2 代入,得原式=0. 7.解:小华说得对.理由: 𝑚 𝑚+3 + 6 𝑚2-9 ÷ 2 𝑚-3 = 𝑚 𝑚+3 + 6 (𝑚+3)(𝑚-3)· 𝑚-3 2 = 𝑚+3 𝑚+3 =1. 因为结果等于 1,所以不论 m 取何值,这个题目的结果都是一样的
专题训练(三)可化为一元一次方程的 分式方程的应用 类型一行程问题 1.从徐州到南京可乘列车A或列车B,已知徐州至南京的里程约为350km,列车A与列车B 的平均速度之比为10:7,列车A的行驶时间比列车B少1h那么两车的平均速度分别为多少? 2班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动,基地离学校有90千米,队 伍8:00从学校出发苏老师因有事情,8:30从学校自驾小车以大巴车1.5倍的速度追赶,追上大 巴车后继续前行,结果比队伍提前15分钟到达基地问 (1)大巴车与小车的平均速度各是多少? (2)苏老师追上大巴车的地点到基地的路程有多远? 类型二工程问题 3.为落实党中央“长江大保护”新发展理念,我市持续推进长江岸线保护,还洞庭湖和长江水 清岸绿的自然生态原貌某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除,回
专题训练(三) 可化为一元一次方程的 分式方程的应用 类型一 行程问题 1. 从徐州到南京可乘列车 A 或列车 B,已知徐州至南京的里程约为 350 km,列车 A 与列车 B 的平均速度之比为10∶7,列车A的行驶时间比列车B少1 h,那么两车的平均速度分别为多少? 2.班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动,基地离学校有 90 千米,队 伍 8:00 从学校出发.苏老师因有事情,8:30 从学校自驾小车以大巴车 1.5 倍的速度追赶,追上大 巴车后继续前行,结果比队伍提前 15 分钟到达基地.问: (1)大巴车与小车的平均速度各是多少? (2)苏老师追上大巴车的地点到基地的路程有多远? 类型二 工程问题 3. 为落实党中央“长江大保护”新发展理念,我市持续推进长江岸线保护,还洞庭湖和长江水 清岸绿的自然生态原貌.某工程队负责对一面积为 33000 平方米的非法砂石码头进行拆除,回