解题技巧专题:反比例函数与一次函数的综合问题 ◆类型一同一坐标系中判断图象 1.(绥化中考)当k>0时,反比例函数y=-和一次函数y=kx+2的图象大致是( B 2.如图,在同一直角坐标系中表示函数y=一和y=mx+n(m≠0,n≠0)的图象正确的 是() A D ◆类型二利用反比例函数图象和一次函数的交点求解 3.已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点坐标为(1,3) 另一个交点坐标是 4.(青海中考)如图,直线y=x与双曲线y=-在第一象限的交点为A(2,m),则k= 第4题图 第5题图 5.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+2与反比例函数y=-的图象有唯一公共 点,若直线 +b与反比例函数y=-的图象没有公共点,则b的取值范围是 6.(襄阳中考)如图,直线y=ax+b与反比例函数y=-(x>0)的图象交于A(1,4)、B(4, n)两点,与x轴、y轴分别交于C、D两点. _:若M(x,n),M(x,y)是反比例函数图象上两点,且 0”) 2)若线段D上的点P到x轴、y轴的距离相等,求点P的坐标
1 解题技巧专题：反比例函数与一次函数的综合问题 ◆类型一 同一坐标系中判断图象 1．(绥化中考)当 k＞0 时，反比例函数 y＝ k x 和一次函数 y＝kx＋2 的图象大致是( ) 2．如图，在同一直角坐标系中表示函数 y＝ mn x 和 y＝mx＋n(m≠0，n≠0)的图象正确的 是( ) ◆类型二 利用反比例函数图象和一次函数的交点求解 3．已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点坐标为(1，3)，则 另一个交点坐标是________． 4．(青海中考)如图，直线 y＝ 1 2 x 与双曲线 y＝ k x 在第一象限的交点为 A(2，m)，则 k＝ ________． 第 4 题图 第 5 题图 5．如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝－x＋2 与反比例函数 y＝ 1 x 的图象有唯一公共 点，若直线 y＝－x＋b 与反比例函数 y＝ 1 x 的图象没有公共点，则 b 的取值范围是________． 6．(襄阳中考)如图，直线 y＝ax＋b 与反比例函数 y＝ m x (x＞0)的图象交于 A(1，4)、B(4， n)两点，与 x 轴、y 轴分别交于 C、D 两点． (1)m＝________，n＝________；若 M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函数图象上两点，且 0＜x1＜x2，则 y1________y2(填“＜”“＝”或“＞”)； (2)若线段 CD 上的点 P 到 x 轴、y 轴的距离相等，求点 P 的坐标．
DNA(1, 4 B(4,n) ◆类型三与图形面积相关的计算(含k的几何意义) 7.(江西中考)如图,直线1⊥x轴于点P,且与反比例函数=(>0)及=△(x>0) 的图象分别交于点A、B,连接OA、OB,已知△OAB的面积为2,则k一k2= 8.(甘孜州中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=-ax+b的图象与反比 例函数y=的图象相交于点A(-4,-2)、B(m,4),与y轴相交于点C (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)求点C的坐标及△AOB的面积 参考答案与解析 1.C2.A3.(-1,-3)4.25.-2解析:∵反比例函数y=2(x>0)的图象过点A(1,4),∴m=1×4
2 ◆类型三 与图形面积相关的计算(含 k 的几何意义) 7．(江西中考)如图，直线 l⊥x 轴于点 P，且与反比例函数 y1＝ k1 x (x>0)及 y2＝ k2 x (x＞0) 的图象分别交于点 A、B，连接 OA、OB，已知△OAB 的面积为 2，则 k1－k2＝________． 8．(甘孜州中考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝－ax＋b 的图象与反比 例函数 y＝ k x 的图象相交于点 A(－4，－2)、B(m，4)，与 y 轴相交于点 C. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求点 C 的坐标及△AOB 的面积． 参考答案与解析 1．C 2.A 3.(－1，－3) 4.2 5.－2＜b＜2 6．解：(1)4 1 > 解析：∵反比例函数 y＝ m x (x＞0)的图象过点 A(1，4)，∴m＝1×4
=4.∵点B(4,m在反比例函数y=的图象上,∴m=4n=4,解得n=1 在反比例函数y=-(x>0)中,m=4>0,∴当x>0时,y随x的增大而减小.∵0巧 (2)∵过C、D点的直线解析式为y=ax+b,直线CD过点A(1,4),B(4,1)两点 J4=a+b, emala 解得 =4a+b, b=5,∴直线CD的解析式为=-x+5.设点P的坐标为(t,-t+ 5)0≤≤5,|=1-+51,解得=2点P的坐标为2,2 7.4解析:∵反比例函数n=x(x>0)及=x(x>0)的图象均在第一象限内,… >0,k>0.∵4⊥x轴,∴Sm=2,Sm=k,5Sm=Sm-5m=2(A-6)=2,解得 8.解:(1)∵点A(-4,-2)在反比例函数y=的图象上,∴k=-4×(-2)=8,∴反 比例函数的表达式为y=-.∵点B(m,4)在反比例函数y=-的图象上,∴4m=8,解得m=2 ∴点B(2,4).将点A(-4,-2),B(2,4)代入y=-ax+b中 2=4a+b, 4=-2a+b, b=2, 一次函数的表达式为y=x+2. 2)在y=x+2中,令x=0,则y=2,∴点C的坐标为(0,2).,。10,(x-x) ×2×[2-(-4)]=6. 考点综合专题:特殊平行四边形中的综合性问题 ◆类型一特殊四边形中的最值问题 1.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点(且点P不与点B C重合),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,则EF的最小值为() A.4B.4.8
3 ＝4.∵点 B(4，n)在反比例函数 y＝ 4 x 的图象上，∴m＝4n＝4，解得 n＝1. ∵在反比例函数 y＝ 4 x (x＞0)中，m＝4＞0，∴当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小．∵0＜ x1＜x2，∴y1＞y2. (2)∵过 C、D 点的直线解析式为 y＝ax＋b，直线 CD 过点 A(1，4)，B(4，1)两点， ∴ 4＝a＋b， 1＝4a＋b， 解得 a＝－1， b＝5， ∴直线 CD 的解析式为 y＝－x＋5.设点 P 的坐标为(t，－t＋ 5)(0≤t≤5)，∴|t|＝|－t＋5|，解得 t＝ 5 2 .∴点 P 的坐标为 5 2 ， 5 2 . 7．4 解析：∵反比例函数 y1＝ k1 x (x＞0)及 y2＝ k2 x (x＞0)的图象均在第一象限内，∴k1 ＞0，k2＞0.∵AP⊥x 轴，∴S△OAP＝ 1 2 k1，S△OBP＝ 1 2 k2，S△OAB＝S△OAP－S△OBP＝ 1 2 (k1－k2)＝2，解得 k1－k2＝4. 8．解：(1)∵点 A(－4，－2)在反比例函数 y＝ k x 的图象上，∴k＝－4×(－2)＝8，∴反 比例函数的表达式为 y＝ 8 x .∵点 B(m，4)在反比例函数 y＝ 8 x 的图象上，∴4m＝8，解得 m＝2， ∴点 B(2，4)．将点 A(－4，－2)，B(2，4)代入 y＝－ax＋b 中，得 －2＝4a＋b， 4＝－2a＋b， 解得 a＝－1， b＝2， ∴一次函数的表达式为 y＝x＋2. (2)在 y＝x＋2 中，令 x＝0，则 y＝2，∴点 C 的坐标为(0，2)．∴S△AOB＝ 1 2 OC·(xB－xA) ＝ 1 2 ×2×[2－(－4)]＝6. 考点综合专题：特殊平行四边形中的综合性问题 ◆类型一 特殊四边形中的最值问题 1．如图，在△ABC 中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P 为边 BC 上一动点(且点 P 不与点 B、 C 重合)，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F，则 EF 的最小值为( ) A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
第1题图 第2题图 2.如图,MN是正方形ABCD的一条对称轴,点P是直线MN上的一个动点,当PC+PD 最小时,∠PCD的度数为【方法17】() C.45°D.75 3.如图,点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点,AB=6,AD=8,则PA+PC的最小 值为 第3题图 第4题图 ◆类型二四边形间的综合性问题 4.(台湾中考)如图,有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG,其中E点在AD上.若∠BCD =35°,∠AEF=15°,则∠B的度数为( A.50°B.55° C.70°D.75° 5.(达州中考)如图,在ABCD中,已知ADAB (1)实践与操作:作∠BAD的平分线交BC于点E,在A上截取AF=AB,连接EF(要求: 尺规作图,保留作图痕迹,不写作法): (2)猜想并证明:猜想四边形ABEF的形状,并给予证明 6.★如图,以△ABC的三边为边,在BC边的同侧作等边△BDA,△BCE,△FAC (1)求证:四边形AFE是平行四边形; (2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFED是矩形?说明理由; 3)当△ABC满足什么条件时,四边形AFED是正方形?说明理由 (4)当△ABC满足什么条件时,四边形AFED不存在?
4 第 1 题图 第 2 题图 2．如图，MN 是正方形 ABCD 的一条对称轴，点 P 是直线 MN 上的一个动点，当 PC＋PD 最小时，∠PCD 的度数为【方法 17】( ) A．60° B．90° C．45° D．75° 3．如图，点 P 是矩形 ABCD 对角线 BD 上的一个动点，AB＝6，AD＝8，则 PA＋PC 的最小 值为________． 第 3 题图 第 4 题图 ◆类型二 四边形间的综合性问题 4．(台湾中考)如图，有一平行四边形 ABCD 与一正方形 CEFG，其中 E 点在 AD 上．若∠ECD ＝35°，∠AEF＝15°，则∠B 的度数为( ) A．50° B．55° C．70° D．75° 5．(达州中考)如图，在▱ABCD 中，已知 AD＞AB. (1)实践与操作：作∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，在 AD 上截取 AF＝AB，连接 EF(要求： 尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)猜想并证明：猜想四边形 ABEF 的形状，并给予证明． 6．★如图，以△ABC 的三边为边，在 BC 边的同侧作等边△BDA，△BCE，△FAC. （1）求证：四边形AFED是平行四边形； (2)当△ABC 满足什么条件时，四边形 AFED 是矩形？说明理由； (3)当△ABC 满足什么条件时，四边形 AFED 是正方形？说明理由； (4)当△ABC 满足什么条件时，四边形 AFED 不存在？
◆类型三特殊平行四边形的动态探究问题 7.如图,F是正方形ABCD的边CD上的一个动点,BF的垂直平分线交对角线AC于点E, 连接B,FE,则∠EBF的度数是( A.45°B.50 C.60°D.不确定 题 第8题图 8.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,正方形EFO绕点O旋转,若两正方形的 边长相等,则两正方形的重合部分的面积【方法17】( A.由小变大 B.由大变小 C.始终不变 D.先由大变小,后由小变大 9.(眉山校级期中)如图①,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿着B→C→D→A运 动到点A停止.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y与x的函数图象如图② 所示,则△ABC的周长为() 图① A.9B. C.12D.7 10.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边 上一动点(不与点A重合),连接M并延长交CD的延长线于点M,连接MD,AM.当AM为 时,四边形AMDV是矩形 11.★(选做)(临沂中考)如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别是边BC,AB上的点 且CE=BF.连接DE,过点E作EG⊥DE,使EG=DE,连接FG,FC (1)请判断:FG与CE的数量关系是 位置关系是 (2)如图②,若点E,F分别是边CB,BA延长线上的点,其他条件不变,(1)中结论是否 仍然成立?请作出判断并给予证明 (3)如图③,若点E,F分别是边BC,AB延长线上的点,其他条件不变,(1)中结论是否 仍然成立?请直接写出你的判断
5 ◆类型三 特殊平行四边形的动态探究问题 7．如图，F 是正方形 ABCD 的边 CD 上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线 AC 于点 E， 连接 BE，FE，则∠EBF 的度数是( ) A．45° B．50° C．60° D．不确定 第 7 题图 第 8 题图 8．如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，正方形 EFGO 绕点 O 旋转，若两正方形的 边长相等，则两正方形的重合部分的面积【方法 17】( ) A．由小变大 B．由大变小 C．始终不变 D．先由大变小，后由小变大 9．(眉山校级期中)如图①，在矩形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿着 B→C→D→A 运 动到点 A 停止．设点 P 运动的路程为 x，△ABP 的面积为 y，如果 y 与 x 的函数图象如图② 所示，则△ABC 的周长为( ) A．9 B．6 C．12 D．7 10．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝2，∠DAB＝60°，点 E 是 AD 边的中点，点 M 是 AB 边 上一动点(不与点A重合)，连接ME并延长交CD的延长线于点N，连接MD，AN.当AM为________ 时，四边形 AMDN 是矩形． 11．★(选做)(临沂中考)如图①，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 BC，AB 上的点， 且 CE＝BF.连接 DE，过点 E 作 EG⊥DE，使 EG＝DE，连接 FG，FC. (1)请判断：FG 与 CE 的数量关系是__________，位置关系是________； (2)如图②，若点 E，F 分别是边 CB，BA 延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否 仍然成立？请作出判断并给予证明； (3)如图③，若点 E，F 分别是边 BC，AB 延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否 仍然成立？请直接写出你的判断．
图① 图② 图③ 参考答案和解析 1.B解析:如图,连接PA.∵在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,∴B=AB+AC, ∠BAC=90°.又∵PE⊥AB于点 AC于点F ∴∠AEP=∠AFP=90°,∴四边形PEAF是矩形 B∴当最小时,B也最小,当P1CB时,最小.24B·AC=2BCB 即A=0…C=6×8=4.,:线段EF的最小值为48.故选B 2.C解析:作出D点关于M的对称点,正好是A点,此时PC+PD=PC+PA,连接 当点P为AC与MV的交点时,PC+PD的值最小.∵AC为正方形对角线,根据正方形的性质 易知∠PCD=45°.故选C. M 3.104.C 5.解:(1)如图所示
6 参考答案和解析 1．B 解析：如图，连接 PA.∵在△ABC 中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴BC 2＝AB 2＋AC 2， ∴∠BAC＝90°.又∵PE⊥AB 于点 E，PF⊥AC 于点 F， ∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形 PEAF 是矩形， ∴AP＝EF，∴当 PA 最小时，EF 也最小，当 AP⊥CB 时，PA 最小．∵ 1 2 AB·AC＝ 1 2 BC·AP， 即 AP＝ AB·AC BC ＝ 6×8 10 ＝4.8，∴线段 EF 的最小值为 4.8.故选 B. 2．C 解析：作出 D 点关于 MN 的对称点，正好是 A 点，此时 PC＋PD＝PC＋PA，连接 AC， 当点 P 为 AC 与 MN 的交点时，PC＋PD 的值最小．∵AC 为正方形对角线，根据正方形的性质 易知∠PCD＝45°.故选 C. 3．10 4.C 5．解：(1)如图所示．
2)四边形ABEF是菱形.证明如下:∵四边形ABD是平行四边形,∴AD∥BC∴∠DAE =∠ABR∵AE平分∠BAD,∴∠BE=∠DAE,∴∠BAE=∠AEB,∴BE=AB由(1)得AF=AB, ∴B=AF又∵B∥AF,∴四边形ABEF是平行四边形 ∴四边形ABEF是菱形 (1)证明:△ABD,△BCE,△FAC是等边三角形 C=BE,AC=AF,∠ABD ∠EBC=60°,∴∠DBE=∠ABC在△BDE和△BAC中,DB=AB,∠DBE=∠ABC,BE=BC, ∴△DBE△ABC(SAS),∴DE=AC,∴DE=AF同理可证DA=EF,∴四边形AFED是平行四边 形 (2)解:当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形AFED是矩形.理由如下:∵∠DAF=360 一∠DAB∠BAC-∠CAF=360°-60°-150°-60°=90°.又∵四边形AFED是平行四边 形,∴四边形AFED是矩形 (3)解:当△ABC是顶角为150°的等腰三角形时,四边形AFED是正方形.理由如下: 由(2)可知,当∠BAC=150°时,四边形AFED是矩形,∵AB=AC,∴AD=AF,∴四边形AFED 是正方形 (4)解:当△ABC满足∠BAC=60°时,∠DMF=180°,此时DA,F三点在同一条直线 上,以A,D,E,F为顶点的四边形就不存在 7.A解析:如图所示,过E作H∥BC,分别交AB,CD于点B,I,则∠BE=∠EIF =90°.∵E是BF的垂直平分线EM上的点,∴EF=BR∵E是∠BCD角平分线上一点,∴E 到BC和OD的距离相等,即m=EL.在Rt△BmE和Rt△m中,JB=BF lBH=EI ∴Rt△BE≌Rt△FEI(HL),∴∠HBE=∠IEF.∵∠BBE+∠BEB=90 ∠IEF+∠BEB= 90°,∴∠BEF=90°.∵BE=EF,∴∠EBF=∠EFB=45°.故选A. 8.C解析:如图,连接OB,OE与AB交于点M,GG与BC交于点M四边形ABCD和 EFCO是正方形,∴OB=OC,∠OBM=∠OCN=45°,∠BOC=∠EOG=90°,∴∠BOM=∠COM, △BOM△COM,∴S S△B,即两正方形的重合部分的面积始终不 变.故选C. 9.C解析:当点P运动到点C,D之间时,△ABP的面积不变.函数图象上横轴表示 点P运动的路程,x=3时,y开始不变,说明BC=3,当x=7时,接着变化,说明C=7 3=4.∵四边形ABCD为矩形,∴∠B=90°,AB=CD=4.连接AC,在Rt△ABC中,AC= √AB+BC=5,∴△ABC的周长为3+4+5=12故选C 10.1解析:易证四边形AMDN是平行四边形,当M=AD时,即AE=EM时,四边形 AMN是矩形.∵四边形ABCD为菱形,∴AD=AB=2,∴AE=1.又∴∠DAB=60°,∴△AEM 为等边三角形,∴AM=1,即当AM为1时,四边形AMDN是矩形 11.解:(1)FG=CEFG∥CE
7 (2)四边形 ABEF 是菱形．证明如下：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE ＝∠AEB.∵AE 平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB.由(1)得 AF＝AB， ∴BE＝AF.又∵BE∥AF，∴四边形 ABEF 是平行四边形．∵AF＝AB，∴四边形 ABEF 是菱形． 6．(1)证明：∵△ABD，△BCE，△FAC 是等边三角形，∴AB＝DB，BC＝BE，AC＝AF，∠ABD ＝∠EBC＝60°，∴∠DBE＝∠ABC.在△BDE 和△BAC 中，DB＝AB，∠DBE＝∠ABC，BE＝BC， ∴△DBE≌△ABC(SAS)，∴DE＝AC，∴DE＝AF.同理可证 DA＝EF，∴四边形 AFED 是平行四边 形． (2)解：当△ABC 满足∠BAC＝150°时，四边形 AFED 是矩形．理由如下：∵∠DAF＝360° －∠DAB－∠BAC－∠CAF＝360°－60°－150°－60°＝90°.又∵四边形 AFED 是平行四边 形，∴四边形 AFED 是矩形． (3)解：当△ABC 是顶角为 150°的等腰三角形时，四边形 AFED 是正方形．理由如下： 由(2)可知，当∠BAC＝150°时，四边形 AFED 是矩形，∵AB＝AC，∴AD＝AF，∴四边形 AFED 是正方形． (4)解：当△ABC 满足∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时 D，A，F 三点在同一条直线 上，以 A，D，E，F 为顶点的四边形就不存在． 7．A 解析：如图所示，过 E 作 HI∥BC，分别交 AB，CD 于点 H，I，则∠BHE＝∠EIF ＝90°.∵E 是 BF 的垂直平分线 EM 上的点，∴EF＝EB.∵E 是∠BCD 角平分线上一点，∴E 到 BC 和 CD 的 距 离 相 等 ， 即 BH ＝ EI. 在 Rt△BHE 和 Rt△FEI 中 ， BE＝EF， BH＝EI， ∴Rt△BHE≌Rt△FEI(HL)，∴∠HBE＝∠IEF.∵∠HBE＋∠HEB＝90°，∴∠IEF＋∠HEB＝ 90°，∴∠BEF＝90°.∵BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB＝45°.故选 A. 8．C 解析：如图，连接 OB，OE 与 AB 交于点 M，OG 与 BC 交于点 N.∵四边形 ABCD 和 EFGO 是正方形，∴OB＝OC，∠OBM＝∠OCN＝45°，∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BOM＝∠CON， ∴△BOM≌△CON，∴S△BOM＝S△CON，∴S 四边形 BNOM＝S△BOC，即两正方形的重合部分的面积始终不 变．故选 C. 9．C 解析：当点 P 运动到点 C，D 之间时，△ABP 的面积不变．函数图象上横轴表示 点 P 运动的路程，x＝3 时，y 开始不变，说明 BC＝3，当 x＝7 时，接着变化，说明 CD＝7 －3＝4.∵四边形 ABCD 为矩形，∴∠B＝90°，AB＝CD＝4.连接 AC，在 Rt△ABC 中，AC＝ AB 2＋BC 2＝5，∴△ABC 的周长为 3＋4＋5＝12.故选 C. 10．1 解析：易证四边形 AMDN 是平行四边形，当 MN＝AD 时，即 AE＝EM 时，四边形 AMDN 是矩形．∵四边形 ABCD 为菱形，∴AD＝AB＝2，∴AE＝1.又∵∠DAB＝60°，∴△AEM 为等边三角形，∴AM＝1，即当 AM 为 1 时，四边形 AMDN 是矩形． 11．解：(1)FG＝CE FG∥CE
(2)成立.证明如下:如图,过点G作GH⊥CB的延长线于点H,∵EG⊥DE,∴∠GEH+ ∠CED=90°.∴∵∠Ⅷ班+∠EE=90°,∴∠CE=∠ECE在△HGE与△CED中, ∠GHE=∠ECD, ∠BGE=∠CED,∴△HGB≌△ CED(AAS),∴GH=CE,B=CD∵CE=BF,∴GH=B∵GH∥BF, ∠H=90°,∴四边形GHBF是矩形,∴GF=BFG∥CH,∴FG∥CE.∵四边形ABCD是正方形, ∴CD=BC,∴∵BE=BC,∴E+EB=BC+EB,∴BH=CE,∴FG=CE ()成立.解析:∵四边形ABD是正方形,∴BC=CD,∠FBC=∠ECD=90°.在△CBF BF=CE, 与△DCE中,{∠BBC=∠ECD,∴△CBF≌△ DCE(SAS),∴∠BCF=∠CD,CF=DE∵EC=DE, BC=CD, ∵.CF=EG.∵DE⊥EG,∴∠DEC+∠CEG=90°.∵∠CDE+∠DEC=90 ∵.∠CDE=∠CEG, ∴∠BCF=∠CEG,∴CF∥EG,∴四边形CEGF是平行四边形 ∴FG∥CE,FG=CE. 思想方法专题:矩形中的折叠问题 体会折叠中的方程思想及数形结合思想 ◆类型一折叠中求角度 1.如图,将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠,使顶点C,D分别落在点C,D处,CE 交AF于点G,若∠CEF=70°,则∠GFD D E C 第1题图 第2题图 2.如图,数学兴趣小组开展以下折纸活动:(1)对折矩形ABCD,使AD和BC重合,得 到折痕EF,把纸片展平;(2)再一次折叠纸片,使点A落在E上,并使折痕经过点B得到 折痕BM,同时得到线段BM观察探究可以得到∠ABM的度数是() ◆类型二折叠中求线段长【方法17】 3.(黔南州期末)如图,把一张矩形的纸沿对角线B折叠,若AD=8,CE=3,则DE=
8 (2)成立．证明如下：如图，过点 G 作 GH⊥CB 的延长线于点 H，∵EG⊥DE，∴∠GEH＋ ∠CED ＝ 90°.∵∠GEH ＋ ∠HGE ＝ 90° ， ∴∠CED ＝ ∠HGE. 在 △HGE 与 △CED 中 ， ∠GHE＝∠ECD， ∠HGE＝∠CED， EG＝DE， ∴△HGE≌△CED(AAS)，∴GH＝CE，HE＝CD.∵CE＝BF，∴GH＝BF.∵GH∥BF， ∠H＝90°，∴四边形 GHBF 是矩形，∴GF＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE.∵四边形 ABCD 是正方形， ∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝CE，∴FG＝CE. (3)成立．解析：∵四边形 ABCD 是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°.在△CBF 与△DCE 中， BF＝CE， ∠FBC＝∠ECD， BC＝CD， ∴△CBF≌△DCE(SAS)，∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE.∵EG＝DE， ∴CF＝EG.∵DE⊥EG，∴∠DEC＋∠CEG＝90°.∵∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠CDE＝∠CEG， ∴∠BCF＝∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形 CEGF 是平行四边形， ∴FG∥CE，FG＝CE. 思想方法专题：矩形中的折叠问题 ——体会折叠中的方程思想及数形结合思想 ◆类型一 折叠中求角度 1．如图，将一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C，D 分别落在点 C′，D′处，C′E 交 AF 于点 G，若∠CEF＝70°，则∠GFD′＝________． 第 1 题图 第 2 题图 2．如图，数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形 ABCD，使 AD 和 BC 重合，得 到折痕 EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点 B，得到 折痕 BM，同时得到线段 BN.观察探究可以得到∠ABM 的度数是( ) A．25° B．30° C．36° D．45° ◆类型二 折叠中求线段长【方法 17】 3．(黔南州期末)如图，把一张矩形的纸沿对角线 BD 折叠，若 AD＝8，CE＝3，则 DE＝ ________．
A D CEB 第3题图 第4题图 4.如图,矩形ABC中,AB=5,BC=4,将矩形折叠,使得点B落在线段CD上的点F 处,则线段BE的长为 5.(威海中考)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿 AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为 g… 第5题图 第6题图 ◆类型三折叠中求面积 6.(桂林灌阳县期中)如图,在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,将△BCD沿对角线BD翻 折,点C落在点C处,BC交AD于点E,则△BDE的面积为() A.4B.4C.21D.24 7.如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上, 折痕为AE,再将△ADE沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为() C.2D.4 8.★(福州中考)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将△AOM沿直 线AM对折,得到△AMM (1)当AN平分∠MAB时,求DM的长(提示:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于 斜边的一半) (2)连接BM,当DM=1时,求△ABN的面积 备用图
9 第 3 题图 第 4 题图 4．如图，矩形 ABCD 中，AB＝5，BC＝4，将矩形折叠，使得点 B 落在线段 CD 上的点 F 处，则线段 BE 的长为________． 5．(威海中考)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，点 E 为 BC 的中点，将△ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，连接 CF，则 CF 的长为________． 第 5 题图 第 6 题图 ◆类型三 折叠中求面积 6．(桂林灌阳县期中)如图，在矩形 ABCD 中，BC＝8，CD＝6，将△BCD 沿对角线 BD 翻 折，点 C 落在点 C′处，BC 交 AD 于点 E，则△BDE 的面积为( ) A. 75 4 B. 21 4 C．21 D．24 7．如图，有一块矩形纸片 ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得 AD 边落在 AB 边上， 折痕为 AE，再将△ADE 沿 DE 向右翻折，AE 与 BC 的交点为 F，则△CEF 的面积为( ) A. 1 2 B. 9 8 C．2 D．4 8．★(福州中考)如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，M 是边 CD 上一点，将△ADM 沿直 线 AM 对折，得到△ANM. (1)当 AN 平分∠MAB 时，求 DM 的长(提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于 斜边的一半)； (2)连接 BN，当 DM＝1 时，求△ABN 的面积．
参考答案与解析 1.40°2.B3.5 4.2.5解析:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=90°.∵将矩形折叠,使得点B 落在线段CD上的点F处,∴AF=AB=5,AD=BC=4,EF=BF.在Rt△ADF中,由勾股定理 得DF=√AP-AD=3.在矩形ABCD中,∵DC=AB=5,∴CF=DC-DF=2.设BC=x,则EF= BE=4-x.在Rt△CEF中,CP+CP=BP,即x2+2=(4-x)2,解得x=1.5.∴BE=4-1.5 51 解析:连接B交AE于H,由折叠可知,AB=AF,∠BAE=∠FAE,∴A⊥BF,B mE:BC=6,点E为B的中点,BC=BE=.又:=,4=V+B=5:B5, 则 24 FE=BE=EC,∴∠EBF=∠EFB,∠EFC=∠ECF,∴∠BFC=∠BFE+∠CFE==×180° =90°,∴CF= 6324)218 6.A7.C 8.解:(1)由折叠得∠M/=∠DAM∵AN平分∠MAB,∠MN=∠MB,∴∠DAM=∠MN ∠MAB四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90 ∵.∠DAM=∠DAB=30°,∴DM=M设DM=x,则AM=2x,在Rt△ADM中,AD+DM M,即3+x=(2)3,解得x=√3,∴D= (2)如图,延长M交AB的延长线于点Q∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥DC,∴∠DMA ∠MAQ,由折叠得∠DM=∠AM,AN=AD=3,M=M=1,∴∠MQ=∠AM,∴M=AQ 设M=x,则AQ=M=MMQ=1+x.∵∠AM∠D=90°,∴∠AQ=90°.在Rt△A中, 由勾股定理得A=AN+N,∴(x+1)2=32+x2,解得x=4,∴MQ=4,AQ=5.∵△AB与 △A№在AB边上的高相等,AB=4,AQ=5,∴S△AD==S△M=×AN·N=×。×3×4=
10 参考答案与解析 1．40° 2.B 3.5 4．2.5 解析：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝∠D＝90°.∵将矩形折叠，使得点 B 落在线段 CD 上的点 F 处，∴AF＝AB＝5，AD＝BC＝4，EF＝BF.在 Rt△ADF 中，由勾股定理， 得 DF＝ AF 2－AD 2＝3.在矩形 ABCD 中，∵DC＝AB＝5，∴CF＝DC－DF＝2.设 EC＝x，则 EF＝ BE＝4－x.在 Rt△CEF 中，CE 2＋CF 2＝EF 2，即 x 2＋2 2＝(4－x) 2，解得 x＝1.5.∴BE＝4－1.5 ＝2.5. 5. 18 5 解析：连接 BF 交 AE 于 H，由折叠可知，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，∴AH⊥BF，BH ＝FH.∵BC＝6，点 E 为 BC 的中点，∴EC＝BE＝3.又∵AB＝4，∴AE＝ AB 2＋BE 2＝5.∴BH＝ 12 5 ， 则 BF＝ 24 5 . ∵FE＝BE＝EC，∴∠EBF＝∠EFB，∠EFC＝∠ECF，∴∠BFC＝∠BFE＋∠CFE＝ 1 2 ×180° ＝90°.∴CF＝ BC 2－BF 2＝ 6 2－ 24 5 2 ＝ 18 5 . 6．A 7.C 8．解：(1)由折叠得∠MAN＝∠DAM.∵AN 平分∠MAB，∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM＝∠MAN ＝∠NAB.∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠DAB＝90°， ∴∠DAM＝ 1 3 ∠DAB＝30°，∴DM＝ 1 2 AM.设 DM＝x，则 AM＝2x，在 Rt△ADM 中，AD 2＋DM 2 ＝AM 2，即 3 2＋x 2＝(2x) 2，解得 x＝ 3，∴DM＝ 3. (2)如图，延长 MN 交 AB 的延长线于点 Q，∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA ＝∠MAQ，由折叠得∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ. 设 NQ＝x，则 AQ＝MQ＝MN＋NQ＝1＋x.∵∠ANM＝∠D＝90°，∴∠ANQ＝90°.在 Rt△ANQ 中， 由勾股定理得 AQ 2＝AN 2＋NQ 2，∴(x＋1)2＝3 2＋x 2，解得 x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△ANB 与 △ANQ 在 AB 边上的高相等，AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB＝ 4 5 S△NAQ＝ 4 5 × 1 2 AN·NQ＝ 4 5 × 1 2 ×3×4＝ 24 5