第19章矩形、菱形与正方形 、选择题(每小题4分共20分) 如图答案1,菱形ABCD的对角线相交于点O若AC=8,BD=6,则菱形的周长为() A.40B.30C28D.20 2矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 A对边相等B对角相等 C.对角线相等D.对角线互相平分 图答案1 图答案2 3如图答案2在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=12,∠ACB=30°则AB的长 为() A.9B.6C.12D24 4如图答案3,在口ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F 若BF=12,AB=10,则AE的长为() A.10B.12C.16D.18 图答案3 图答案4
第 19 章 矩形、菱形与正方形 一、选择题(每小题 4 分,共 20 分) 1.如图答案 1,菱形 ABCD 的对角线相交于点 O,若 AC=8,BD=6,则菱形的周长为( ) A.40 B.30 C.28 D.20 2.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 ( ) A.对边相等 B.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 图答案 1 图答案 2 3.如图答案 2,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,BD=12,∠ACB=30°,则 AB 的长 为 ( ) A.9 B.6 C.12 D.24 4.如图答案 3,在▱ABCD 中,∠BAD 的平分线交 BC 于点 E,∠ABC 的平分线交 AD 于点 F. 若 BF=12,AB=10,则 AE 的长为 ( ) A.10 B.12 C.16 D.18 图答案 3 图答案 4
5如图答案4菱形ABOC中对角线OA在y轴的正半轴上且O=4,直线y3x+过点C 则菱形ABOC的面积是 B.4 、填空题(每小题5分,共25分) 6菱形ABCD中,∠A=60°,其周长为24cm,则菱形的面积为 7如图答案5在正方形ABCD中边长为1,对角线ACBD交于点OE是BC边上任意一点 过点E分别向BDAC作垂线垂足分别为F,G,则四边形OFEG的周长是 图 答案 图答案6 8如图答案6矩形OBCD的顶点C的坐标为(13)连结BD,则线段BD的长为 9如图答案7,菱形ABCD的面积为120cm2,正方形AECF的面积为50cm2,则菱形ABCD 的边长为 图答案7 图答案8 10.如图答案8,已知正方形ABCD的一条对角线长为10v2cm,矩形EFCG的3个顶点分 别在△BCD的边上,则矩形EFCG的周长是
5.如图答案 4,菱形 ABOC 中,对角线 OA 在 y 轴的正半轴上,且 OA=4,直线 y= 2 3 x+4 3 过点 C, 则菱形 ABOC 的面积是 ( ) A.8 B.4 C. 32 3 D. 16 3 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 6.菱形 ABCD 中,∠A=60°,其周长为 24 cm,则菱形的面积为 cm2 . 7.如图答案 5,在正方形 ABCD 中,边长为 1,对角线 AC,BD 交于点 O,E 是 BC 边上任意一点, 过点 E 分别向 BD,AC 作垂线,垂足分别为 F,G,则四边形 OFEG 的周长是 . 图答案 5 图答案 6 8.如图答案 6,矩形 OBCD 的顶点 C 的坐标为(1,3),连结 BD,则线段 BD 的长为 . 9.如图答案 7,菱形 ABCD 的面积为 120 cm2 ,正方形 AECF 的面积为 50 cm2 ,则菱形 ABCD 的边长为 cm. 图答案 7 图答案 8 10.如图答案 8,已知正方形 ABCD 的一条对角线长为 10√2 cm,矩形 EFCG 的 3 个顶点分 别在△BCD 的边上,则矩形 EFCG 的周长是
三、解答题(共55分) l1(10分)如图答案9,在矩形ABCD中,点E在AD上,且BE=BC (1)EC平分∠BED吗?证明你的结论 (2)若AB=1,∠ABE=45求BC的长 图答案 12(10分)在正方形ABCD中对角线BD所在的直线上有两点EF满足BE=DF,连结 AEAF,CECF,如图答案10所示 (1)求证:△ABE≌△ADF (2)试判断四边形AECF的形状并说明理由 图答案10
三、解答题(共 55 分) 11.(10 分)如图答案 9,在矩形 ABCD 中,点 E 在 AD 上,且 BE=BC. (1)EC 平分∠BED 吗?证明你的结论. (2)若 AB=1,∠ABE=45°,求 BC 的长. 图答案 9 12.(10 分)在正方形 ABCD 中,对角线 BD 所在的直线上有两点 E,F 满足 BE=DF,连结 AE,AF,CE,CF,如图答案 10 所示. (1)求证:△ABE≌△ADF; (2)试判断四边形 AECF 的形状,并说明理由. 图答案 10
13.(10分)如图答案11,正方形ABCD的边长为8cm,EFG,H分别是AB,BC,CD,DA上的动 点,且AE=BF=CG=DH 1)求证四边形EFGH是正方形; (2)判断直线EG是否经过某一定点说明理由 图答案11
13.(10 分)如图答案 11,正方形ABCD 的边长为 8 cm,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA 上的动 点,且 AE=BF=CG=DH. (1)求证:四边形 EFGH 是正方形; (2)判断直线 EG 是否经过某一定点,说明理由. 图答案 11
14(12分)如图答案12,将口ABCD沿过点A的直线折叠使点B落到AD边上的点F处折 痕为AE,连结DE (1)求证:四边形ABEF是菱形 (2)若DE平分∠ADC,则四边形CDFE是菱形吗?请说明理由. 图答案12 15(13分)如图答案13①,四边形ABCD是菱形,点MN分别在ABAD上,且 BM=DN,MG∥AD,NF∥AB,点F,G分别在BC,CD上,MG与NF相交于点E (1)求证:四边形AMEN是菱形; (2)如图②连结AC在不添加任何辅助线的情况下请直接写出面积相等的四边形
14.(12 分)如图答案 12,将▱ABCD 沿过点 A 的直线折叠,使点 B 落到 AD 边上的点 F 处,折 痕为 AE,连结 DE. (1)求证:四边形 ABEF 是菱形; (2)若 DE 平分∠ADC,则四边形 CDFE 是菱形吗?请说明理由. 图答案 12 15.(13 分)如图答案 13①,四边形 ABCD 是菱形,点 M,N 分别在 AB,AD 上,且 BM=DN,MG∥AD,NF∥AB,点 F,G 分别在 BC,CD 上,MG 与 NF 相交于点 E. (1)求证:四边形 AMEN 是菱形; (2)如图②,连结 AC.在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出面积相等的四边形
图答案13 答案 1.[答案]D 2[答案]C 3.[答案]B 4[答案]C 5[答案]B 6[答案]183 7[答案]Ⅴ2
图答案 13 答案 1.[答案] D 2.[答案] C 3.[答案] B 4.[答案] C 5.[答案] B 6.[答案] 18√3 7.[答案] √2
8[答案]√10 9[答案]13 10.[答案]20c 11.解(1)EC平分∠BED证明如下 ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥ ∠DEC=∠BCE ∴BE=BC,∴∠BEC=∠BCE, ∠BEC=∠DEC,∴EC平分∠BED (2)∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=909∵∠ABE=45°,∴∠ABE=∠AEB=45° ME=AB=l 由勾股定理得BE=12+12=2 ∴BC=BE=2 12解(1)证明∷∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ABD=∠ADB=45°,AB=AD, ∠ABE=∠ADF=135 又∴∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS.) (2)四边形AECF是菱形 理由∴△ABE≌△ADF,AE=AF 连结AC交BD于点O 四边形ABCD是正方形 ∴OA=OC,OB=OD
8.[答案] √10 9.[答案] 13 10.[答案] 20 cm 11.解:(1)EC 平分∠BED.证明如下: ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE. ∵BE=BC,∴∠BEC=∠BCE, ∴∠BEC=∠DEC,∴EC 平分∠BED. (2)∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠A=90°.∵∠ABE=45°,∴∠ABE=∠AEB=45°, ∴AE=AB=1, 由勾股定理得 BE=√1 2 + 1 2=√2, ∴BC=BE=√2. 12.解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠ABD=∠ADB=45°,AB=AD, ∴∠ABE=∠ADF=135°. 又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(S.A.S.). (2)四边形 AECF 是菱形. 理由:∵△ABE≌△ADF,∴AE=AF. 连结 AC 交 BD 于点 O. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴OA=OC,OB=OD
BE=DF.∴OE=OF ∴四边形AECF是平行四边形 又∵AE=AF ∵四边形AECF是菱形 13.解:(1)证明∵四边形ABCD是正方形 ∠A=∠B=90°AB=DA AE=DH.∴BE=AH 又∵∴AE=BF, ∴△AEH≌△BF ∴EH=FE.∠AHE=∠BEE 同理:FE=GF=HC EH=FE=GF=HG ∴四边形EFGH是菱形 ∵∠A=90°, ∠AHE+∠AEH=90,∴∠BEF+∠AEH=90°, ∠FEH=90°, ∴菱形EFGH是正方形 (2)直线EG经过正方形ABCD的中心 理由如下连结BD交EG于点O 四边形ABCD是正方形
∵BE=DF,∴OE=OF, ∴四边形 AECF 是平行四边形. 又∵AE=AF, ∴四边形 AECF 是菱形. 13.解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠A=∠B=90°,AB=DA. ∵AE=DH,∴BE=AH. 又∵AE=BF, ∴△AEH≌△BFE, ∴EH=FE,∠AHE=∠BEF. 同理:FE=GF=HG, ∴EH=FE=GF=HG, ∴四边形 EFGH 是菱形. ∵∠A=90°, ∴∠AHE+∠AEH=90°,∴∠BEF+∠AEH=90°, ∴∠FEH=90°, ∴菱形 EFGH 是正方形. (2)直线 EG 经过正方形 ABCD 的中心. 理由如下:连结 BD 交 EG 于点 O. ∵四边形 ABCD 是正方形
∴AB∥DC,AB=DC, ∵.∠EBD=∠GDB ∵AE=CG ∴BE=DG. 又∵∠EOB=∠GOD △EOB≌△GOD,∴BO=DO,即O为BD的中点 ∴直线EG经过正方形ABCD的中心 14解:(1)证明如图,由折叠的性质可知,∠1=∠2AB=AF ∵四边形ABCD是平行四边形 AD∥BC,AD=BC, 1B=BE AF=BE 又∵AF∥BE ∴四边形ABEF是平行四边形 又∵AB=BE,∴□ABEF是菱形 (2)四边形CDFE是菱形. 理由如图,DF=ADAF,CE=BC 由(1)知AD=BCAF=BE, DF=CE
∴AB∥DC,AB=DC, ∴∠EBD=∠GDB. ∵AE=CG, ∴BE=DG. 又∵∠EOB=∠GOD, ∴△EOB≌△GOD,∴BO=DO,即 O 为 BD 的中点, ∴直线 EG 经过正方形 ABCD 的中心. 14.解:(1)证明:如图,由折叠的性质可知,∠1=∠2,AB=AF. ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∴∠2=∠3, ∴∠1=∠3, ∴AB=BE, ∴AF=BE. 又∵AF∥BE, ∴四边形 ABEF 是平行四边形. 又∵AB=BE,∴▭ABEF 是菱形. (2)四边形 CDFE 是菱形. 理由:如图,∵DF=AD-AF,CE=BC-BE, 由(1)知 AD=BC,AF=BE, ∴DF=CE
又∵DF∥CE ∴四边形CDFE是平行四边形 ∴DE平分∠ADC ∠4=∠5 ∵AD∥BC 4=∠6 ∴∠5=∠6,∴CD=CE . OCDFE是菱形 15解:(1)证明∵MG∥ADNF∥AB 四边形AMEN是平行四边形 ∵四边形ABCD是菱形,AB=AD 又∵BM=DN∴AB-BM=AD-DN, 即AM=AN四边形AMEN是菱形 (2)∵四边形AMEN是菱形 同理,四边形CGEF是菱形,S△CB=S△CB 四边形ABCD是菱形,S△ABC=S△ADC, S四边形MBFE=S四边形DNEG,S四边形MBCE=S四边形DNEC,S四边形MBCG=S四边形DNFC,S四边形ABFE=S四边形ADGE,S 四边形ABFN=S四边形ADGM
又∵DF∥CE, ∴四边形 CDFE 是平行四边形. ∵DE 平分∠ADC, ∴∠4=∠5. ∵AD∥BC, ∴∠4=∠6, ∴∠5=∠6,∴CD=CE, ∴▭CDFE 是菱形. 15.解:(1)证明:∵MG∥AD,NF∥AB, ∴四边形 AMEN 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是菱形,∴AB=AD. 又∵BM=DN,∴AB-BM=AD-DN, 即 AM=AN,∴四边形 AMEN 是菱形. (2)∵四边形 AMEN 是菱形, ∴S△AEM=S△AEN. 同理,四边形 CGEF 是菱形,∴S△CEF=S△CEG. ∵四边形 ABCD 是菱形,∴S△ABC=S△ADC, ∴S 四边形 MBFE=S 四边形 DNEG,S 四边形MBCE=S 四边形 DNEC,S 四边形 MBCG=S 四边形 DNFC,S 四边形 ABFE=S 四边形 ADGE,S 四边形 ABFN=S 四边形 ADGM