2020数学八年级上第3讲轴对称 、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题所给的4个选项中,只有 项是符合题目要求的,请将正确答案的代号填在题后括号内) 1.下列由数字组成的图形中,是轴对称图形的是() 0050日己旧己 C 2.下列语句中正确的个数是(). ①关于一条直线对称的两个图形一定能重合: ②两个能重合的图形一定关于某条直线对称 ③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴 ④轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧 3.已知等腰△ABC的周长为18cm,BC=8cm,若△ABC与△A′B′C′全等,则 △A′B′C′的腰长等于() a. 8 cr B.2cm或8cm C.5 D.8cm或5cm 4.已知等腰三角形的一个角等于42°,则它的底角为() C.69°或84° D.42°或69° 5.已知A、B两点的坐标分别是(-2,3)和(2,3),则下面四个结论中正确的有(). ①A、B关于x轴对 ②A、B关于y轴对称 ③A、B不轴对称 ④A、B之间的距离为4 个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线DE交BC于D,交AB于点E ∠B=30°时,图中一定不相等的线段有( A. AC=AE=BE B. AD=BD C. CD= DE D. AC=BD 7.如图,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下,则所得图形大致是()
1 2020 数学八年级上第 3 讲 轴对称 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题所给的 4 个选项中，只有一 项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后括号内) 1．下列由数字组成的图形中，是轴对称图形的是( )． 2．下列语句中正确的个数是( )． ①关于一条直线对称的两个图形一定能重 合； ②两个能重合的图形一定关于某条直线对称； ③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴； ④轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧． A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知等腰△ABC 的周长为 18 cm，BC＝8 cm，若△ABC 与△A′B′C′全等，则 △A′B′C′的腰长等于( )． A．8 cm B．2 cm 或 8 cm C．5 cm D．8 cm 或 5 cm 4．已知等腰三角形的一个角等于 42°，则它的底角为( )． A．42° B．69° C．69°或 84° D．42°或 69° 5．已知 A、B 两点的坐标分别是(－2,3)和(2,3)，则下面四个结论中正确的有 ( )． ①A、B 关于 x 轴对称； ②A、B 关于 y 轴对称； ③A、B 不轴对称； ④A、B 之间的距离为 4. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 6．如图所示 ，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，交 AB 于点 E. 当∠B＝30°时，图中一定不相等的线段有( )． A．AC＝AE＝BE B．AD＝BD C．CD＝DE D．AC＝BD 7．如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是( )．
上折右折右下方折沿虚线剪开 C 8.如图是一个经过改造的台球桌面的示意图,图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球 孔.如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射),那么该球最后将落入的球袋是 1号袋 2号袋 4号袋 3号袋 A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋 、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,把正确答案填在题中横线上) 9.观察规律并填空: 2c488 10.点E(a,-5)与点F(-2,b)关于y轴对称,则a= 11.如图,在等边△ABC中,AD⊥BC,AB=5cm,则DC的长为 D (第11题图) (第12题图) 12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,若BD=10,则 13.如图,∠BAC=110°,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ的度数是 14如图,在△ABC中,点D是BC上一点,∠BAD=80°,AB=AD=DC,则∠C 2
2 8．如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球 孔．如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入的球袋是 ( )． A．1 号袋 B．2 号袋 C．3 号袋 D．4 号袋 二、填空题(本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．把正确答案填在题中横线上) 9．观察规律并填空： 10．点 E(a，－5)与点 F(－2，b)关于 y 轴对称，则 a＝__________ ，b＝__________. 11．如图，在等边△ABC 中，AD⊥BC，AB＝5 cm，则 DC 的长为__________． (第 11 题图) (第 12 题图) 12．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，若 BD＝10，则 CD＝__________. 13．如图，∠BAC＝110°，若 MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC，则∠PAQ 的度数是 __________． 14.如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C＝__________
(第13题图) (第14题图) 15.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为 16.如图,是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC, AB=8m,∠A=30°,则DE长为 三、解答题(本大题共5小题,共52分) 17.(本题满分10分)加如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的两条中线BD、CE交于O点, 求证:OB=OC D 18.(本题满分10分)△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示 201234x (1)作出△ABC关于y轴对称的三角形△A1B1C1 (2将△ABC向下平移3个单位长度,画出平移后的△A2B2C2 19.(本题满分10分)如图,已知△ABC中,AH⊥BC于H,∠C=35°,且AB+BH=HC 求∠B的度数 20.(本题满分10分)如图,E在△ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC 于点F,DF=EF,BD=CE求证:△ABC是等腰三角形.(过D作DG∥AC交BC于G)
3 (第 13 题图) (第 14 题图) 15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为__________． 16．如图，是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC、DE 垂直于横梁 AC， AB＝8 m，∠A＝30°，则 DE 长为__________． 三、解答题(本大题共 5 小题，共 52 分) 17．(本题满分 10 分)如图，在△ABC 中，AB＝AC，△ABC 的两条中线 BD、CE 交于 O 点， 求证：OB＝OC. 18．(本题满分 10 分)△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出△ABC 关于 y 轴对称的三角形△A1B1C1； (2)将△ABC 向下平移 3 个单位长度，画出平移后的△A2B2C2. 19．(本题满分 10 分)如图，已知△ABC 中，AH⊥BC 于 H，∠C＝35°，且 AB＋BH＝HC， 求∠B 的度数． 20．(本题满分 10 分)如图，E 在△ABC 的 AC 边的延长线上，D 点在 AB 边上，DE 交 BC 于点 F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC 是等腰三角形．(过 D 作 DG∥AC 交 BC 于 G)．
21.(本题满分12分)如图,C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作等 边△ABC和等边△CDE,AD与BC相交于点P,BE与CD相交于点Q,连接PQ求证:△PCQ 为等边三角形 D
4 21．(本题满分 12 分)如图，C 为线段 AE 上一动点(不与点 A、E 重合)，在 AE 同侧分别作等 边△ABC 和等边△CDE，AD 与 BC 相交于点 P，BE 与 CD 相交于点 Q，连接 PQ.求证：△PCQ 为等边三角形．
参考答案 1.A点拔:数字图案一般是沿中间竖直线或水平线折叠,看是否是轴对称图形,只有A 选项是轴对称图形 2.B点拔:①③正确,②④不正确,其中④对应点还可能在对称轴上. 3.D点拔:因为BC是腰是底不确定,因而有两种可能,当BC是底时,△ABC的腰长是 5cm,当BC是腰时,腰长就是8cm,且均能构成三角形,因为△A′B′C′与△ABC全等,所 以△A′B′C′的腰长也有两种相同的情况:8cm或5cm 4.D点拔:在等腰三角形中,当一个锐角在未指明为顶角还是底角时,一定要分类讨论 ①42°的角为等腰三角形底角 ②42的角为等腰三角形的顶角,则底角为(80°-429)÷2=69° 所以底角存在两种情况,∴42°或69° 5.B点拔:①③不正确,②④正确. 6.D点拨:DE垂直平分AB,∠B=30°,所以AD平分∠CAB,由角平分线性质和线段垂 直平分线性质可知A、B、C都正确,且AC≠AD=BD,故D错误 7.C点拨:经过三次轴对称折叠,再剪切,得到的图案是C图(也可将各选项图案按原步 骤折叠复原). 8.B点拔:本题中的台球经过多次反射,每一次的反射就是一次轴对称变换,直到最后 落入球袋,可用轴对称作图(如图),该球最后将落入2号袋 2号袋 4号袋 3号袋 960点拨:观察可知本题图案是两个数字相同,且轴对称,由排列可知是相同的偶数数 字构成的,故此题答案为6组成的轴对称图形 10.2-5点拔:点E、F关于y轴对称,横坐标互为相反数,纵坐标不变 11.25cm点拔:△ABC为等边三角形,AB=BC=CA,AD⊥BC,所以点D平分BC 所以DC=BC=2.5cm 12.5点拔:∠C=90°,∠A=30°, 则∠ABC=60°,BD是∠ABC的平分线, 则∠CBD=30°,所以CD=BD=5 13.40°点拨:因为MP、NQ分别垂直平分AB和AC
5 参考答案 1．A 点拨：数字图案一般是沿中间竖直线或水 平线折叠，看是否是轴对称图形，只有 A 选项是轴对称图形． 2．B 点拨：①③正确，②④不正确，其中④对应点还可能在对称轴上． 3．D 点拨：因为 BC 是腰是底不确定，因而有两种可能，当 BC 是底时，△ABC 的腰长是 5 cm，当 BC 是腰时，腰长就是 8 cm，且均能构成三角形，因为△A′B′C′与△ABC 全等，所 以△A′B′C′的腰长也有两种相同的情况：8 cm 或 5 cm. 4．D 点拨：在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类讨论． ①42°的角为等腰三角形底角； ②42°的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180°－42°)÷2＝69°. 所以底角存在两种情况，∴42°或 69°. 5．B 点拨：①③不正确，②④正确． 6．D 点拨：DE 垂直平分 AB，∠B＝30°，所以 AD 平分∠CAB，由角平分线性质和线段垂 直平分线性质可知 A、B、C 都正确，且 AC≠AD＝BD，故 D 错误． 7．C 点拨：经过三次轴对称折叠，再剪切，得到的图案是 C 图(也可将各选项图案按原步 骤折叠复原)． 8．B 点拨：本题中的台球经过多次反射，每一次的反射就是一次轴对称变换，直到最后 落入球袋，可用轴对称作图(如图)，该球最后将落入 2 号袋． 9. 点拨：观察可知本题图案是两个数字相同，且轴对称，由排列可知是相同的偶数数 字构成的，故此题答案为 6 组成的轴对称图形． 10．2 －5 点拨：点 E、F 关于 y 轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变． 11．2.5 cm 点拨：△ABC 为等边三角形，AB＝BC＝CA，AD⊥BC，所以点 D 平分 BC. 所以 DC＝ 1 2 BC ＝2.5 cm. 12．5 点拨：∠C＝90°，∠A＝30°， 则∠ABC＝60°，BD 是∠ABC 的平分线， 则∠CBD＝30°，所以 CD＝ 1 2 BD ＝5. 13．40° 点拨：因为 MP、NQ 分别垂直平分 AB 和 AC
所以PA=PB,QA=QC,∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,∠PAB+∠QAC=∠C+∠B=180 110°=70°, 所以∠PAQ的度数是40° 14.25°点拔:设∠C=x,那么∠ADB=∠B=2x 因为∠ADB+∠B+∠BAD=180°,代入解得x=25° 15.60°或120°点拨:有两种可能,如下图(1)和图(2),AB=AC,CD为一腰上的高,过A 点作底边BC的垂线,图(1)中,∠BAC=60°,图(2)中,∠BAC=120° D B 图(1) 图(2) 16.2m点拔:根据30°角所对的直角边是斜边的一半,可知DE=-AD=-AB=2 17.证明:∵BD、CE分别是AC、AB边上的中线,∴BE=AB,C 又∵AB=AC,∴BE=CD BE=CD 在△BCE和△CBD中,{∠ABC=∠ACB, BC=CB △BCE≌△ CBD(SAS) ∠ECB=∠DBC.∴OB=OC 18.解:(1)如图所示的△A1B1C1 (2)如图所示的△A2B2C2 B 34x 19.解:如图,在CH上截取DH=BH,连接AD C AH⊥BC
6 所以 PA＝PB，QA＝QC，∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，∠PAB＋∠QAC＝∠C＋∠B＝180° －110°＝70°， 所以∠PAQ 的度数是 40°. 14．25° 点拨：设∠C＝x，那么∠ADB＝∠B＝2x， 因为∠ADB＋∠B＋∠BAD＝180°，代入解得 x＝25°. 15．60°或 120° 点拨：有两种可能，如下图(1)和图(2)，AB＝AC ，CD 为一腰上的高，过 A 点作底边 BC 的垂线，图(1)中，∠BAC＝60°，图(2)中，∠BAC＝120°. 16．2 m 点拨：根据 30°角所对的直角边是斜边的一半，可知 DE＝ 1 2 AD ＝ 1 4 AB ＝2 m. 17．证明：∵BD、CE 分别是 AC、AB 边上的中线，∴BE＝ 1 2 AB ，CD＝ 1 2 AC . 又∵AB＝AC，∴BE＝CD. 在△BCE 和△CBD 中， , , , BE CD ABC ACB BC CB = = = ∴△BCE≌△CBD(SAS)． ∴∠ECB＝∠DBC.∴OB＝OC. 18．解：(1)如图所示的△A1B1C1. (2)如图所示的△A2B2C2. 19. 解：如图，在 CH 上截取 DH=BH，连接 AD， ∵AH⊥BC
AH垂直平分BD AB=AD∴∠B=∠ADB AB+BH=HC AD+DH=HC=DH+CD AD=CD∴∠C=∠DAC=35 ∴∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=70° 0.证明:如图,过D作DG∥AC交BC于G, 则∠GDF=∠E, ∠DGB=∠ACB 在△DFG和△EFC中, ∠DFG=∠EFC, DF= EF. ∠GDF=∠CEF, ∴△DFG≌△EFC(ASA) ∴CE=GD,∵BD=CE.∴BD=GD ∠B=∠DGB.∴∠B=∠ACB △ABC为等腰三角形 证明:如图, D C △ABC和△CDE为等边三角形 ,AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60° ∠ACB+∠3=∠ECD+∠3 即∠ACD=∠BCE 又∵∴C在线段AE上 在△ACD和△BCE中
7 ∴AH 垂直平分 BD. ∴AB=AD.∴∠B=∠ADB. ∵AB+BH=HC， ∴AD+DH=HC=DH+CD. ∴AD=CD.∴∠C=∠DAC=35°. ∴∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=70°. 20. 证明：如图，过 D 作 DG∥AC 交 BC 于 G， 则∠GDF=∠E， ∠DGB=∠ACB， 在△DFG 和△EFC 中， ∴△DFG≌△EFC(ASA)． ∴CE=GD，∵BD=CE.∴BD=GD. ∴∠B=∠DGB.∴∠B=∠ACB. ∴△ABC 为等腰三角形． 21. 证明：如图， ∵△ABC 和△CDE 为等边三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°. ∴∠ACB＋∠3＝∠ECD＋∠3， 即∠ACD＝∠BCE. 又∵C 在线段 AE 上， ∴∠3＝60°. 在△ACD 和△BCE 中
AC= B ∠ACD=∠BCE, CD=CE ∴△ACD≌△BCE.∠1=∠2. 在△APC和△BQC中, AC= BC ∠ACB=∠3=60°, ∴△APC≌△BQC∴CP=CQ △PCQ为等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)
8 , , , AC BC ACD BCE CD CE = = = ∴△ACD≌△BCE.∴∠1＝∠2. 在△APC 和△BQC 中， , 1 2, 3 60 , AC BC ACB = = = = ∴△APC≌△BQC.∴CP＝CQ. ∴△PCQ 为等边三角形(有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形)．