第17章勾股定理 选择题(共6小题) 1.已知直角三角形两边的长为6和8,则此三角形的周长为 A.24 B.14+27 C.24或14+2√7D.以上都不对 2.下列各组数能构成勾股数的是() A.2 B.12,16,20 C.1,1,1D.32,42,52 3.在△ABC中,AB=AC=10,B是AC边上的高,DC=2,则BD等于( 4.如图是由“赵爽弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方 形ABCD、正方形BG、正方形MWPQ的面积分别为S、S、S.若S+S+S=60,则S 的值是() D G A.12 B.15 C.20 D.30 5.如图,一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断,旗杆顶部落在高旗杆底部12m 处,旗杆折断之前的高度是() A. 5m B.12m D.18m 6.如图,小明准备测量一段水渠的深度,他把一根竹竿AB竖直插到水底,此时竹竿AB高
第 17 章 勾股定理 一．选择题（共 6 小题） 1．已知直角三角形两边的长为 6 和 8，则此三角形的周长为（ ） A．24 B．14+2 C．24 或 14+2 D．以上都不对 2．下列各组数能构成勾股数的是（ ） A．2， ， B．12，16，20 C． ， ， D．3 2，4 2，5 2 3．在△ABC 中，AB＝AC＝10，BD 是 AC 边上的高，DC＝2，则 BD 等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方 形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNPQ 的面积分别为 S1、S2、S3．若 S1+S2+S3＝60，则 S2 的值是（ ） A．12 B．15 C．20 D．30 5．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面 5m 处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 12m 处，旗杆折断之前的高度是（ ） A．5 m B．12 m C．13 m D．18 m 6．如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿 AB 竖直插到水底，此时竹竿 AB 离
岸边点C处的距高CD=1.5米.竹竿高出水面的部分AD长0.5米,如果把什竿的顶端A 拉向岸边点C处,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则水渠的深度BD为()米 B.2.5 C.2.25 二.填空题(共5小题) 7.已知三角形三边长分别是6,8,10,则此三角形的面积为 8.若8,a,17是一组勾股数,则a= 9.已知甲、乙两人在同一地点出发,甲往东走4km,乙往南走了3km,这时甲、乙两人相 10.勾股定理是几何中的一个重要定理,在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股 四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其 面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=3,AC=4, 点D,B,FG,B都在炬形MM的边上,则矩形MM的面积为 (图1) 11.如图,在数轴上,点A、B表示的数分别为0、2,BC⊥AB于点B,且BC=1,连接AC 在AC上截取CD=BC,以A为圆心,AD的长为半径画弧,交线段AB于点E则点E表示 的实数是 三.解答题(共6小题) 12.如图,在边长为c的正方形中,有四个斜边为c的全等直角三角形,已知其直角边长 为a,b.利用这个图试说明勾股定理
岸边点 C 处的距离 CD＝1.5 米．竹竿高出水面的部分 AD 长 0.5 米，如果把竹竿的顶端 A 拉向岸边点 C 处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度 BD 为（ ）米． A．2 B．2.5 C．2.25 D．3 二．填空题（共 5 小题） 7．已知三角形三边长分别是 6，8，10，则此三角形的面积为 ． 8．若 8，a，17 是一组勾股数，则 a＝ ． 9．已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走 4km，乙往南走了 3km，这时甲、乙两人相 距 km． 10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股 四，则弦五”的记载．如图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其 面积关系验证勾股定理．图 2 是由图 1 放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， 点 D，E，F，G，H，I 都在矩形 KLMJ 的边上，则矩形 KLMJ 的面积为 ． 11．如图，在数轴上，点 A、B 表示的数分别为 0、2，BC⊥AB 于点 B，且 BC＝1，连接 AC， 在 AC 上截取 CD＝BC，以 A 为圆心，AD 的长为半径画弧，交线段 AB 于点 E，则点 E 表示 的实数是 ． 三．解答题（共 6 小题） 12．如图，在边长为 c 的正方形中，有四个斜边为 c 的全等直角三角形，已知其直角边长 为 a，b．利用这个图试说明勾股定理．
13.如图在四边形ABCD中,AB=BC=2,Cm=3,DA=1,且∠B=90°,求∠DAB的度数 14.我们学习了勾股定后,都知道“勾三、股四、弦五” 观察:3、4、5;5、12、13;7、24、25;9、40、41;…,发现这些勾股数的勾都是奇 数,且从3起就没有间断过 (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股教 (2)若第一个数用字母n(n为奇数,且n≥3)表示,那么后两个数用含n的代数式分 别表示为和 请用所学知识说明它们是一组勾股数 15.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BC=5.点D为AC上一点,且BD=4,CD=3 (1)求证:BD⊥AC (2)求AB的长 16.如图(1),是两个全等的直角三角形(直角边分别为a,b,斜边为c) (1)用这样的两个三角形构造成如图(2)的图形(B,E,C三点在一条直线上),利用 这个图形,求证:a2+b2=2 (2)当a=1,b=2时,将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中(如图(3),使 直角顶点与原点重合,两直角边a,b分别与x轴、y轴重合 ①请在坐标轴上找一点C,使△ABC为等腰三角形 写出一个满足条件的在x轴上的点的坐标:;
13．如图在四边形 ABCD 中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB 的度数． 14．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇 数，且从 3 起就没有间断过． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ； （2）若第一个数用字母 n（n 为奇数，且 n≥3）表示，那么后两个数用含 n 的代数式分 别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数． 15．如图，在等腰△ABC 中，AB＝AC，BC＝5．点 D 为 AC 上一点，且 BD＝4，CD＝3． （1）求证：BD⊥AC； （2）求 AB 的长． 16．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为 a，b，斜边为 c）． （1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形（B，E，C 三点在一条直线上），利用 这个图形，求证：a 2 +b 2＝c 2 （2）当 a＝1，b＝2 时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中（如图（3）），使 直角顶点与原点重合，两直角边 a，b 分别与 x 轴、y 轴重合． ①请在坐标轴上找一点 C，使△ABC 为等腰三角形． 写出一个满足条件的在 x 轴上的点的坐标： ；
写出一个满足条件的在y轴上的点的坐标 ,这样的点有个 y 图(1) 图(2) 17.如图,已知△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,PQ是△ABC边上的两个动点 其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C方 向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为t秒 (1)当t=2秒时,求P的长; (2)求出发时间为几秒时,△PQB是等腰三角形? (3)若Q沿BC→A方向运动,则当点Q在边aA上运动时,求能使△B成为等腰三 角形的运动时间
写出一个满足条件的在 y 轴上的点的坐标： ，这样的点有 个． 17．如图，已知△ABC 中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q 是△ABC 边上的两个动点， 其中点 P 从点 A 开始沿 A→B 方向运动，且速度为每秒 1cm，点 Q 从点 B 开始沿 B→C 方 向运动，且速度为每秒 2cm，它们同时出发，设出发的时间为 t 秒． （1）当 t＝2 秒时，求 PQ 的长； （2）求出发时间为几秒时，△PQB 是等腰三角形？ （3）若 Q 沿 B→C→A 方向运动，则当点 Q 在边 CA 上运动时，求能使△BCQ 成为等腰三 角形的运动时间．
参考答案 选择题(共6小题) 1.解:设Rt△ABC的第三边长为x, ①当8为直角三角形的直角边时,x为斜边, 由勾股定理得,x=V62+82=10,此时这个三角形的周长=6110=24 当8为直角三角形的斜边时,x为直角边, 由勾股定理得,x=V82-62=V64-36=27,此时这个三角形的周长=6+8+27 14+2√7, 故选:C 2.解:A、2+(√3)2=(√7)2,但不是正整数,故选项错误; B、12+162=202,能构成直角三角形,是整数,故选项正确; C、(1)2+()2≠(1)2,不能构成直角三角形,故选项错误 D、(32)2+(42)2≠(52)2,不能构成直角三角形,故选项错误. 故选:B 3.解:∵AB=AC=10,CD=2, AD=10-2=8, BD是AC边上的高, ∴∠BDA=90°, 由勾股定理得:BD=AB2-AD2=√102-82=6, 故选:C 4.解:设每个小直角三角形的面积为皿,则S=4m+S,S=S-4m, 因为S+S+S=60 所以4m+S+S+S-4m=60, 即3S2=60, 解得S2=20 故选:C 5.解:旗杆折断后,落地点与旗杆底部的距高为12m,旗杆高地面5m折断,且旗杆与地面
参考答案 一．选择题（共 6 小题） 1．解：设 Rt△ABC 的第三边长为 x， ①当 8 为直角三角形的直角边时，x 为斜边， 由勾股定理得，x＝ ＝10，此时这个三角形的周长＝6+8+10＝24； ②当 8 为直角三角形的斜边时，x 为直角边， 由勾股定理得，x＝ ＝ ＝2 ，此时这个三角形的周长＝6+8+2 ＝ 14+2 ， 故选：C． 2．解：A、2 2 +（ ） 2＝（ ） 2，但不是正整数，故选项错误； B、122 +162＝202，能构成直角三角形，是整数，故选项正确； C、（ ） 2 +（ ） 2≠（ ） 2，不能构成直角三角形，故选项错误； D、（3 2） 2 +（4 2） 2≠（5 2） 2，不能构成直角三角形，故选项错误． 故选：B． 3．解：∵AB＝AC＝10，CD＝2， ∴AD＝10﹣2＝8， ∵BD 是 AC 边上的高， ∴∠BDA＝90°， 由勾股定理得：BD＝ ＝ ＝6， 故选：C． 4．解：设每个小直角三角形的面积为 m，则 S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m， 因为 S1+S2+S3＝60， 所以 4m+S2+S2+S2﹣4m＝60， 即 3S2＝60， 解得 S2＝20． 故选：C． 5．解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为 12m，旗杆离地面 5m 折断，且旗杆与地面
是垂直的, 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形 根据勾股定理,AB=V52+12=13m 所以旗杆折断之前高度为BCAB=13m+5m=18m 故选:D 6.解:设BD的长度为xm,则AB=BC=(x+0.5)m, 在Rt△CmDB中,1.53+2=(x+0.5)2 解得x=2 故选:A 二.填空题(共5小题) 7.解:∵62+82=102, ∴此三角形为直角三角形, 此三角形的面积为:1×6×8=24 故答案为:24. 8.解:①a为最长边,a=V82+1712=√353,不是正整数,不符合题意 ②17为最长边,a=√172-82=15,三边是整数,能构成勾股数,符合题意 故答案为:15. 9.解:如图 ∠ADB=90°,OA=4km,0B=3m AB=a =5km 10.解:如图,延长BB交F于点O,延长C交M于点P 所以,四边形AOLP是正方形
是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，AB＝ ＝13m， 所以旗杆折断之前高度为 BC+AB＝13m+5m＝18m． 故选：D． 6．解：设 BD 的长度为 xm，则 AB＝BC＝（x+0.5）m， 在 Rt△CDB 中，1.52 +x 2＝（x+0.5） 2， 解得 x＝2． 故选：A． 二．填空题（共 5 小题） 7．解：∵6 2 +82＝102， ∴此三角形为直角三角形， ∴此三角形的面积为： ×6×8＝24． 故答案为：24． 8．解：①a 为最长边，a＝ ＝ ，不是正整数，不符合题意； ②17 为最长边，a＝ ＝15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意． 故答案为：15． 9．解：如图， ∵∠AOB＝90°，OA＝4km，OB＝3km ∴AB＝ ＝5km． 10．解：如图，延长 AB 交 KF 于点 O，延长 AC 交 GM 于点 P， 所以，四边形 AOLP 是正方形
边长A0=ABAC=3+4=7, 所以,=3+7=10,LM=4+7=11, 因此,炮形MMT的面积为10×11=110. 故答案是:110 11.解:∵BC⊥AB ∠ABC=90 AB=2, BC=1 AC-A AB2C2=√5 cD=BC AD=AC-D= AE=AD, ∴点E表示的实数是5-1. 故答案为:√5-1 三.解答题(共6小题) 12.解:∵大正方形面积为:c,直角三角形面积为ab,小正方形面积为:(a-b)2, 所以c2=4xab+(a-b)2 即c2=a+b2, 在每个直角边为a、b而斜边为c的直角三角形中,这个式子就是勾股定理 13.解:如右图所示,连接AC ∠B=90°,AB=BC=2, AC=√AB2+BC2=2V2,∠BAC=45 又∵CD=3,DA=1
边长 AO＝AB+AC＝3+4＝7， 所以，KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11， 因此，矩形 KLMJ 的面积为 10×11＝110． 故答案是：110． 11．解：∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∵AB＝2，BC＝1， ∴AC＝ ＝ ， ∵CD＝BC， ∴AD＝AC﹣CD＝ ﹣1， ∵AE＝AD， ∴AE＝ ﹣1， ∴点 E 表示的实数是 ﹣1． 故答案为： ﹣1． 三．解答题（共 6 小题） 12．解：∵大正方形面积为：c 2，直角三角形面积为 ab，小正方形面积为：（a﹣b） 2， 所以 c 2＝4× ab+（a﹣b） 2， 即 c 2＝a 2 +b 2， 在每个直角边为 a、b 而斜边为 c 的直角三角形中，这个式子就是勾股定理． 13．解：如右图所示，连接 AC， ∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴AC＝ ＝2 ，∠BAC＝45°， 又∵CD＝3，DA＝1
AC+D=8+1=9 ∴AC+D2=CD, △ACD是直角三角形 ∠CAD=90°, ∴∠DAB=45°+90°=13 故∠DAB的度数为135° 14.解:(1)11,60,61; (2)后两个数表示为21和“+1 又∵n≥3,且n为奇数 2三个数组成的数是勾殷数 故答案为:11,60,61 15.(1)证明:∵CD=3,BC=5,BD=4, CD2+B=9+16=25=BC, △BCD是直角三角形, ∴BD⊥AC (2)解:设AD=x,则AC=x+3. AB=ACe ∠BDC=90 ∠ADB=90°
∴AC 2 +DA 2＝8+1＝9，CD 2＝9， ∴AC 2 +DA 2＝CD 2， ∴△ACD 是直角三角形， ∴∠CAD＝90°， ∴∠DAB＝45°+90°＝135°． 故∠DAB 的度数为 135°． 14．解：（1）11，60，61； （2）后两个数表示为 和 ， ∵ ， ， ∴ ． 又∵n≥3，且 n 为奇数， ∴由 n， ， 三个数组成的数是勾股数． 故答案为：11，60，61． 15．（1）证明：∵CD＝3，BC＝5，BD＝4， ∴CD 2 +BD 2＝9+16＝25＝BC 2， ∴△BCD 是直角三角形， ∴BD⊥AC； （2）解：设 AD＝x，则 AC＝x+3． ∵AB＝AC， ∴AB＝x+3． ∵∠BDC＝90°， ∴∠ADB＝90°
AB=AD+BD 即(x+3)2=x2+42, 解得:x=7, ∴AB=1+3= 16.解:(1)由图可得,1×(a#b)(a+b)=1ab12+1ab, 整理得a+2ab+ ∴a2+2abt+b2=2abe, (2)一个满足条件的在x轴上的点的坐标:(-1,0); 个满足条件的在y轴上的点的坐标:(0,2+√5),这样的点有4个 故答案为:(-1,0);(0,2+√5),4 17.(1)解:(1)BQ=2×2=4cm BP=AB-AP=8-2×1=6cm ∠B=90°, =√BQ2+Bp2=V42+62=2/13(cm) (2)解:根据题意得:BQ=B 即2t=8-t, 解得 即出发时间为秒时,△PQB是等屡三角形 (3)解:分三种情况: ①当CQ=BQ时,如图1所示: 则∠C=∠CBQ ∠ABC=90°, ∠CBQ∠ABQ=90 ∠A+∠C=90°, ∠A=∠ABQ ∴BQ=AQ
∴AB 2＝AD 2 +BD 2， 即（x+3） 2＝x 2 +42， 解得：x＝ ， ∴AB＝ +3＝ ． 16．解：（1）由图可得， ×（a+b）（a+b）＝ ab+ c 2 + ab， 整理得 ＝ ， ∴a 2 +2ab+b 2＝2ab+c 2， ∴a 2 +b 2＝c 2． （2）一个满足条件的在 x 轴上的点的坐标：（﹣1，0）； 一个满足条件的在 y 轴上的点的坐标：（0，2+ ），这样的点有 4 个． 故答案为：（﹣1，0）；（0，2+ ），4． 17．（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm， BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm， ∵∠B＝90°， PQ＝ ＝ ＝2 （cm）； （2）解：根据题意得：BQ＝BP， 即 2t＝8﹣t， 解得：t＝ ； 即出发时间为 秒时，△PQB 是等腰三角形； （3）解：分三种情况： ①当 CQ＝BQ 时，如图 1 所示： 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°， ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ ∴BQ＝AQ
.C0=A05 ∴B+cQ=11 ∴t=11÷2=5.5秒, ②当CQ=BC时,如图2所示: ∴t=122=6 秒 ⑧当BC=B时,如图3所示: 过B点作B⊥AC于点E ABBC6×8 AC Ca=2CE=7. 2cm, BC+Co=13. 2cm, t=13.2÷2=6.6秒 由上可知,当t为5.5秒或6秒或6.6秒时, △BCQ为等腰三角形 C 图3
∴CQ＝AQ＝5， ∴BC+CQ＝11， ∴t＝11÷2＝5.5 秒． ②当 CQ＝BC 时，如图 2 所示： 则 BC+CQ＝12 ∴t＝12÷2＝6 秒． ③当 BC＝BQ 时，如图 3 所示： 过 B 点作 BE⊥AC 于点 E， 则 BE＝ ＝ ＝4.8（cm） ∴CE＝ ＝3.6cm， ∴CQ＝2CE＝7.2cm， ∴BC+CQ＝13.2cm， ∴t＝13.2÷2＝6.6 秒． 由上可知，当 t 为 5.5 秒或 6 秒或 6.6 秒时， △BCQ 为等腰三角形．