免费下载网址ht:/ jiaoxue5uys68com/ 第14-15课时第《一元二次方程》 1、一元二次方程的相关概念: 2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解 预设|元二次方程 目标|3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况: 4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题; 5、构造一元二次方程解决简单的实际问题 教学重点:运用知识、技能解决问题 重难点难点:解题分析能力的提高 教具 准备 教法 学法合作,探究,讨论 、知识梳理 1、一元二次方程的概念:等号两边都是整式,只含有三二 个求知数(一元),并且求知数的最高次数是2(二次)的方 程,叫做一元二次方程 2、一元二次方程的一般形式是:ax2+bxc=0(a≠0),其中 a是二次项,a是二次项系数,bx是一次项,b是一次项系数, C是常数项。3、一元二次方程的解法:①直接开方法、②配方 教|法、③公式法、④因式分解法 4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△= b-4ac,当∠>0时,方程有两个不相等的实数根;当A=0时, 方程有两个相等的实数根;当4<0时,方程没有实数根;当 学≥0时,方程有实数根 5、一元二次方程的根与系数的关系:(韦达定理) 当厶=b2-4ac≥0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根 过|公式为二b±√-4c 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) b 的两根为x、,则x+x C 程 若一元二次方程x2+pxq0的两根为x、x2,则:x+ 6、一元二次方程的应用 、基本知识训练 1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是【】 A.x2+1=0B ax2 +bx+c=0 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 第 14-15 课时 第《一元二次方程》 预设 目标 1、一元二次方程的相关概念； 2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一 元二次方程； 3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况； 4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题； 5、构造一元二次方程解决简单的实际问题； 教学 重难点 重点：运用知识、技能解决问题。 难点：解题分析能力的提高． 教具 准备 教 法 学 法 合作，探究，讨论 教 学 过 程 一、知识梳理 1、一元二次方程的概念：等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元），并且求知数 的最高次数是 2 （二次）的方 程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式是：ax 2 +b x+c=0(a≠0)，其中 ax 2 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数， c 是常数项。3、一元二次方程的解法：①直接开方法、②配方 法、③公式法、④因式分解法 4、一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△= b 2 -4ac，当⊿>0 时，方程有两个不相等的实数根；当⊿=0 时， 方程有两个相等的实数根；当⊿<0 时，方程没有实数根；当⊿ ≥0 时，方程有实数根。 5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理） 当⊿=b 2 -4ac≥0 时，一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的求根 公式为 x= 2 4 2 b b ac a − − ；若一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0) 的两根为 x1、x2，则 x1＋x2= a b − ，x1•x2= a c 。 若一元二次方程 2 x +px+q=0 的两根为 1 x 、 2 x ，则：x1＋x2== -p ， x1•x2= q 。 6、一元二次方程的应用。 二、基本知识训练 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是【 】 A． 2 2 1 x 0 x + = B ． 2 ax bx c + + = 0
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ x-1)(x+2)=1D.3x2-2xy-5y2=0 2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃,它 的长比宽多10米,设花圃的宽为x米,则可列方程为xx+10 200化为般形式为x2+10x-200=0 3、已知1是关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+1=0的一 个根,则m的值是【】 A.1B.-1C.0D.无法确定 4、咸宁市2009年平均房价为每平方米2000元.连续两年增长 后,2011年平均房价达到每平方米2420元,设这两年平均房价 年平均增长率为x,依题意可列方程为2000(1+x)2=2420,此 方程适宜用直接开平方法解。 5、用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-3=0,配方后 的方程可以是【】 A.(x-1)2=4B.(x+1)2=4C.(x-1)2=16D.(x+1) 2=16 6、若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解,则m的取值 范围是【】 m≤1B.m≤1C.ms4D.ms 典型例题分析 【例1】用适当的方法解下列方程: (2)x2-2x=2x+1 【例2】己知x是一元二次方程x+2x8=0的根,求代数式 (x+2-—)的值 3x2-6 【例3】关于x的一元二次方程x2+3x+m1=0的两个实数 根分别为x,x (1)求m的取值范围 (2)若2(x+x)+2+10=0,求m的值 【例4】如果方程x+px+q=0的两个根是着,x,那么x 十x=-p,·2=q.请根据以上结论,解决下列问题: (1)已知关于x的方程x+mx+n=0(n≠0),求出一个 元二次方程,使它的两根别是已知方程两根的倒数 (2)已知a、b满足a-15a-5=0,b-15b-5=0,求2 的值 (3)已知a、b、c均为实数,且a+b+c=0,abc=16 求正数c的最小值. 【例5】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com C． ( 1)( 2) 1 x x − + = D． 2 2 3 2 5 0 x xy y − − = 4、咸宁市 2009 年平均房价为每平方米 2000 元．连续两年增长 后，2011 年平均房价达到每平方米 2420 元，设这两年平均房价 年平均增长率为 x，依题意可列方程为 2000（1+x）2 =2420，此 方程适宜用直接开平方法解。 5、用配方法解关于 x 的一元二次方程 x 2﹣2x﹣3=0，配方后 的方程可以是【 】 A．（x﹣1）2 =4 B．（x+1）2 =4 C．（x﹣1）2 =16 D．（x+1） 2 =16 6、若一元二次方程 2 0 2 x + x + m = 有实数解，则 m 的取值 范围是【 】 A． m -1 B． m 1 C． m 4 D． 2 1 m 三、典型例题分析 【例 1】用适当的方法解下列方程： ⑴x 2﹣4x+2=0 ⑵ 2 2 1 2 x − x = x + 【例 2】已知 x 是一元二次方程 x 2 +2x-8＝0 的根，求代数式 ) 2 5 ( 2 3 6 3 2 − + − − − x x x x x 的值． 【例 3】关于 x 的一元二次方程 x 2＋3x＋m-1＝0 的两个实数 根分别为 x1，x2． （1）求 m 的取值范围； （2）若 2 (x1+x2)+ x1x2+10=0，求 m 的值. 【例 4】如果方程 x 2＋px＋q＝0 的两个根是 x1，x2，那么 x1 ＋x2＝－p，x1·x2＝q．请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知关于 x 的方程 x 2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一 元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数； （2）已知 a、b 满足 a 2－15a－5＝0，b 2－15b－5＝0，求 a b ＋ b a 的值； （3）已知 a、b、c 均为实数，且 a＋b＋c＝0，abc＝16， 求正数 c 的最小值． 【例 5】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克 5 元的单价对
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销 李伟为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以每 千克3.2元的单价对外批发销售。 (1)求平均每次下调的百分率; (2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜,因数量多,李伟 决定再给予两种优惠方案以供选择: 方案一:打九折销售 方案二:不打折,每吨优惠现金200元。 试问小华选择哪种方案更优惠,请说明理由 经典考题训练 1、下列方程,是一元二次方程的是 ①3x+x=20,②2x2-3xy+4=0 3x-4=0 2、方程(m2)x+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则 3、已知关于x的方程x2-kx6=0的一个根为-2,则实数k 的值为【】 4、关于x的二次方程(a1)x+x+a-1=0的一个根是0,则 的值为【】 B、-1 C、1或-1D、0.5 5、方程x2-3x+1=0的解是 6、已知关于x的一元二次方程的一个根是+写出一个符合 条件的方程 7、如果方程ax+2x+1=0有两个不等实数根,则实数a的取 值范围是 8、已知a、B是一元二次方程x2-4x3=0的两实数根,则 代数式(a-3)(B-3) 9、若关于x的方程ax2+2(a+2)x0有实数解,那么实数 的取值范围是 10、用适当的方法解下列方程: (1)x2-2x3=0 (3)(x+1)(x1)+2(x3)=8 (4)x2-3x-1=0 11、先化简,再求值 2 其中a是方程x2-x=6的根 12、已知关于x的一元二次方程(k2)2x2+(2H+1)x+1=0有两 个不相等的实数根,求k的取值范围 解压密码联系qq11919686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销。 李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每 千克 3.2 元的单价对外批发销售。 （1）求平均每次下调的百分率； （2）小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，李伟 决定再给予两种优惠方案以供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金 200 元。 试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。 四、经典考题训练 1、下列方程，是一元二次方程的是 。 ①3x 2 +x=20， ②2x 2 -3xy+4=0， ③ 4 2 1 − = x x ， ④ x 2 =0， ⑤ 3 4 0 2 x − x − = 2、方程(m-2)x |m| +3mx+1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m= 。 3、已知关于 x 的方程 x 2 -kx-6=0 的一个根为 -2，则实数 k 的值为【 】 A．1 B． −1 C．2 D．−2 4、关于 x 的二次方程(a-1)x 2 +x+a 2 -1=0 的一个根是 0，则 a 的值为【 】 A、1 B、 −1 C、1 或−1 D、0.5 5、方程 2 x x − + = 3 1 0 的解是 ． 6、已知关于 x 的一元二次方程的一个根是 1，写出一个符合 条件的方程： ． 7、如果方程 ax 2 +2x+1=0 有两个不等实数根，则实数 a 的取 值范围是 ． 8、已知 α、β 是一元二次方程 x 2 -4x-3=0 的两实数根，则 代数式（α-3）（β-3）= ． 9、若关于 x 的方程 ax 2 +2（a+2）x+a=0 有实数解，那么实数 a 的取值范围是 ． 10、用适当的方法解下列方程： ⑴x 2 -2x-3=0 ⑵x(x-2)+x-2=0 ⑶（x+1）(x-1)+2(x+3)=8 ⑷x 2 -3x-1=0 11、先化简，再求值： 2 2 2 1 1 1 1 a a a a a − − − − − + ，其中 a 是方程 6 2 x − x = 的根． 12、已知关于 x 的一元二次方程(k-2)2 x 2 +(2k+1)x+1=0 有两 个不相等的实数根，求 k 的取值范围
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 13、已知x、若是方程22+14x-16=0的两实数根,求2+x 的值 14、已知关于x的一元二次方程x2+(mr3)x+m+1=0 (1)求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数 (2)若x,是原方程的两根,且x-x1=22,求m的 值,并求出此时方程的两根 15、阅读下面的材料,回答问题: 解方程x-5x2+4=0,这是一个一元四次方程,根据该方程的 特点,它的解法通常是 设x2=y,那么x=y2,于是原方程可变为y2-5y+4=0 得y=1,y=4 当y=1时,x2 当=4时,x=4,∴±2 原方程有四个根:x=1,x=-1,=2,X=-2 (1)在由原方程得到方程①的过程中,利用 法 达到 的目的,·体现了数学的转化思想. )解方程(x2+x)2-4(x2+x)-12=0 16、如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面 墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m),现在已 备足可以砌50m长的墙的材 料,试设计一种砌法,使矩形 花园的面积为300md 元二次方程的应用 板书设计 例 例2 例3 例4 例5 学生练习 作业 教材第56--58页:复习题 反 解压密码联系qq11919686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址:jiaoxuesu.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 13、已知x1、x2是方程2x 2 +14x－16=0的两实数根，求 2 1 1 2 x x x x + 的值. 14、已知关于 x 的一元二次方程 x 2 +(m+3)x+m+1=0． （1）求证：无论 m 取何值，原方程总有两个 不相等的实数 根； （2）若 x1，x2 是原方程的两根，且 1 2 x x − = 2 2 ，求 m 的 值，并求出此时方程的两根． 15、阅读下面的材料，回答问题： 解方程x 4－5x 2 +4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的 特点，它的解法通常是： 设x 2 =y，那么x 4 =y 2，于是原方程可变为y 2－5y+4=0 ①，解 得y1=1，y2=4． 当y=1时，x 2 =1，∴x=±1； 当y=4时，x 2 =4，∴x=±2； ∴原方程有四个根：x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法 达到_ _ __的目的，•体现了数学的转化思想． （2）解方程（x 2 +x）2－4（x 2 +x）－12=0． 16、如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面 墙，围成一个矩形花园 ABCD（围墙 MN 最长可利用 25m），现在已 备足可以砌 50m 长的墙的材 料，试设计一种砌法，使矩形 花园的面积为 300m 2． 板 书 设 计 一元二次方程的应用 例 1 例 2 例 3 例 4 例 5 学生练习 作业 教材第 56--58 页：复习题 教 学 反 思