免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 反比例函数的图象与性质 教学目标 【知识与技能】 1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题 2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题 【过程与方法】 经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力. 【情感态度】 能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题,培养学生看图(象)、识图(象) 能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题. 【教学重点】 理解并掌握一次函数,反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题. 【教学难点】 学会从图象上分析、解决问题,理解反比例函数的性质 教学过程 、情景导入,初步认知 1.正比例函数有哪些性质? 2.一次函数有哪些性质? 3.反比例函数有哪些性质? 【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习,让学生对它们的性质有系统的了解 二、思考探究,获取新知 1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P(-3,4),试求出它们的表达式, 并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解:设正比例函数,反比例函数的表达式分别为 其中,k1,k2是常数,且均不为0. 由于这两个函数的图象交于P(-3,4),则P(-3,4)是这两个函数图象上的点,即点P 的坐标分别满足这两个表达式因此,4=k×(-3),4=—解得,k1=-k2=12所以,正比 4 12 例函数解析式为y=--x,反比例函数解析式为y=一.函数图象如下图 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 反比例函数的图象与性质 教学目标 【知识与技能】 1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题； 2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题． 【过程与方法】 经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力. 【情感态度】 能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象） 能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题. 【教学重点】 理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题. 【教学难点】 学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质. 教学过程 一、情景导入，初步认知 1.正比例函数有哪些性质？ 2.一次函数有哪些性质？ 3.反比例函数有哪些性质？ 【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解. 二、思考探究，获取新知 1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于 P（-3,4），试求出它们的表达式， 并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为 y=k1x,y= 2 k x ,其中，k1,k2 是常数，且均不为 0. 由于这两个函数的图象交于 P（-3,4），则 P（-3,4）是这两个函数图象上的点，即点 P 的坐标分别满足这两个表达式.因此，4=k1×(-3),4= 2 3 k － 解得，k1= 4 3 − k2=-12 所以，正比 例函数解析式为 y= 4 3 − x,反比例函数解析式为 y=- 12 x .函数图象如下图
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 12 246x 【教学说明】通过图象,让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用2在反比例函 数y=的图象上取两点P(1,6),Q(6,1),过点P分别作x轴、y轴的平行线,与坐 标轴围成的矩形面积为S1 ;过点Q分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的 矩形面积为S2= S1与S2有什么关系?为什么? 【归纳结论】反比例函数y=(k≠0)中比例系数k的几何意义:过双曲线、k(k ≠0)上任意一点引x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值. 【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质,同时鼓励学生用自 己的语言进行表述,从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力 运用新知,深化理解 1.已知如图,A是反比例函数y=kx的图象上的一点,AB⊥x轴于点B,且△ABO的面积 是3,则k的值是( A.3B.-3C.6D.-6 分析:过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函 数 y= 6 x 的图象上取两点Ｐ（1，6），Ｑ（6，1），过点Ｐ分别作 x 轴、y 轴的平行线，与坐 标轴围成的矩形面积为 S1= ；过点Ｑ分别作 x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的 矩形面积为 S2= ；S1 与 S2 有什么关系？为什么？ 【归纳结论】反比例函数 y= k x （k≠0）中比例系数 k 的几何意义：过双曲线 y= k x （k ≠0）上任意一点引 x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为 k 的绝对值. 【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自 己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力． 三、运用新知，深化理解 1.已知如图，A 是反比例函数 y=kx 的图象上的一点，AB 丄 x 轴于点 B，且△ABO 的面积 是 3，则 k 的值是( ) A.3 B.-3 C.6 D.-6 分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 三角形面积S是个定值,即S=|k 解:根据题意可知:S△AOB=-|k|=3,又反比例函数的图象位于第一象限,k>0, 则k=6 【答案】C 2.反比例函数y=-与y=-在第一象限的图象如图所示,作一条平行于x轴的直线分别 交双曲线于A、B两点,连接OA、OB,则△AOB的面积为() B.2C.3 C 分析:分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,过B作BC⊥y轴,点C为垂足, 再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积,进而可 得出结论 解:分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,过B作BC⊥y轴,点C为垂足,∵ 由反比例函数系数k的几何意义可知,S四边形okC=6,S△o=3, S△BC=1,∴S△M0B=S四边形oEkC-S△A-S△B0=6-3-1=2 【答案】B 3.已知直线y=x+b经过点A(3,0),并与双曲线y=-的交点为B(-2,m)和C,求k、 b的值 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 三角形面积 S 是个定值，即 S＝ 1 2 |k|． 解：根据题意可知：S△AOB＝ 1 2 |k|＝3，又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0， 则 k＝6． 【答案】 C 2.反比例函数 y= 6 x 与 y= 2 x 在第一象限的图象如图所示，作一条平行于 x 轴的直线分别 交双曲线于 A、B 两点，连接 OA、OB，则△AOB 的面积为( ) A. 1 2 B.2 C.3 D.1 分析：分别过 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E，过 B 作 BC⊥y 轴，点 C 为垂足， 再根据反比例函数系数 k 的几何意义分别求出四边形 OEAC、△AOE、△BOC 的面积，进而可 得出结论． 解：分别过 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E，过 B 作 BC⊥y 轴，点 C 为垂足，∵ 由反比例函数系数 k 的几何意义可知，S 四边形 OEAC=6，S△AOE=3， S△BOC=1，∴S△AOB=S 四边形 OEAC-S△AOE-S△BOC=6-3-1=2． 【答案】 B 3.已知直线 y＝x＋b 经过点 A(3,0)，并与双曲线 y= k x 的交点为 B(－2，m)和 C，求 k、 b 的值．
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 5432 6-5-4-3-2-1,1 456x A(3,0) B(-2 解:点A(3,0)在直线y=x+b上,所以0=3+b,b=-3.一次函数的解析式为:y=x 3.又因为点B(-2,m)也在直线y=x-3上,所以m=-2-3=-5,即B(-2,-5).而 点B(-2,-5)又在反比例函数y 上,所以k=-2×(-5) 4.已知反比例函数y=的图象与一次函数y=kx-1的图象交于A(2,1). (1)分别求出这两个函数的解析式; (2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.分析 (1)因为点A在反比例函数和一次函数的图象上,把A点的坐标代入这两个解析式即可 求出k1、k2的值 (2)把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中,可知 A′是否在这两个函数图象上 解: (1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上,所以k1=2×1=2 1=2k2-1,k2=1.所以反比例函数的解析式为:、2一次函数解析式为:y=x-1 (2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(-2,-1).把A点的横坐标代入反比例函 数解析式得,y==-1,所以点A在反比例函数图象上.把A′点的横坐标代入一次函数 解析式得,y=-2-1=-3,所以点A不在一次函数图象上 5.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,1)和点B(a,-3a),a<0,且点B在反比例 函数的y=2的图象上 (1)求a的值 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 解：点 A(3,0)在直线 y＝x＋b 上，所以 0＝3＋b，b＝－3．一次函数的解析式为：y＝x －3．又因为点 B(－2，m)也在直线 y＝x－3 上，所以 m＝－2－3＝－5，即 B(－2,－5)．而 点 B(－2,－5)又在反比例函数 y= k x 上，所以 k＝－2×(－5)＝10． 4.已知反比例函数 y= 1 k x 的图象与一次函数 y＝k2x－1 的图象交于 A(2,1)． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)试判断 A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．分析: (1)因为点 A 在反比例函数和一次函数的图象上，把 A 点的坐标代入这两个解析式即可 求出 k1、k2 的值． (2)把点 A 关于坐标原点的对称点 A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知 A′是否在这两个函数图象上． 解： (1)因为点 A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以 k1＝2×1＝2． 1＝2k2－1，k2＝1．所以反比例函数的解析式为：y= 2 x ；一次函数解析式为：y＝x－1． (2)点 A(2,1)关于坐标原点的对称点是 A′(－2,－1)．把 A′点的横坐标代入反比例函 数解析式得，y= 2 −2 =－1，所以点 A 在反比例函数图象上．把 A′点的横坐标代入一次函数 解析式得，y＝－2－1＝－3，所以点 A′不在一次函数图象上． 5.已知一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点 A(0,1)和点 B(a,－3a),a＜0，且点 B 在反比例 函数的 y=－ 3 x 的图象上． (1)求 a 的值．
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ (2)求一次函数的解析式,并画出它的图象 (3)利用画出的图象,求当这个一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的取 值范围. (4)如果P(m,y1)、Q(m+1,y2)是这个一次函数图象上的两点,试比较y与y2的大小 分析: (1)由于点A、点B在一次函数图象上,点B在反比例函数图象上,把这些点的坐标代 入相应的函数解析式中,可求出k、b和a的值 (2)由(1)求出的k、b、a的值,求出函数的解析式,通过列表、描点、连线画出函数 图象 (3)和(4)都是利用函数的图象进行解题 解:(1)反比例函数的图象过点B(a,-3a), -3a=-3,a=±1,因为a<0,所以a= 1.B(-1,3) 又因为一次函数图象过点A(0,1)和 点B(-1,3) 所以 1=b, 解得 h=-2 即:一次函数的解析式为y=-2x+1 (2 01 2x+1 次函数和反比例函数的图象为 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com (2)求一次函数的解析式，并画出它的图象． (3)利用画出的图象，求当这个一次函数 y 的值在－1≤y≤3 范围内时，相应的 x 的取 值范围． (4)如果 P(m,y1)、Q(m＋1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较 y1 与 y2 的大小． 分析： (1)由于点 A、点 B 在一次函数图象上，点 B 在反比例函数图象上，把这些点的坐标代 入相应的函数解析式中，可求出 k、b 和 a 的值． (2)由 (1)求出的 k、b、a 的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数 图象． (3)和 (4)都是利用函数的图象进行解题． 一次函数和反比例函数的图象为：
免费下载网址ht: JIaoxue5uys68cm/ B(-1,3) A(0,1) J=-2x+1 (3)从图象上可知,当一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的值为:-1≤ x≤1. (4)从图象可知,y随x的增大而减小,又m+1>m,所以y>y2 或解:当x=m时,y1=-2m+1:当x2=m+1时,y2=-2×(m+1)+1=-2m-1所以 y1-y2=(-2m+1)-(-2m-1)=2>0,即y1>y2. 6.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y="的图象交于A、B两点 (1)利用图象中的条件,求反比例函数和一次函数的解析式 (2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围 X B(1,a) 分析 (1)把A、B两点坐标代入两解析式,即可求得一次函数和反比例函数解析式 (2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的,一次函数值大于反比例函数值, 反映在图象上,自变量取相同的值时,一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点 的纵坐标 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com (3)从图象上可知，当一次函数 y 的值在－1≤y≤3 范围内时，相应的 x 的值为：－1≤ x≤1． (4)从图象可知，y 随 x 的增大而减小，又 m＋1＞m，所以 y1＞y2. 或解：当 x1＝m 时，y1＝－2m＋1；当 x2＝m＋1 时，y2＝－2×(m＋1)＋1＝－2m－1 所以 y1－y2＝(－2m＋1)－(－2m－1)＝2＞0，即 y1＞y2. 6.如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象与反比例函数 y= m x 的图象交于 A、B 两点． (1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的 x 的取值范围． 分析: (1)把 A、B 两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式． (2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值， 反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点 的纵坐标．
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 解:(1)观察图象可知,反比例函数y=的 图象过点A(-2,1),m=-2×1=-2 所以反比例函数的解析式为:y==.又点B (1,a)也在反比例函数图象上,=-2=-2.即B (1,-2) 因为一次函数图象过点A、B.所以 26+6 h=-1 解得, -2=k+b 次函数解析式为:y=-x-1 (2)观察图象可知,当x<-2或0<x<1时, 次函数的值大于反比例函数值 【教学说明】检测题采取多种形式呈现,增加了灵活性,以基础题为主,也有少量综合 问题,可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业 布置作业:教材“习题1.2”中第6题 通过本节课的学习,发现了一些问题,因此必须强调 教学反思 1.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式,往往用待定系数法 2.观察图象,把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，以基础题为主，也有少量综合 问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验． 四、师生互动、课堂小结 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业 布置作业：教材“习题 1.2”中第 6 题. 通过本节课的学习，发现了一些问题，因此必须强调： 教学反思 1．综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往用待定系数法． 2．观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题．