等的平行四边形是矩形) 第2课时矩形的判定 方法总结:在判断四边形的形状时,若 数学目标一 已知条件中有对角线,可首先考虑能否用对 1.理解并掌握矩形的判定方法:(重点)角线的条件证明矩形 2.能熟练掌握矩形的判定及性质的综 探究点二:有三个角是直角的四边形是 合应用.(难点) 矩形 团2如图,GE∥HF,直线AB与GE 交于点A,与HF交于点B,AC、BC、BD 数学过程 AD分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB 的平分线,求证:四边形ADBC是矩形 、情景导入 小明想要做一个矩形相框送给妈妈做 解析:利用已知条件诳明四边形ADBC 生日礼物,于是找来两根长度相等的短木条 和两根长度相等的长木条制作,你有什么办有三个角是直角 法可以检测他做的是矩形相框?看看谁的 方法可行! 合作探究 探究点一:对角线相等的平行四边形是 矩形 证明:∵GE∥HF, 1如图所示,外面的四边形ABCD ∠GAB+∠ABH=180° 是矩形,对角线AC,BD相交于点O,里面 的四边形MPM的四个顶点都在矩形AD、BD分别是∠GAB、∠ABH的平 ABCD的对角线上,且AM=BP=CN=DO 求证:四边形MPNQ是矩形 ∠1==∠GAB,∠4==∠ABH, 解析:要证明四边形MPNQ是矩形, ∴∠1+∠4=(∠GAB+∠ABH)= 应先证明它是平行四边形,由已知可再证明×180°=90°, ∠ADB=180°-(∠1+∠4)=90° 其对角线相等 同理可得∠ACB=90° 又∵∠ABH+∠FBA=180° ∠4=∠ABH,∠2=∠FBA, C ∠2+∠42(<ABH+∠FBA) 证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA 180°=90°,即∠DBC=90° =OB=OC=OD ∴四边形ADBC是矩形 AM=BP=CN=DO, OM=OP=ON=OO 方法总结:矩形的判定方法和矩形的性 ∴四边形MPNQ是平行四边形 又∵OM+ON=00+OP 质是相辅相成的,注意它们的区别和联系, ∴MN=PQ 平行四边形MPNQ是矩形(对角线相此判定方法只要说明一个四边形有三个角
第 2 课时 矩形的判定 1．理解并掌握矩形的判定方法；(重点) 2．能熟练掌握矩形的判定及性质的综 合应用．(难点) 一、情景导入 小明想要做一个矩形相框送给妈妈做 生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条 和两根长度相等的长木条制作，你有什么办 法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的 方法可行！ 二、合作探究 探究点一：对角线相等的平行四边形是 矩形 如图所示，外面的四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 相交于点 O，里面 的四边形 MPNQ 的四个顶点都在矩形 ABCD 的对角线上，且 AM＝BP＝CN＝DQ. 求证：四边形 MPNQ 是矩形． 解析：要证明四边形 MPNQ 是矩形， 应先证明它是平行四边形，由已知可再证明 其对角线相等． 证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴OA ＝OB＝OC＝OD. ∵AM＝BP＝CN＝DQ， ∴OM＝OP＝ON＝OQ. ∴四边形 MPNQ 是平行四边形． 又∵OM＋ON＝OQ＋OP， ∴MN＝PQ. ∴平行四边形 MPNQ 是矩形(对角线相 等的平行四边形是矩形)． 方法总结：在判断四边形的形状时，若 已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对 角线的条件证明矩形． 探究点二：有三个角是直角的四边形是 矩形 如图，GE∥HF，直线 AB 与 GE 交于点 A，与 HF 交于点 B，AC、BC、BD、 AD 分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB 的平分线，求证：四边形 ADBC 是矩形． 解析：利用已知条件，证明四边形ADBC 有三个角是直角． 证明：∵GE∥HF， ∴∠GAB＋∠ABH＝180°. ∵AD、BD 分别是∠GAB、∠ABH 的平 分线， ∴∠1＝ 1 2 ∠GAB，∠4＝ 1 2 ∠ABH， ∴∠1＋∠4＝ 1 2 (∠GAB ＋∠ABH) ＝ 1 2 ×180°＝90°， ∴∠ADB＝180°－(∠1＋∠4)＝90°. 同理可得∠ACB＝90°. 又∵∠ABH＋∠FBA＝180°， ∠4＝ 1 2 ∠ABH，∠2＝ 1 2 ∠FBA， ∴∠2＋∠4＝ 1 2 (∠ABH＋∠FBA) ＝ 1 2 ×180°＝90°，即∠DBC＝90°. ∴四边形 ADBC 是矩形． 方法总结：矩形的判定方法和矩形的性 质是相辅相成的，注意它们的区别和联系， 此判定方法只要说明一个四边形有三个角
是直角,则这个四边形就是矩形 探究点三:有一个角是直角的平行四边 ∠AEF=∠DEC, 形是矩形 AE=DE 例3如图所示,在△ABC中,D为BC ∴△AEF≌△DEC(AAS) 边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC ∴AF=DC 的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD ∵∴AF=BD, 连接BF ∴BD=DC; (1)BD与DC有什么数量关系?请说明 (2)当△ABC满足AB=AC时,四边形 理由 AFBD是矩形.理由如下: (2)当△ABC满足什么条件时,四边形 ∵AF∥BD,AF=BD, AFBD是矩形?并说明理由 ∴四边形AFBD是平行四边形 ∴AB=AC,BD=DC ∠ADB=90 四边形AFBD是矩形 方法总结:本题综合考查了矩形和全等 解析:(1)根据“两直线平行,内错角相 三角形的判定方法,明确有一个角是直角的 等”得出∠AFE=∠DCE,然后利用AAS 平行四边形是矩形是解本题的关键 证明△AEF和△DEC全等,根据“全等三 板书设计 角形对应边相等”可得AF=CD,再利用等 矩形的 判定 量代换即可得BD=CD:(2)先利用“一组对 对角线相等的平行四边形是矩形 边平行且相等的四边形是平行四边形”证三个角是直角的四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义) 明四边形AFBD是平行四边形,再根据“有 教学厦思 一个角是直角的平行四边形是矩形”可知 通过探索与交流,得出矩形的判定定理,使 学生亲身经历知识的发生过程,并会运用定 ∠ADB=90°由等腰三角形三线合一的性质理解决相关问题.通过开放式命题,尝试从 可知△ABC满足的条件必须是AB=AC 不同角度寻求解决问题的方法.通过动手实 践、合作探索、小组交流,培养学生的逻辑 推理能力 解:(1)BD=CD理由如下: ∵AF∥BC, ∠AFE=∠DCE E是AD的中点 在△AEF和△DEC中
是直角，则这个四边形就是矩形． 探究点三：有一个角是直角的平行四边 形是矩形 如图所示，在△ABC 中，D 为 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交CE 的延长线于点F，且AF＝BD. 连接 BF. (1)BD 与 DC 有什么数量关系？请说明 理由； (2)当△ABC 满足什么条件时，四边形 AFBD 是矩形？并说明理由． 解析：(1)根据“两直线平行，内错角相 等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS” 证明△AEF 和△DEC 全等，根据“全等三 角形对应边相等”可得 AF＝CD，再利用等 量代换即可得 BD＝CD；(2)先利用“一组对 边平行且相等的四边形是平行四边形”证 明四边形 AFBD 是平行四边形，再根据“有 一个角是直角的平行四边形是矩形”可知 ∠ADB＝90°.由等腰三角形三线合一的性质 可知△ABC 满足的条件必须是 AB＝AC. 解：(1)BD＝CD.理由如下： ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE. ∵E 是 AD 的中点， ∴AE＝DE. 在 △AEF 和 △DEC 中 ， ∠AFE＝∠DCE， ∠AEF＝∠DEC， AE＝DE， ∴△AEF≌△DEC(AAS)， ∴AF＝DC. ∵AF＝BD， ∴BD＝DC； (2)当△ABC 满足 AB＝AC 时，四边形 AFBD 是矩形．理由如下： ∵AF∥BD，AF＝BD， ∴四边形 AFBD 是平行四边形． ∴AB＝AC，BD＝DC， ∴∠ADB＝90°. ∴四边形 AFBD 是矩形． 方法总结：本题综合考查了矩形和全等 三角形的判定方法，明确有一个角是直角的 平行四边形是矩形是解本题的关键． 三、板书设计 矩形的 判定 对角线相等的平行四边形是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义） 通过探索与交流，得出矩形的判定定理，使 学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定 理解决相关问题．通过开放式命题，尝试从 不同角度寻求解决问题的方法．通过动手实 践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑 推理能力