注意:正方形既是特殊的矩形,又是特 1.3正方形的性质 殊的菱形,即:有一组邻边相等的矩形是正 方形或有一个角是直角的菱形是正方形 、合作探究 与判定 探究点一:正方形的性质 圆1如图,四边形ABCD是正方形, 对角线AC与BD相交于点O,AO=2,求 第1课时正方形的性质 正方形的周长与面积 数学目标 1.了解正方形的有关概念,理解并掌 解:∵四边形ABCD是正方形, 握正方形的性质定理;(重点) AC⊥BD,OA=OD=2 2.会利用正方形的性质进行相关的计 在RI△AOD中,由勾股定理,得 算和证明.(难点) AD=√OA2+OD=V2+2=V8 ∴正方形的周长为4AD=48=82 面积为AD=(√82=8 数学心程 方法总结:结合勾股定理,充分利用正 情景导入 化如图(所示,把可以活动的矩形框架方形的四边相等、四角相等、对角线相等且 CD的BC边平行移动,使矩形的邻边 AD,DC相等,观察这时矩形ABCD的形 互相垂直平分的性质,是解决与正方形有关 状 的题目的关键 探究点二:正方形的性质的应用 【类型一】利用正方形的性质求角度 团例2四边形ABCD是正方形,△ADE 如图(2)所示,把可以活动的菱形框架是等边三角形,求∠BEC的大小 ABCD的∠A变为直角,观察这时菱形 ABCD的形状 解析:等边△ADE可以在正方形的内 部,也可以在正方形的外部,因此本题分两 种情 解:当等边△ADE在正方形ABCD外 图(1)中图形的变化可判断矩形部时,如图①,AB=AE,∠BAE=90+60° ABCD→特殊的四边形是什么四边形?图(2)=150° 中图形变化可判断菱形ABCD→特殊的四 ∠AEB=15 边形是什么四边形?经过观察,你发现既是 同理可得∠DEC=15° 矩形又是菱形的图形是什么四边形 ∴∠BEC=60°-15°-15°=30°; 引入正方形的定义:有一组邻边相等, 并且有一个角是直角的平行四边形是正方
1．3 正方形的性质 与判定 第 1 课时 正方形的性质 1．了解正方形的有关概念，理解并掌 握正方形的性质定理；(重点) 2．会利用正方形的性质进行相关的计 算和证明．(难点) 一、情景导入 如图(1)所示，把可以活动的矩形框架 ABCD 的 BC 边平行移动，使矩形的邻边 AD，DC 相等，观察这时矩形 ABCD 的形 状． 如图(2)所示，把可以活动的菱形框架 ABCD 的∠A 变为直角，观察这时菱形 ABCD 的形状． 图 (1) 中 图 形 的 变 化 可 判 断 矩 形 ABCD→特殊的四边形是什么四边形？图(2) 中图形变化可判断菱形 ABCD→特殊的四 边形是什么四边形？经过观察，你发现既是 矩形又是菱形的图形是什么四边形？ 引入正方形的定义：有一组邻边相等， 并且有一个角是直角的平行四边形是正方 形． 注意：正方形既是特殊的矩形，又是特 殊的菱形，即：有一组邻边相等的矩形是正 方形或有一个角是直角的菱形是正方形． 二、合作探究 探究点一：正方形的性质 如图，四边形 ABCD 是正方形， 对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AO＝2，求 正方形的周长与面积． 解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得 AD＝ OA2＋OD2＝ 2 2＋2 2＝ 8. ∴正方形的周长为 4AD＝4 8＝8 2， 面积为 AD2＝( 8) 2＝8. 方法总结：结合勾股定理，充分利用正 方形的四边相等、四角相等、对角线相等且 互相垂直平分的性质，是解决与正方形有关 的题目的关键． 探究点二：正方形的性质的应用 【类型一】 利用正方形的性质求角度 四边形 ABCD 是正方形，△ADE 是等边三角形，求∠BEC 的大小． 解析：等边△ADE 可以在正方形的内 部，也可以在正方形的外部，因此本题分两 种情况． 解：当等边△ADE 在正方形 ABCD 外 部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60° ＝150°. ∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
∴△EFC是等腰直角三角形 ∵∠BAE=∠FAE,∠B=∠EFA=90° 图① AB=AF=lcm, BE=EF 当等边△ADE在正方形ABCD内部时, 如图②,AB=AE,∠BAE=90°-60°=30°, 在Rt△ABC中, AC=VAB2+BC 同理可得∠DEC=75° FC=AC-AF=v2-1(cm) ∠BEC=360°-75°-75-60° 综上所述,∠BEC的大小为30°或150° 方法总结:正方形被对角线分成4个等 易错提醒:因为等边△ADE与正方形腰直角三角形,因此在正方形中解决问题时 ABCD有一条公共边,所以边相等.本题分常用到等腰三角形的性质与直角三角形的 两种情况:等边△ADE在正方形的外部或性质 【类型三】利用正方形的性质证明线 在正方形的内部 段相等 【类型二】利用正方形的性质求线段例4如图,已知过正方形ABCD的对 长 角线BD上一点P,作PE⊥BC于点E, 例3如图,正方形ABCD的边长为PF⊥CD于点F,求证:AP=EF lcm,AC为对角线,AE平分∠BAC C,求BE的长 解析:由PE⊥BC,PF⊥CD知四边形 解析:线段BE是R△ABE的边,但PECF为矩形,故有EF=PC,这时只需说 由于AE未知,不能直接用勾股定理求BE,明AP=CP,由正方形对角线互相垂直平分 由条件可证△ABE≌△AFE,问题转化为求可知AP=CP EF的长,结合已知条件易获解 明:连接AC,PC,如图 ∵四边形ABCD为正方形 解:∵四边形ABCD为正方形 BD垂直平分AC, ACB=45°,AB Ic ∵PE⊥BC,PF⊥CD,∠BCD=90°, ∵EF⊥AC 四边形PECF为矩形 ∠EFA=∠EFC=90° PC=EF,∴AP=EF 又∵∠ECF=45° 方法总结:(1)在正方形中,常利用对角
当等边△ADE 在正方形ABCD内部时， 如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC ＝ 360°－ 75°－ 75°－ 60°＝ 150°. 综上所述，∠BEC 的大小为 30°或 150°. 易错提醒：因为等边△ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以边相等．本题分 两种情况：等边△ADE 在正方形的外部或 在正方形的内部． 【类型二】 利用正方形的性质求线段 长 如图，正方形 ABCD 的边长为 1cm，AC 为对角线，AE 平分∠BAC， EF⊥AC，求 BE 的长． 解析：线段 BE 是 Rt△ABE 的一边，但 由于 AE 未知，不能直接用勾股定理求 BE， 由条件可证△ABE≌△AFE，问题转化为求 EF 的长，结合已知条件易获解． 解：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC ＝1cm. ∵EF⊥AC， ∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC 是等腰直角三角形， ∴EF＝FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°， AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE， ∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF. ∴FC＝BE. 在 Rt△ABC 中， AC＝ AB2＋BC2 ＝ 1 2＋1 2＝ 2(cm)， ∴FC＝AC－AF＝ 2－1(cm)， ∴BE＝ 2－1(cm)． 方法总结：正方形被对角线分成 4 个等 腰直角三角形，因此在正方形中解决问题时 常用到等腰三角形的性质与直角三角形的 性质． 【类型三】 利用正方形的性质证明线 段相等 如图，已知过正方形 ABCD 的对 角线 BD 上一点 P，作 PE⊥BC 于点 E， PF⊥CD 于点 F，求证：AP＝EF. 解析：由 PE⊥BC，PF⊥CD 知四边形 PECF 为矩形，故有 EF＝PC，这时只需说 明 AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分 可知 AP＝CP. 证明：连接 AC，PC，如图． ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴BD 垂直平分 AC， ∴AP＝CP. ∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°， ∴四边形 PECF 为矩形， ∴PC＝EF，∴AP＝EF. 方法总结：(1)在正方形中，常利用对角
线互相垂直平分证明线段相等:(2)无论是正 方形还是矩形,经常连接对角线,这样可以 使分散的条件集中 三、板书设计 正方形 错误! 数学反思 经历正方形有关性质的探索过程,把握 正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习 本节课内容.在观察中寻求新知,在探究中 发展推理能力,逐步掌握说理的基本方 法.培养合情推理能力和探究习惯,体会平 面几何的内在价值
线互相垂直平分证明线段相等；(2)无论是正 方形还是矩形，经常连接对角线，这样可以 使分散的条件集中． 三、板书设计 正方形 错误! 经历正方形有关性质的探索过程，把握 正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习 本节课内容．在观察中寻求新知，在探究中 发展推理能力，逐步掌握说理的基本方 法．培养合情推理能力和探究习惯，体会平 面几何的内在价值．