23用公式法求解一元二次方程 第1课时用公式法求解一元二次方程 教学内容 1.一元二次方程求根公式的推导过程 2.公式法的概念; 3.利用公式法解一元二次方程 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a≠0)·的求根公式的推导公式, 并应用公式法解一元二次方程 重难点关键 1.重点:求根公式的推导和公式法的应用 2.难点与关键:一元二次方程求根公式法的推导 教学过程 、复习引入 (学生活动)用配方法解下列方程 (1)6x2-7x+1=0(2)4x2-3x=52 (老师点评)(1)移项,得:6x2-7x=1 二次项系数化为1,得:x2.7x=1 配方,得 6 144 7 5 121212 577-51 1212126 (2)略 总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评) (1)移项 (2)化二次项系数为1 (3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方 (4)原方程变形为(x+m)2=n的形式 (5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解 、探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根, 请同学独立完成下面这个问题 问题:已知a+bxte0(a≠0)且b24ac>0,试推导它的两个根xs-b+vb2-4ac 2
2.3 用公式法求解一元二次方程 第 1 课时 用公式法求解一元二次方程 教学内容 1．一元二次方程求根公式的推导过程； 2．公式法的概念； 3．利用公式法解一元二次方程． 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程． 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax2+bx+c=0（a≠0）• 的求根公式的推导公式， 并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键 1．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）用配方法解下列方程 （1）6x 2 -7x+1=0 （2）4x 2 -3x=52 （老师点评） （1）移项，得：6x 2 -7x=-1 二次项系数化为 1，得：x 2 - 7 6 x=- 1 6 配方，得：x 2 - 7 6 x+（ 7 12 ）2=- 1 6 +（ 7 12 ）2 （x- 7 12 ）2= 25 144 x- 7 12 =± 5 12 x1= 5 12 + 7 12 = 7 5 12 + =1 x2=- 5 12 + 7 12 = 7 5 12 − = 1 6 （2）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项； （2）化二次项系数为 1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 二、探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式 ax 2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根， 请同学独立完成下面这个问题． 问 题 ：已 知 ax2+bx+c=0 （ a≠ 0） 且 b 2 -4ac ≥0 ，试 推 导它 的两 个根 x1= 2 4 2 b b ac a − + −
分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的 解题步骤就可以一直推下去 解:移项,得:ax2+bx=c 二次项系数化为1,得x+bx=c 配方,得:x+x(、6 C )2=2+() b2_b-4ac ∵b2-4ac≥0且4a2>0 b2-4ac 直接开平方,得:x+ 即x==btvb2-4ac b-√b2-4 X2- 2 由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此: (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b-4ac≥0时,·将a、b、c代 b± 入式子x 就得到方程的根. (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式 (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 (4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根 例1.用公式法解下列方程 (1)2x24x-1=0 (2)5x+2=3x2 (3)(x-2)(3x-5)=0(4)4x2-3x+1=0 分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可 解:(1)a=2,b=4,c= b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0 4)±√244±2√62±√6 2×2 √6 2,X2=
x2= 2 4 2 b b ac a − − − 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把 a、b、c• 也当成一个具体数字，根据上面的 解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax 2+bx=-c 二次项系数化为 1，得 x 2+ b a x=- c a 配方，得：x 2+ b a x+（ 2 b a ）2=- c a +（ 2 b a ）2 即（x+ 2 b a ）2= 2 2 4 4 b ac a − ∵b 2 -4ac≥0 且 4a 2>0 ∴ 2 2 4 4 b ac a − ≥0 直接开平方，得：x+ 2 b a =± 2 4 2 b ac a − 即 x= 2 4 2 b b ac a − − ∴x1= 2 4 2 b b ac a − + − ，x2= 2 4 2 b b ac a − − − 由上可知，一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当 b-4ac≥0 时，• 将 a、b、c 代 入式子 x= 2 4 2 b b ac a − − 就得到方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例 1．用公式法解下列方程． （1）2x 2 -4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2 -3x+1=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1 b 2 -4ac=（-4）2 -4×2×（-1）=24>0 x= ( 4) 24 4 2 6 2 6 2 2 4 2 − − = = ∴x1= 2 6 2 + ，x2= 2 6 2 −
(2)将方程化为一般形式 a=3,b=-5,c=2 b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49>0 -(-5)±√495±7 (3)将方程化为一般形式 3x2-11x+9=0 a=3,b=-11,c=9 b2-4ac=(-11)2-4×3×9=13>0 -(-1)√1311± 2×3 6 l1- (3)a=4,b=3,c=1 b2-4ac=(-3)24×4×1=7<0 因为在实数范围内,负数不能开平方,所以方程无实数根 、巩固练习 教材P43随堂练习 四、应用拓展 例.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)xm+2+(m-2)x-1=0提出了下列问题 (1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程 (2)若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出 你能解决这个问题吗? 分析:能.(1)要使它为一元二次方程,必须满足m2+1=2,同时还要满足(m+1)≠0 (2)要使它为一元一次方程,必须满足: m m2+1=0 m+1=0 ① 或② (m+1)+(m-2)≠0m-2≠0 0 解:(1)存在.根据题意,得:m2+1=2 1 当m=1时,m+1=1+1=2≠0 当m=1时,m+1=-1+1=0(不合题意,舍去) 当m=1时,方程为2x2-1-=0 a=2,b=-1 b2-4ac=(-1)2.4×2×(-1)=1+8=9 √5
（2）将方程化为一般形式 3x 2 -5x-2=0 a=3，b=-5，c=-2 b 2 -4ac=（-5）2 -4×3×（-2）=49>0 x= ( 5) 49 5 7 2 3 6 − − = x1=2，x2=- 1 3 （3）将方程化为一般形式 3x 2 -11x+9=0 a=3，b=-11，c=9 b 2 -4ac=（-11）2 -4×3×9=13>0 ∴x= ( 11) 13 11 13 2 3 6 − − = ∴x1= 11 13 6 + ，x2= 11 13 6 − （3）a=4，b=-3，c=1 b 2 -4ac=（-3）2 -4×4×1=-7<0 因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根． 三、巩固练习 教材 P43 随堂练习 四、应用拓展 例．某数学兴趣小组对关于 x 的方程（m+1） 2 m 2 x + +（m-2）x-1=0 提出了下列问题． （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程 m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足 m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足: ① 2 1 1 ( 1) ( 2) 0 m m m + = + + − 或② 2 1 0 2 0 m m + = − 或③ 1 0 2 0 m m + = − 解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2 m2=1 m=±1 当 m=1 时，m+1=1+1=2≠0 当 m=-1 时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当 m=1 时，方程为 2x 2 -1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b 2 -4ac=（-1）2 -4×2×（-1）=1+8=9 x= ( 1) 9 1 3 2 2 4 − − =
X1=,X2=- 因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x1=1,x2= (2)存在.根据题意,得:①m2+1=1,m2=0,m=0 因为当m=0时,(m+1)+(m-2)=2m-1=1≠0 所以m=0满足题意 ②当m2+1=0,m不存在 ③当m+1=0,即m=1时,m-2=3≠0 所以m=1也满足题意 当m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0, 解得:x=1 当m=-1时,一元一次方程是-3x-1=0 解得ⅹ= 因此,当m=0或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=1;当m=·1时, 其一元一次方程的根为x= 五、归纳小结 本节课应掌握: (1)求根公式的概念及其推导过程 (2)公式法的概念; (3)应用公式法解一元二次方程; (4)初步了解一元二次方程根的情况 六、布置作业 1.教材P43习题2.51、2 2.选用作业设计 、选择题 用公式法解方程4x2-12x=3,得到( -3± √6 -3±2 √3 3±2 2.方程√2x2+43x+6√2=0的根是( A.x1=√,x=√3 √2 3.(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0,则m2-n2的值是() 4B.-2C.4或2D.-4或2 、填空题 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是 条件是 2.当x=时,代数式x2-8x+12的值是4 3.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m3=0有一根为0,则m的值是 三、综合提高题 1.用公式法解关于x的方程:x2-2ax-b2+a2=0 2.设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,(1)试推导x1+x2=-,x1x2=-:(2)·
x1=，x2=- 1 2 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根 x1=1，x2=- 1 2 ． （2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0 因为当 m=0 时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以 m=0 满足题意． ②当 m2+1=0，m 不存在． ③当 m+1=0，即 m=-1 时，m-2=-3≠0 所以 m=-1 也满足题意． 当 m=0 时，一元一次方程是 x-2x-1=0， 解得：x=-1 当 m=-1 时，一元一次方程是-3x-1=0 解得 x=- 1 3 因此，当 m=0 或-1 时，该方程是一元一次方程，并且当 m=0 时，其根为 x=-1；当 m=-• 1 时， 其一元一次方程的根为 x=- 1 3 ． 五、归纳小结 本节课应掌握： （1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念； （3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况． 六、布置作业 1．教材 P43 习题 2.5 1、2 2．选用作业设计: 一、选择题 1．用公式法解方程 4x2 -12x=3，得到（ ）． A．x= 3 6 2 − B．x= 3 6 2 C．x= 3 2 3 2 − D．x= 3 2 3 2 2．方程 2 x 2+4 3 x+6 2 =0 的根是（ ）． A．x1= 2 ，x2= 3 ；B．x1=6，x2= 2 ；C．x1=2 2 ，x2= 2 ；D．x1=x2=- 6 3．（m2 -n 2）（m2 -n 2 -2）-8=0，则 m2 -n 2 的值是（ ）． A．4 B．-2 C．4 或-2 D．-4 或 2 二、填空题 1．一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________． 2．当 x=______时，代数式 x 2 -8x+12 的值是-4． 3．若关于 x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m2+2m-3=0 有一根为 0，则 m 的值是_____． 三、综合提高题 1．用公式法解关于 x 的方程：x 2 -2ax-b 2+a2=0． 2．设 x1，x2 是一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导 x1+x2=- b a ，x1·x2= c a ；（2）•
求代数式a(x13+x23)+b(x12+x2)+c(x1+x2)的值 3.某电厂规定:该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时,·那么这户居民这个月只交 0元电费,如果超过A千瓦时,那么这个月除了交10·元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费 100 (1)若某户2月份用电90千瓦时,超过规定A千瓦时,则超过部分电费为多少元?(·用A表示) (2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况 月份用电量(千瓦时)交电费总金额(元) 80 10 根据上表数据,求电厂规定的A值为多少?
求代数式 a（x1 3+x2 3）+b（x1 2+x2 2）+c（x1+x2）的值． 3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过 A 千瓦时，• 那么这户居民这个月只交 10 元电费，如果超过 A 千瓦时，那么这个月除了交 10• 元用电费外超过部分还要按每千瓦时 100 A 元收费． （1）若某户 2 月份用电 90 千瓦时，超过规定 A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（• 用 A 表示） （2）下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况 月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元） 3 80 25 4 45 10 根据上表数据，求电厂规定的 A 值为多少？