第2课时菱形的判定 教学目标 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, 1.理解并掌握菱形的判定方法;(重点) ∴∠FDO=∠EBO 2.灵活运用菱形的判定方法进行有关 又∵EF垂直平分BD, 的证明和计算.(难点) ∴OB=OD 在△DOF和△BOE中 教学心程 ∠FDO=∠EBO 、情景导入 OD=OB 木工在做菱形的窗格时,总是保证四条 ∠FOD=∠EOB 边框一样长,你知道其中的道理吗?借助以 △DOF≌△BOE(ASA) 下图形探索:如图,在四边形ABCD中,AB BC=CD=DA,试说明四边形ABCD是菱 ∴四边形DEBF是平行四边形 又∵EF⊥BD 四边形DEBF是菱形 D 方法总结:用此方法也可以说是对角线 互相垂直平分的四边形是菱形,但对角线互 相垂直的四边形不一定是菱形,必须强调对 合作探究 角线是互相垂直且平分的 探究点一:对角线互相垂直的平行四边 探究点二:四边相等的四边形是菱形 形是菱形 团例2如图所示,在△ABC中,∠B= 例】如图所示,ABCD的对角线BD90°,AB=6cm,BC=8cm将△ABC沿射线 的垂直平分线与边AB,CD分别交于点E, BC方向平移10cm,得到△DEF,A,B,C F求证:四边形DEBF是菱形 的对应点分别是D,E,F,连接AD求证 解析:本题首先应用到平行四边形的性四边形ACFD是菱形 质,其次应用到菱形的判定方法.要证四边 形DEBF是菱形,可以先证明其为平行四边 解析:根据平移的性质可得CF=AD= 形,再利用“对角线互相垂直”证明其为菱 10cm,DF=AC,再在Rt△ABC中利用勾股 形 定理求出AC的长为10cm就可以根据四边 相等的四边形是菱形得到结论
第 2 课时 菱形的判定 1．理解并掌握菱形的判定方法；(重点) 2．灵活运用菱形的判定方法进行有关 的证明和计算．(难点) 一、情景导入 木工在做菱形的窗格时，总是保证四条 边框一样长，你知道其中的道理吗？借助以 下图形探索：如图，在四边形 ABCD 中，AB ＝BC＝CD＝DA，试说明四边形 ABCD 是菱 形． 二、合作探究 探究点一：对角线互相垂直的平行四边 形是菱形 如图所示， ABCD 的对角线 BD 的垂直平分线与边 AB，CD 分别交于点 E， F.求证：四边形 DEBF 是菱形． 解析：本题首先应用到平行四边形的性 质，其次应用到菱形的判定方法．要证四边 形 DEBF 是菱形，可以先证明其为平行四边 形，再利用“对角线互相垂直”证明其为菱 形． 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC. ∴∠FDO＝∠EBO. 又∵EF 垂直平分 BD， ∴OB＝OD. 在△DOF 和△BOE 中， ∠FDO＝∠EBO， OD＝OB， ∠FOD＝∠EOB， ∴△DOF≌△BOE(ASA)． ∴OF＝OE. ∴四边形 DEBF 是平行四边形． 又∵EF⊥BD， ∴四边形 DEBF 是菱形． 方法总结：用此方法也可以说是对角线 互相垂直平分的四边形是菱形，但对角线互 相垂直的四边形不一定是菱形，必须强调对 角线是互相垂直且平分的． 探究点二：四边相等的四边形是菱形 如图所示，在△ABC 中，∠B＝ 90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC 沿射线 BC 方向平移 10cm，得到△DEF，A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，连接 AD.求证： 四边形 ACFD 是菱形． 解析：根据平移的性质可得 CF＝AD＝ 10cm，DF＝AC，再在 Rt△ABC 中利用勾股 定理求出 AC 的长为 10cm，就可以根据四边 相等的四边形是菱形得到结论．
证明:由平移变换的性质得CF=AD= 10cm, DF=AC 证出这个四边形是平行四边形,然后用定义 ∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm, ∴AC=VAB2+BC +82= 法或判定定理1来证明菱形 cm), 、板书设计 ∴AC=DF=AD=CF=10cm, 菱形的 四边形ACFD是菱形 方法总结:当四边形的条件中存在多个 有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义) 关于边的等量关系时,运用四条边都相等来四边相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 判定一个四边形是菱形比较方便 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 探究点三:菱形的判定和性质的综合应 数学反思 用 例3如图所示,在△ABC中,D、E分 经历菱形的证明、猜想的过程,进一步 别是AB、AC的中点,BE=2DE,延长DE提高学生的推理论证能力,体会证明过程中 到点F,使得EF=BE,连接CF 所运用的归纳概括 以及转化等数学方法.在菱形的判定方法的 探索与综合应用中,培养学生的观察能力、 动手能力及逻辑思维能力 (1)求证:四边形BCFE是菱形 (2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形 BCFE的面积 (1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中 点, ∴DE∥BC且2DE=BC 又∵BE=2DE,EF=BE, ∴EF=BC,EF∥BC 四边形BCFE是平行四边形 又∵EF=BE, ∴四边形BCFE是菱形; (2)解:∴∠BCF=120°,∴∠EBC=60°, ∴△EBC是等边三角形, ∵菱形的边长为4,高为2√3 ∴菱形的面积为4×23 方法总结:判定一个四边形是菱形时 要结合条件灵活选择方法.如果可以证明四 条边相等,可直接证出菱形;如果只能证出 一组邻边相等或对角线互相垂直,可以尝试
证明：由平移变换的性质得 CF＝AD＝ 10cm，DF＝AC. ∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴AC ＝ AB2＋BC2 ＝ 6 2＋8 2 ＝ 10(cm)， ∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm， ∴四边形 ACFD 是菱形． 方法总结：当四边形的条件中存在多个 关于边的等量关系时，运用四条边都相等来 判定一个四边形是菱形比较方便． 探究点三：菱形的判定和性质的综合应 用 如图所示，在△ABC 中，D、E 分 别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF. (1)求证：四边形 BCFE 是菱形； (2)若 CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面积． (1)证明：∵D、E 分别是 AB、AC 的中 点， ∴DE∥BC 且 2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形 BCFE 是平行四边形． 又∵EF＝BE， ∴四边形 BCFE 是菱形； (2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°， ∴△EBC 是等边三角形， ∴菱形的边长为 4，高为 2 3， ∴菱形的面积为 4×2 3＝8 3. 方法总结：判定一个四边形是菱形时， 要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四 条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出 一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试 证出这个四边形是平行四边形，然后用定义 法或判定定理 1 来证明菱形． 三、板书设计 菱形的 判 定 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义） 四边相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 经历菱形的证明、猜想的过程，进一步 提高学生的推理论证能力，体会证明过程中 所运用的归纳概括 以及转化等数学方法．在菱形的判定方法的 探索与综合应用中，培养学生的观察能力、 动手能力及逻辑思维能力