上,且AE平分∠BAC若BE=4,AC=15, 则△AEC的面积为() 1.2矩形的性质与判定 D 第1课时矩形的性质 教学目标一 A.15 B.30 掌握矩形的概念和性质,理解矩形 C.45 与平行四边形的区别与联系;(重点) D.60 2.会运用矩形的概念和性质来解决有 解析:如图,过E作EF⊥AC,垂足为 关问题,(难点) ∵AE平分∠BAC,EF⊥AC,BE⊥AB, 数学过程 ∴EF=BE=4, 情景导入 1.展示生活中一些平行四边形的实际 S△AEC=ACEF=×15×4=30.故 应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架 等),想一想:这里面应用了平行四边形的选B 什么性质? 2.思考:拿一个活动的平行四边形教 方法总结:矩形的四个角都是直角,常 具,轻轻拉动一个点,不管怎么拉,它还是 一个平行四边形吗?为什么?(动画演示拉作为证明或求值的隐含条件 动过程如图) 3.再次演示平行四边形的移动过程, 【类型二】矩形的对角线相等 当移动到一个角是直角时停止,让学生观察 例2如图所示,矩形ABCD的两条对 这是什么图形(小学学过的长方形,引出本角线相交于点O,∠AOD=60°,AD=2,则 课题及矩形定义 AC的长是( 平行四边形∥有一个角是直角 矩形 矩形是我们最常见的图形之一,例如书 B.4 桌面、教科书的封面等都是矩形. 有一个角是直角的平行四边形是矩 √3 形.矩形是平行四边形,但平行四边形不 解析:根据矩形的对角线互相平分且相 定是矩形,矩形是特殊的平行四边形,它具 有平行四边形的所有性质 等可得OC=OD=OA=4C,由∠AOD 二、合作探究 探究点一:矩形的性质 60°得△AOD为等边三角形,即可求出AC 【类型一】矩形的四个角都是直角 例如图,矩形ABCD中,点E在BC的长
1．2 矩形的性质与判定 第 1 课时 矩形的性质 1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形 与平行四边形的区别与联系；(重点) 2．会运用矩形的概念和性质来解决有 关问题．(难点) 一、情景导入 1．展示生活中一些平行四边形的实际 应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架 等)，想一想：这里面应用了平行四边形的 什么性质？ 2．思考：拿一个活动的平行四边形教 具，轻轻拉动一个点，不管怎么拉，它还是 一个平行四边形吗？为什么？(动画演示拉 动过程如图) 3．再次演示平行四边形的移动过程， 当移动到一个角是直角时停止，让学生观察 这是什么图形(小学学过的长方形)，引出本 课题及矩形定义． 矩形是我们最常见的图形之一，例如书 桌面、教科书的封面等都是矩形． 有一个角是直角的平行四边形是矩 形．矩形是平行四边形，但平行四边形不一 定是矩形，矩形是特殊的平行四边形，它具 有平行四边形的所有性质． 二、合作探究 探究点一：矩形的性质 【类型一】 矩形的四个角都是直角 如图，矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，且 AE 平分∠BAC.若 BE＝4，AC＝15， 则△AEC 的面积为( ) A．15 B．30 C．45 D．60 解析：如图，过 E 作 EF⊥AC，垂足为 F. ∵AE 平分∠BAC，EF⊥AC，BE⊥AB， ∴EF＝BE＝4， ∴S△AEC＝ 1 2 AC·EF＝ 1 2 ×15×4＝30.故 选 B. 方法总结：矩形的四个角都是直角，常 作为证明或求值的隐含条件． 【类型二】 矩形的对角线相等 如图所示，矩形 ABCD 的两条对 角线相交于点 O，∠AOD＝60°，AD＝2，则 AC 的长是( ) A．2 B．4 C．2 3 D．4 3 解析：根据矩形的对角线互相平分且相 等可得 OC＝OD＝OA＝ 1 2 AC，由∠AOD＝ 60°得△AOD 为等边三角形，即可求出 AC 的长．
∵BD,CE是△ABC的高, ∵四边形ABCD为矩形, ∠BDC=∠BEC=90° ∵点G是BC的中点, .AC=BD OA=OC=-AC OD=OB ∴EG=BC,DG==BC ==BD, EG=DO 又∵点F是DE的中点, OA=OD.∵∴∠AOD=60 ∴GF⊥DE ∴△AOD为等边三角形, 方法总结:在直角三角形中,遇到斜边 OA=OD=2,∴AC=2OA=4 中点常作斜边中线,进而可将问题转化为等 故选B 腰三角形的问题,然后利用等腰三角形“ 方法总结:矩形的两条对角线互相平分线合一”的性质解题 且相等,即对角线把矩形分成四个等腰三角 探究点三:矩形的性质的应用 形,当两条对角线的夹角为6012时,段的长飞一】利矩形的性质求有关线 【类 圆4如图,已知矩形ABCD中,E是 AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC, 图中有等边三角形,从而可以利用等边三角 且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD的周长 为32cm,求AE的长 形的性质解题 探究点二:直角三角形斜边上的中线等 解析:先判定△AEF≌△DCE,得CD 于斜边的一半 3如图,已知BD,CE是△ABC不 =AE,再根据矩形的周长为32列方程求出 同边上的高,点G,F分别是BC,DE的中 点,试说明GF⊥DE AE的长 解析:本题的已知条件中已经有直角三 角形,有斜边上的中点,由此可联想到应用 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的 解:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠D=90°, ∵∠CED+∠ECD=90° 半”这一定理 又∵EF⊥E AEF+∠CED=90°, ∴∠AEF=∠ECD 而EF=EC, ∴△AEF≌△DCE, ∴AE=CD 解:连接EG,DG ∴CD=xcm,AD=(x+4)cm
∵四边形 ABCD 为矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC＝ 1 2 AC，OD＝OB ＝ 1 2 BD， ∴OA＝OD.∵∠AOD＝60°， ∴△AOD 为等边三角形， ∴OA＝OD＝2，∴AC＝2OA＝4. 故选 B. 方法总结：矩形的两条对角线互相平分 且相等，即对角线把矩形分成四个等腰三角 形，当两条对角线的夹角为 60°或 120°时， 图中有等边三角形，从而可以利用等边三角 形的性质解题． 探究点二：直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半 如图，已知 BD，CE 是△ABC 不 同边上的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中 点，试说明 GF⊥DE. 解析：本题的已知条件中已经有直角三 角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半”这一定理． 解：连接 EG，DG. ∵BD，CE 是△ABC 的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点 G 是 BC 的中点， ∴EG＝ 1 2 BC，DG＝ 1 2 BC. ∴EG＝DG. 又∵点 F 是 DE 的中点， ∴GF⊥DE. 方法总结：在直角三角形中，遇到斜边 中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等 腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三 线合一”的性质解题． 探究点三：矩形的性质的应用 【类型一】 利用矩形的性质求有关线 段的长度 如图，已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 上的一点，F 是 AB 上的一点，EF⊥EC， 且 EF＝EC，DE＝4cm，矩形 ABCD 的周长 为 32cm，求 AE 的长． 解析：先判定△AEF≌△DCE，得 CD ＝AE，再根据矩形的周长为 32 列方程求出 AE 的长． 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠CED＋∠ECD＝90°. 又∵EF⊥EC， ∴∠AEF＋∠CED＝90°， ∴∠AEF＝∠ECD. 而 EF＝EC， ∴△AEF≌△DCE， ∴AE＝CD. 设 AE＝xcm， ∴CD＝xcm，AD＝(x＋4)cm
则有x+4+x=16,解得x=6 团6如图所示,EF过矩形ABCD对角 即AE的长为6cm. 线的交点O,且分别交AB、CD于E、F, 那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的 方法总结:矩形的各角为直角,常作为() 全等的一个条件用来证三角形全等,可借助 直角的条件解决直角三角形中的问题 【类型二】利用矩形的性质求有关角 度的大小 例5如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD 于E,∠DAE:∠BAE=3:1,求∠BAE和 ∠EAO的度数 O 解析:由四边形ABCD为矩形,易证得 △BEO≌△DFO,则阴影部分的面积等于 解析:由∠BAE与∠DE之和为90°及 △AOB的面积,而△AOB的面积为矩形 这两个角之比可求得这两个角的度数,从而 ABCD面积的,故阴影部分的面积为矩形 得∠ABO的度数,再根据矩形的性质易得 面积的,故选B ∠EAO的度数 解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB 方法总结:求阴影部分的面积时,当阴 影部分不规则或比较分散时,通常运用割补 A0=-AC, BO=-BD, AC=BD, ∠BAE+∠DAE=90°,AO=BO 法将阴影部分转化为较规则的图形,再求其 又∵∠DAE:∠BAE=3:1 面积 ∠BAE=22.5°,∠DAE=67.5° AE⊥BD, 【类型四】矩形中的折叠问题 ∠ABE=90°—∠BAE=90°-22.5°= 7如图,将矩形ABCD沿着直线BD 67.5°, 折叠,使点C落在C处,BC交AD于点E ∴∠OAB=∠ABE=675° AD=8,AB=4,求△BED的面积 ∠EAO=67.5°-22.5°=45 解析:这是一道折叠问题,折后的图形 方法总结:矩形的性质是证明线段相等 与原图形全等,从而得知△BCD≌△BCD 或倍分、角的相等与求值及线段平行或垂直 则易得BE=DE在Rt△ABE中,利用勾股 的重要依据 【类型三】利用矩形的性质求图形的 定理列方程求出BE的长,即可求得△BED 的面积
则有 x＋4＋x＝16，解得 x＝6. 即 AE 的长为 6cm. 方法总结：矩形的各角为直角，常作为 全等的一个条件用来证三角形全等，可借助 直角的条件解决直角三角形中的问题． 【类型二】 利用矩形的性质求有关角 度的大小 如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于 E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE 和 ∠EAO 的度数． 解析：由∠BAE 与∠DAE 之和为 90°及 这两个角之比可求得这两个角的度数，从而 得∠ABO 的度数，再根据矩形的性质易得 ∠EAO 的度数． 解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°， AO＝ 1 2 AC，BO＝ 1 2 BD，AC＝BD， ∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO. 又∵∠DAE：∠BAE＝3：1， ∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°. ∵AE⊥BD， ∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝ 67.5°， ∴∠OAB＝∠ABE＝67.5° ∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°. 方法总结：矩形的性质是证明线段相等 或倍分、角的相等与求值及线段平行或垂直 的重要依据． 【类型三】 利用矩形的性质求图形的 面积 如图所示，EF 过矩形 ABCD 对角 线的交点 O，且分别交 AB、CD 于 E、F， 那么阴影部分的面积是矩形 ABCD 面积的 ( ) A.1 5 B.1 4 C.1 3 D. 3 10 解析：由四边形 ABCD 为矩形，易证得 △BEO≌△DFO，则阴影部分的面积等于 △AOB 的面积，而△AOB 的面积为矩形 ABCD 面积的1 4 ，故阴影部分的面积为矩形 面积的1 4 .故选 B. 方法总结：求阴影部分的面积时，当阴 影部分不规则或比较分散时，通常运用割补 法将阴影部分转化为较规则的图形，再求其 面积． 【类型四】 矩形中的折叠问题 如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C′处，BC′交 AD 于点 E， AD＝8，AB＝4，求△BED 的面积． 解析：这是一道折叠问题，折后的图形 与原图形全等，从而得知△BCD≌△BC′D， 则易得 BE＝DE.在 Rt△ABE 中，利用勾股 定理列方程求出 BE 的长，即可求得△BED 的面积．
解:∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC,∠A=90° 又由折叠知△BCD≌△BCD, ∠1=∠2 ∴∠1=∠3.∴BE=DE 设BE=DE=x,则AE=8-x ∴在Rt△ABE中,AB2+AE2=BE2, ∴42+(8-x)2=x2.解得x=5 即DE=5 ∵S△BED=DE·AB==×5×4=10 方法总结:矩形的折叠问题是常见的问 题本题的易错点是对△BED是等腰三角形 认识不足,解题的关键是对折叠后的几何形 状要有一个正确的分析 三、板书设计 矩形 矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形 叫做矩形 四个角都是直角 矩形的性质两组对边分别平行且相等 对角线互相平分且相等 教学反思 经历矩形的概念和性质的探索过程,把握平 行四边形的演变过程,迁移到矩形的概念与 性质上来,明确矩形是特殊的平行四边 形.培养学生的推理能力以及自主合作精 神,掌握几何思维方法,体会逻辑推理的思 维价值
解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠2＝∠3. 又由折叠知△BC′D≌△BCD， ∴∠1＝∠2. ∴∠1＝∠3.∴BE＝DE. 设 BE＝DE＝x，则 AE＝8－x. ∵在 Rt△ABE 中，AB2＋AE2＝BE2， ∴4 2＋(8－x) 2＝x 2 .解得 x＝5， 即 DE＝5. ∴S△BED＝ 1 2 DE·AB＝ 1 2 ×5×4＝10. 方法总结：矩形的折叠问题是常见的问 题，本题的易错点是对△BED 是等腰三角形 认识不足，解题的关键是对折叠后的几何形 状要有一个正确的分析． 三、板书设计 矩形 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形 叫做矩形 矩形的性质 四个角都是直角 两组对边分别平行且相等 对角线互相平分且相等 经历矩形的概念和性质的探索过程，把握平 行四边形的演变过程，迁移到矩形的概念与 性质上来，明确矩形是特殊的平行四边 形．培养学生的推理能力以及自主合作精 神，掌握几何思维方法，体会逻辑推理的思 维价值