公式可得x=214 2.3用公式法求解一元二 故答案分别为3x2-7x-8=0,3,-7 次方程 方法总结:一元二次方程ax2+bx+c= 第1课时用公式法求解一 0(a≠0)的根是由方程的系数a,b,c确定的, 元二次方程 只要确定了系数a,b,c的值,代入公式就 教学目标一 可求得方程的根 1.理解一元二次方程求根公式的推导 2用公式法解下列方程 过程 (1)-3x2-5x+2=0;(2)2x2+3x+3= 2.会用公式法解一元二次方程;(重点)0: 会用根的判别式b2-4ac判断一元 (3)x2-2x+1=0 二次方程根的情况及相关应用.(难点) 解析:先确定a,b,c及b-4ac的值, 教学心程 再代入公式求解即可 解: (1)-3x2-5x+2=0,3x2+5x-2 、情景导入 如果这个一元二次方程是一般形式ax2 a=3,b=5,c=-2 +bx+c=0(a≠0),你能否用配方法的步骤 ∴b2-4ac=52-4×3×(-2)=49>0, 求出它们的两根?请同学独立完成下面这 个问题 问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0),且 b2-4ac≥0,试推导它的两个根x1= b+b2-4ac-b-b (2)∵a=2,b=3,c=3 b2-4ac=32-4×2×3=9-24 二、合作探究 150,代入求根 公式中a,b,c的值,再求出b2-4ac的值
2．3 用公式法求解一元二 次方程 第 1 课时 用公式法求解一 元二次方程 1．理解一元二次方程求根公式的推导 过程； 2．会用公式法解一元二次方程；(重点) 3．会用根的判别式 b 2－4ac 判断一元 二次方程根的情况及相关应用．(难点) 一、情景导入 如果这个一元二次方程是一般形式 ax 2 ＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用配方法的步骤 求出它们的两根？请同学独立完成下面这 个问题． 问题：已知 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，且 b 2 － 4ac≥0 ，试推导它的两个根 x1 ＝ －b＋ b 2－4ac 2a ，x2＝ －b－ b 2－4ac 2a . 二、合作探究 探究点一：用公式法解一元二次方程 方程 3x 2－8＝7x 化为一般形式是 __________ ， 其 中 a ＝ ________ ， b ＝ ________ ， c ＝ ________ ， 方 程 的 根 为 ____________． 解析：将方程移项可化为 3x 2－7x－8＝ 0.其中 a＝3，b＝－7，c＝－8，因为 b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根 公式可得 x＝ 7± 145 6 . 故答案分别为 3x 2－7x－8＝0，3，－7， －8， 7± 145 6 . 方法总结：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)的根是由方程的系数 a，b，c 确定的， 只要确定了系数 a，b，c 的值，代入公式就 可求得方程的根． 用公式法解下列方程： (1)－3x 2－5x＋2＝0; (2)2x 2＋3x＋3＝ 0； (3)x 2－2x＋1＝0. 解析：先确定 a，b，c 及 b 2－4ac 的值， 再代入公式求解即可． 解：(1)－3x 2－5x＋2＝0，3x 2＋5x－2 ＝0. ∵a＝3，b＝5，c＝－2， ∴b 2－4ac＝5 2－4×3×(－2)＝49＞0， ∴x＝ －5± 49 2×3 ＝ －5±7 6 ， ∴x1＝ 1 3 ，x2＝－2； (2)∵a＝2，b＝3，c＝3， ∴b 2－4ac＝3 2－4×2×3＝9－24＝－ 15＜0， ∴原方程没有实数根； (3)∵a＝1，b＝－2，c＝1， ∴b 2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0， ∴x＝ 2± 0 2×1 ＝ 2±0 2 ， ∴x1＝x2＝1. 方法总结：用公式法解一元二次方程 时，首先应将其变形为一般形式，然后确定 公式中 a，b，c 的值，再求出 b 2－4ac 的值
与0比较,最后利用求根公式求出方程的次项系数不为0,即 根或说明其没有实数根) (-2)2-4k(-1)>0, 解得心-1且 探究点二:一元二次方程根的判别式 k≠0 【类型一】用根的判别式判断一元二 次方程根的情况 k≠0,故选B 团例3己知一元二次方程x2+x=1,下 列判断正确的是() 易错提醒:利用b2-4ac判断元二次 A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 方程根的情况时,容易忽略二次项系数不能 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 等于0这一条件,本题中容易误选A 解析:原方程变形为x2+x-1=0.∵b2 【类型三】根的判别式与三角形的综 合应用 例5己知a,b,c分别是△ABC的三 -4ac=12-4×1×(-1)=5>0,∴该方程边长,当m>0时,关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根,故选B c(x2+m)+b(x2-m)-2Vmax=0有两个相 等的实数根,请判断△ABC的形状 方法总结:判断一元二次方程根的情况 解析:先将方程转化为一般形式,再根 的方法:利用根的判别式判断元二次方程据根的判别式确定a,b,c之间的关系,即 根的情况时,要先把方程转化为一般形式可判定△ABC的形状 解:将原方程转化为一般形式,得(b+ x2+bx+c=0(a≠0).当b2-4ac>0时,方 2vm ar+(c-b)m=0 ∵原方程有两个相等的实数根 程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0 (-2Vma)2-4(b+c)(c-b)m=0 即4m(a2+b2-c2)=0 时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac 又∵m≠0,∴a2+b2-c2=0,即a2+b2 -1B.A-1且k≠0 况,利用判别式得到关于一元二次方程系数 C.k0,同时要求二
与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的 根(或说明其没有实数根)． 探究点二：一元二次方程根的判别式 【类型一】 用根的判别式判断一元二 次方程根的情况 已知一元二次方程 x 2＋x＝1，下 列判断正确的是( ) A．该方程有两个相等的实数根 B．该方程有两个不相等的实数根 C．该方程无实数根 D．该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为 x 2＋x－1＝0.∵b 2 －4ac＝1 2－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程 有两个不相等的实数根，故选 B. 方法总结：判断一元二次方程根的情况 的方法：利用根的判别式判断一元二次方程 根的情况时，要先把方程转化为一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．当 b 2－4ac＞0 时，方 程有两个不相等的实数根；当 b 2－4ac＝0 时，方程有两个相等的实数根；当 b 2－4ac ＜0 时，方程无实数根． 【类型二】 根据方程根的情况确定字 母的取值范围 若关于 x 的一元二次方程 kx2－2x －1＝0，有两个不相等的实数根，则 k 的取 值范围是( ) A．k>－1 B．k>－1 且 k≠0 C．k0，同时要求二 次项系数不为 0 ， 即 （－2）2－4·k·（－1）>0， k≠0. 解得 k>－1 且 k≠0，故选 B. 易错提醒：利用 b 2－4ac 判断一元二次 方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能 等于 0 这一条件，本题中容易误选 A. 【类型三】 根的判别式与三角形的综 合应用 已知 a，b，c 分别是△ABC 的三 边长，当 m>0 时，关于 x 的一元二次方程 c(x 2＋m)＋b(x 2－m)－2 m ax＝0 有两个相 等的实数根，请判断△ABC 的形状． 解析：先将方程转化为一般形式，再根 据根的判别式确定 a，b，c 之间的关系，即 可判定△ABC 的形状． 解：将原方程转化为一般形式，得(b＋ c)x 2－2 m ax＋(c－b)m＝0. ∵原方程有两个相等的实数根， ∴(－2 m a) 2－4(b＋c)(c－b)m＝0， 即 4m(a 2＋b 2－c 2 )＝0. 又∵m≠0，∴a 2＋b 2－c 2＝0，即 a 2＋b 2 ＝c 2 . 根据勾股定理的逆定理可知△ABC 为 直角三角形． 方法总结：根据一元二次方程根的情 况，利用判别式得到关于一元二次方程系数 的等式或不等式，再结合其他条件解题． 三、板书设计
用公式法解一元二次方程 错误! 教学反思 经历从用配方法解数字系数的一元二次方 程到解字母系数的一元二次方程,探索求根 公式,发展学生合情合理的推理能力,并认 识到配方法是理解求根公式的基础.通过对 求根公式的推导,认识到一元二次方程的求 根公式适用于所有的一元二次方程,操作简 单.体会数式通性,感受数学的严谨性和数 学结论的确定性.提高学生的运算能力,并 养成良好的运算习惯
用 公 式 法 解 一 元 二 次 方 程 错误! 经历从用配方法解数字系数的一元二次方 程到解字母系数的一元二次方程，探索求根 公式，发展学生合情合理的推理能力，并认 识到配方法是理解求根公式的基础．通过对 求根公式的推导，认识到一元二次方程的求 根公式适用于所有的一元二次方程，操作简 单．体会数式通性，感受数学的严谨性和数 学结论的确定性．提高学生的运算能力，并 养成良好的运算习惯