圆1要对一块长60米,宽40米的矩 形荒地ABCD进行绿化和硬化.设计方案如 2.6应用一元二次方程 图所示,矩形P,Q为两块绿地,其余为硬 化路面,P,Q两块绿地周围的硬化路面宽 都相等,并使两块绿地面积的和为矩形 第1课时几何问题及数字 ABCD面积的求P,Q两块绿地周围的硬 问题与一元二次方程 化路面的宽 教学目标 1.掌握列一元二次方程解决几何问题、 数学问题,并能根据具体问题的实际意义, 解:设P,Q两块绿地周围的硬化路面 检验结果的合理性:(重点、难点) 的宽为x米 2.理解将一些实际问题抽象为方程模 根据题意,得(60-3x)(40-2x)= 型的过程,形成良好的思维习惯,学会从数60×4 学的角度提出问题、分析问题,并能运用所 学的知识解决问题 解得x1=10,x2=30 检验:如果硬化路面宽为30米,则 2×30=60>40,所以x=30不符合题意, 舍去,故x=10 教学过程 故P,Q两块绿地周围的硬化路面的宽 、情景导入 为10米 要设计一本书的封面,封面长27cm, 易错提醒:在应用题中,未知数的允许 宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比 例相同的矩形,如果要使四周的彩色边衬所值往往有一定的限制,因此除了检验未知数 占面积是封面面积的四分之一,上下边衬等 宽,左右边衬等宽,应如何设计四周边衬的的值是否满足所列方程外,还必须检验它在 宽度(精确到0.lcm)? 实际问题中是否有意义.在求出方程的解为 10或30时,如果不进行验根,就会误以为 本题有两个答案,而题目中明确有“荒地 ABCD是一块长60米,宽40米的矩形”这 个已知条件,显然x=30不符合题意 【类型二】动点问题 、合作探究 2如图所示,A,B,C,D为矩形 探究点一:利用一元二次方程解决几何的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,P,Q 问题 分别从点A,C同时出发,点P以3cm/s的 【类型一】面积问题 速度向点B运动,一直到达B为止,点Q
2．6 应用一元二次方程 第 1 课时 几何问题及数字 问题与一元二次方程 1．掌握列一元二次方程解决几何问题、 数学问题，并能根据具体问题的实际意义， 检验结果的合理性；(重点、难点) 2．理解将一些实际问题抽象为方程模 型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数 学的角度提出问题、分析问题，并能运用所 学的知识解决问题． 一、情景导入 要设计一本书的封面，封面长 27cm， 宽 21cm，正中央是一个与整个封面长宽比 例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所 占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等 宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的 宽度(精确到 0.1cm)? 二、合作探究 探究点一：利用一元二次方程解决几何 问题 【类型一】 面积问题 要对一块长 60 米，宽 40 米的矩 形荒地 ABCD 进行绿化和硬化．设计方案如 图所示，矩形 P，Q 为两块绿地，其余为硬 化路面，P，Q 两块绿地周围的硬化路面宽 都相等，并使两块绿地面积的和为矩形 ABCD 面积的1 4 ，求 P，Q 两块绿地周围的硬 化路面的宽． 解：设 P，Q 两块绿地周围的硬化路面 的宽为 x 米． 根据题意，得 (60－ 3x)·(40 － 2x) ＝ 60×40× 1 4 ， 解得 x1＝10，x2＝30. 检验：如果硬化路面宽为 30 米，则 2×30＝60＞40，所以 x2＝30 不符合题意， 舍去，故 x＝10. 故 P，Q 两块绿地周围的硬化路面的宽 为 10 米． 易错提醒：在应用题中，未知数的允许 值往往有一定的限制，因此除了检验未知数 的值是否满足所列方程外，还必须检验它在 实际问题中是否有意义．在求出方程的解为 10 或 30 时，如果不进行验根，就会误以为 本题有两个答案，而题目中明确有“荒地 ABCD 是一块长 60 米，宽 40 米的矩形”这 个已知条件，显然 x＝30 不符合题意． 【类型二】 动点问题 如图所示，A，B，C，D 为矩形 的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，P，Q 分别从点 A，C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的 速度向点 B 运动，一直到达 B 为止，点 Q
以2cm/s的速度向D移动,点P停止运动时 探究点二:利用一元二次方程解决数字 点Q也停止运动 问题 (1)P,Q两点从出发开始几秒时,四边 例3有一个两位数,个位数字与十位 形PBCQ的面积为33cm2 数字的和为14,交换位置后,得到新的两位 (2)P,Q两点从出发开始几秒时,点P数,比这两个数字的积还大38,求这个两位 和点Q的距离第一次是10cm? 数 解析:这是一个数字排列的问题,题中 有两个等量关系,由前一个等量关系知, 解:(1)设P,Q两点从出发开始xs时, 位数字与十位数字均可用同一个未知数表 四边形PBCQ的面积为33cm2,根据题意得 PB=AB-AP=(16-3x)cm, CO=rcm 示,这样交换位置后的新两位数也可以用上 故(2x+16-3x)×6=3,解得x=5.述未知数表示出来,然后根据后一个等量关 故P,Q两点从出发开始s时,四边形系可列方程求解 PBCQ的面积为33cm2 (2)设P,Q两点从出发开始xs时,点P 解:设个位数字为x,则十位数字为14 和点Q的距离是10cm x,两数字之积为x(14-x),两个数字交换 如图,过Q点作QM⊥AB于点M,则位置后的新两位数为10x+(14-x) BM=CO=xcm, t PM=(16-5x)cm 根据题意,得10x+(14-x)-x(14-x) 在R△PMQ中,PM+MQ2=PQ :(16-5+62=109解得x=8 整理,得x2-5x-24=0,解得x1=8, 因为个位数上的数字不可能是负数,所 以x=-3应舍去 ∴所求的是第一次满足条件的时间 当x=8时,14-x=6 所以这个两位数是68 方法总结:(1)数字排列问题常采用间接 故P,Q两点从出发开始s时,点P和 点Q的距离第一次是10cm 设未知数的方法求解.(2注意数字只有0 方法总结:解决动态几何问题的关键是1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个,且最 寻找点运动的过程中变化的量与不变的量,高位上的数字不能为0,而其他如分数、负 寻找等量关系列方程.对于动点问题,常先数根不符合实际意义,必须舍去 板书设计 假设出点的位置,根据面积或其他关系列出 几何问题及数字问题 方程,如果方程的根符合题目的要求,就说 几何问感(面积间题 动点问题 明假设成立,否则,假设不成立 数字问题
以 2cm/s 的速度向 D 移动，点 P 停止运动时 点 Q 也停止运动． (1)P，Q 两点从出发开始几秒时，四边 形 PBCQ 的面积为 33cm2? (2)P，Q 两点从出发开始几秒时，点 P 和点 Q 的距离第一次是 10cm? 解：(1)设 P，Q 两点从出发开始 xs 时， 四边形 PBCQ 的面积为 33cm2，根据题意得 PB＝AB－AP＝(16－3x)cm，CQ＝2xcm. 故 1 2 (2x＋16－3x)×6＝33，解得 x＝5. 故 P，Q 两点从出发开始 5s 时，四边形 PBCQ 的面积为 33cm2 ； (2)设 P，Q 两点从出发开始 xs 时，点 P 和点 Q 的距离是 10cm. 如图，过 Q 点作 QM⊥AB 于点 M，则 BM＝CQ＝2xcm，故 PM＝(16－5x)cm. 在 Rt△PMQ 中，PM2＋MQ2＝PQ2， ∴(16－5x) 2＋6 2＝102 .解得 x1＝ 8 5 ，x2＝ 24 5 . ∵所求的是第一次满足条件的时间， ∴x＝ 8 5 . 故 P，Q 两点从出发开始8 5 s 时，点 P 和 点 Q 的距离第一次是 10cm. 方法总结：解决动态几何问题的关键是 寻找点运动的过程中变化的量与不变的量， 寻找等量关系列方程．对于动点问题，常先 假设出点的位置，根据面积或其他关系列出 方程，如果方程的根符合题目的要求，就说 明假设成立，否则，假设不成立． 探究点二：利用一元二次方程解决数字 问题 有一个两位数，个位数字与十位 数字的和为 14，交换位置后，得到新的两位 数，比这两个数字的积还大 38，求这个两位 数． 解析：这是一个数字排列的问题，题中 有两个等量关系，由前一个等量关系知，个 位数字与十位数字均可用同一个未知数表 示，这样交换位置后的新两位数也可以用上 述未知数表示出来，然后根据后一个等量关 系可列方程求解． 解：设个位数字为 x，则十位数字为 14 －x，两数字之积为 x(14－x)，两个数字交换 位置后的新两位数为 10x＋(14－x)． 根据题意，得 10x＋(14－x)－x(14－x) ＝38. 整理，得 x 2－5x－24＝0，解得 x1＝8， x2＝－3. 因为个位数上的数字不可能是负数，所 以 x＝－3 应舍去． 当 x＝8 时，14－x＝6. 所以这个两位数是 68. 方法总结：(1)数字排列问题常采用间接 设未知数的方法求解．(2)注意数字只有 0， 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10 个，且最 高位上的数字不能为 0，而其他如分数、负 数根不符合实际意义，必须舍去． 三、板书设计 几何问题及数字问题 几何问题 面积问题 动点问题 数字问题
教学反思 经历分析具体问题中的数量关系,建立方程 模型解决问题的过程,认识方程模型的重要 性通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思 维能力和分析问题、解决问题的能力经历探 索过程,培养合作学习的意识体会数学与实 际生活的联系,进一步感知方程的应用价值
经历分析具体问题中的数量关系，建立方程 模型解决问题的过程，认识方程模型的重要 性.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思 维能力和分析问题、解决问题的能力.经历探 索过程，培养合作学习的意识.体会数学与实 际生活的联系，进一步感知方程的应用价值