43相似多边形 图① 图② (3)不一定,每个菱形的四条边长都 相等,所以两菱形的对应边一定成比例,但 是它们的对应角不一定相等,如图②,显然 两个菱形的对应角是不相等的 数学目标 (4)相似,因为每个等边三角形的 条边都相等,所以两个等边三角形的对应边 1.了解相似多边形和相似比的概念 定成比例,并且对应角都等于60° 2.会根据条件判断两个多边形是否为相 (5)不一定,如图③,对应边不成比 似多边形;(重点) 例,对应角不相等 3.掌握相似多边形的性质,能根据相似 比进行相关的计算.(难点) 图③ (6)不一定,如图④,对应边不成比 情景导入 例,对应角不相等; 7)相似,因为等腰直角三角形的 观察以下三组图形,每一组图形的对应 个角分别是45°,45°,90°,所以对应角相 边、对应角有什么关系呢? 等,而且每一个三角形的三边的比都是1:1 所以对应边成比例 8)相似,因为正五边形的各角都等 b8°,所以对应角相等,而且正五边形的 边都相等,所以对应边成比例 二、合作探究 方法总结:(1)相似多边形的定义 探究点一:相似多边形的判定 1下列图形都相似吗?为什么? 也是相似多边形的判定方法,在判定两个多 (1)所有正方形;(2)所有矩形:(3) 所有菱形;(4)所有等边三角形:(5)所有边形相似时,必须同时具备两点:对应角相 等腰三角形;(6)所有等腰梯形;(7)所有 等腰直角三角形;(8)所有正五边形 等,对应边成比例(2)在说明图形不相似 解析:利用定义判断边数相同的多边形 时只需画图举出反例即可(3)所有边数相 是否相似,要从两方面进行判断:(1)对应等的正多边形都相似 角相等;(2)对应边成比例,两者缺一不可 探究点二:相似多边形的性质 囹2己知四边形ABCD与四边形 解:(1)相似,因为正方形每个角都等EFGH相似,试根据图中所给出的数据求出 于90°,所以对应角相等,而每个正方形的 四边形EFGH和四边形ABCD的相似比 边长都相等,所以对应边成比例; (2)不一定,虽然矩形的每个角都等 于90°,对应角相等,但是对应边不一定成 比例,如图① 7: 80°
4.3 相似多边形 1.了解相似多边形和相似比的概念； 2.会根据条件判断两个多边形是否为相 似多边形；（重点） 3.掌握相似多边形的性质，能根据相似 比进行相关的计算.（难点） 一、情景导入 观察以下三组图形，每一组图形的对应 边、对应角有什么关系呢？ 二、合作探究 探究点一：相似多边形的判定 下列图形都相似吗？为什么？ （1）所有正方形；（2）所有矩形；（3） 所有菱形；（4）所有等边三角形；（5）所有 等腰三角形；（6）所有等腰梯形；（7）所有 等腰直角三角形；（8）所有正五边形. 解析：利用定义判断边数相同的多边形 是否相似，要从两方面进行判断：（1）对应 角相等；（2）对应边成比例，两者缺一不可. 解：（1）相似，因为正方形每个角都等 于 90°，所以对应角相等，而每个正方形的 边长都相等，所以对应边成比例； （2）不一定，虽然矩形的每个角都等 于 90°，对应角相等，但是对应边不一定成 比例，如图①； （3）不一定，每个菱形的四条边长都 相等，所以两菱形的对应边一定成比例，但 是它们的对应角不一定相等，如图②，显然 两个菱形的对应角是不相等的； （4）相似，因为每个等边三角形的三 条边都相等，所以两个等边三角形的对应边 一定成比例，并且对应角都等于 60°； （5）不一定，如图③，对应边不成比 例，对应角不相等； （6）不一定，如图④，对应边不成比 例，对应角不相等； （7）相似，因为等腰直角三角形的三 个角分别是 45°，45°，90°，所以对应角相 等，而且每一个三角形的三边的比都是 1：1： 2，所以对应边成比例； （8）相似，因为正五边形的各角都等 于 108°，所以对应角相等，而且正五边形的 各边都相等，所以对应边成比例. 方法总结：（1）相似多边形的定义 也是相似多边形的判定方法，在判定两个多 边形相似时，必须同时具备两点：对应角相 等，对应边成比例.（2）在说明图形不相似 时只需画图举出反例即可.（3）所有边数相 等的正多边形都相似. 探究点二：相似多边形的性质 已知四边形 ABCD 与四边形 EFGH 相似，试根据图中所给出的数据求出 四边形 EFGH 和四边形 ABCD 的相似比
解:∵四边形ABCD与四边形EFGH 团4在AB=20m,AD=30m的矩形花 相似,且∠A=∠E=80°,∠B=∠F=75°,坛ABCD的四周建筑小路 AB与EF是对应边:E==3, 四边形EFH与四边形ABCD的相 似比为 方法总结:找准相似多边形的对应 (1)如果四周的小路的宽均相等,如 图①,那么小路四周所围成的矩形AB'CD 边是解决此类问题的关键,方法类似于找全 和矩形ABCD相似吗?请说明理由: (2)如果对应着的两条小路的宽均相 等,如图②,试问小路的宽x与y的比值是 等三角形对应边和对应角的方法 多少时,能使小路四周所围成的矩形 探究点三:相似多边形的应用 A'BCD和矩形ABCD相似? 3如图所示,在四边形ABCD中 AD∥BC,EF∥BC,EF将四边形ABCD分 解析:(1)根据两矩形的对应边是否成 成两个相似四边形AEFD和EBCF若AD= 3,BC=4,求AE:EB的值 比例来判断两矩形是否相似; 解析:根据相似多边形的对应边成比 (2)根据矩形相似的条件列出等量关 例,可得到EF=BC,可以求出EF的长,系式,从而求出x与y的比值 解:(1)矩形A'BCD和矩形ABCD不 从而可求AE:EB的值 相似理由如下 假设两个矩形相似,不妨设小路宽为 0+2x20+ 解得x=0 ∵由题意可知,小路宽不可能为0, 解:因为四边形AEFD∽四边形 ∴矩形ABCD和矩形ABCD不相似 EBCE (2)当x与y的比值为3:2时,小路 所以 D EF 四周所围成的矩形ABCD和矩形ABCD相 EF BC 似理由如下: 所以EF2=ADBC=3×4=12 若矩形ABCD和矩形ABCD相似 所以EF=Vh2=23 因为四边形AEFD∽四边形EBCF 30+220+2,所=2 30 所以AE:EB=AD:EF=3:23 ∴当x与y的比值为3:2时,小路四 周所围成的矩形ABCD和矩形ABCD相似 方法总结:若两个多边形相似,则 方法总结:因为矩形的四个角均是 它们对应的边成比例,根据此特性,可列等直角,所以在有关矩形相似的问题中,只需 或比例式求解 看对应边是否成比例,若成比例,则相似
解：∵四边形 ABCD 与四边形 EFGH 相似，且∠A＝∠E＝80°，∠B＝∠F＝75°， ∴AB 与 EF 是对应边.∵ EF AB＝ 6 8 ＝ 3 4 ， ∴四边形 EFGH 与四边形 ABCD 的相 似比为3 4 . 方法总结：找准相似多边形的对应 边是解决此类问题的关键，方法类似于找全 等三角形对应边和对应角的方法. 探究点三：相似多边形的应用 如图所示，在四边形 ABCD 中， AD∥BC，EF∥BC，EF 将四边形 ABCD 分 成两个相似四边形 AEFD 和 EBCF.若 AD＝ 3，BC＝4，求 AE：EB 的值. 解析：根据相似多边形的对应边成比 例，可得到AD EF＝ EF BC，可以求出 EF 的长， 从而可求 AE：EB 的值. 解：因为四边形 AEFD∽四边形 EBCF， 所以AD EF＝ EF BC， 所以 EF2＝AD·BC＝3×4＝12， 所以 EF＝ 12＝2 3. 因为四边形 AEFD∽四边形 EBCF， 所以 AE：EB＝AD：EF＝3：2 3＝ 3： 2. 方法总结：若两个多边形相似，则 它们对应的边成比例，根据此特性，可列等 式或比例式求解. 在 AB＝20m，AD＝30m 的矩形花 坛 ABCD 的四周建筑小路. （1）如果四周的小路的宽均相等，如 图①，那么小路四周所围成的矩形 A′B′C′D′ 和矩形 ABCD 相似吗？请说明理由； （2）如果对应着的两条小路的宽均相 等，如图②，试问小路的宽 x 与 y 的比值是 多 少 时， 能 使小 路四 周 所围 成的 矩 形 A′B′C′D′和矩形 ABCD 相似？ 解析：（1）根据两矩形的对应边是否成 比例来判断两矩形是否相似； （2）根据矩形相似的条件列出等量关 系式，从而求出 x 与 y 的比值. 解：（1）矩形 A′B′C′D′和矩形 ABCD 不 相似.理由如下： 假设两个矩形相似，不妨设小路宽为 xm， 则 30＋2x 30 ＝ 20＋2x 20 ，解得 x＝0. ∵由题意可知，小路宽不可能为 0， ∴矩形 A′B′C′D′和矩形 ABCD 不相似； （2）当 x 与 y 的比值为 3：2 时，小路 四周所围成的矩形 A′B′C′D′和矩形 ABCD 相 似.理由如下： 若矩形 A′B′C′D′和矩形 ABCD 相似， 则 30＋2x 30 ＝ 20＋2y 20 ，所以x y ＝ 3 2 . ∴当 x 与 y 的比值为 3：2 时，小路四 周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似. 方法总结：因为矩形的四个角均是 直角，所以在有关矩形相似的问题中，只需 看对应边是否成比例，若成比例，则相似
否则不相似 三、板书设计 相似多边形 相似多边形:各角分别相等、各边 成比例的两个多边形 相似比:相似多边形对应边的比 性质:相似多边形的对应角相等,对 应边成比例 判定:各角分别相等,各边成比例, 者缺一不可 数学反思 在探索相似多边形本质特征的过程中,让学 生运用“观察一比较一猜想”分析问题,进 步发展学生观察、分析、判断、归纳、类 比、反思、交流等方面的能力,提高数学思 维水平,体会反例的作用,培养与他人交流 合作的意识和品质
否则不相似. 三、板书设计 相似多边形 相似多边形：各角分别相等、各边 成比例的两个多边形 相似比：相似多边形对应边的比 性质：相似多边形的对应角相等，对 应边成比例 判定：各角分别相等，各边成比例， 二者缺一不可 在探索相似多边形本质特征的过程中，让学 生运用“观察－比较－猜想”分析问题，进 一步发展学生观察、分析、判断、归纳、类 比、反思、交流等方面的能力，提高数学思 维水平，体会反例的作用，培养与他人交流、 合作的意识和品质