的,人和旗杆都与地面垂直,因此可以通过 46利用相似三角形测高 相似三角形对应边成比例来求旗杆的高度 解:如图,用DC表示人的身高,EC 教学标 表示人的影长,AB表示旗杆的高度,BC表 1通过测量旗杆的高度的活动,巩固相 旗杆的影长 似三角形有关知识,积累数学活动的经验 由题意知DC=1.6m,EC=2m,BC (重点) ∴太阳光AC∥DE 2灵活运用三角形相似的知识解决实际 ∵∠E=∠ACB 问题.(难点) ∠DCE=90° ∴△ABC∽△DCE AB_BC BnAb_8 教学过程 DC CE1.6 2 解得AB=64(m) 、情景导入 故旗杆的高度是64m. 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金 字塔,被誉为“世界古代八大奇迹之一”, 方法总结:同一时刻,对于都垂直 古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相 似三角形的原理测量金字塔的高度 于地面的两个物体来说,它们的高度之比等 于它们的影长之比,即物体的高度之比与其 AF)影长之比相同 你能根据图示说出他测量金字塔的原 理吗? 【类型二】影子不在同一平面上时高 度的测量 二、合作探究 探究点一:利用阳光下的影子测量高度 图① 【类型一】影子在同一平面上时高度 囹例2如图①,在离某建筑物CE4m处 有一棵树AB,在某时刻,1.2m的竹竿FC 的测量 垂直地面放置,影子GH长为2m,此时树 的影子有一部分落在地面上,还有一部分落 在建筑物的墙上,墙上的影子CD高为2m, 那么这棵树的高是多少? 1如图所示,身高为1.6m的某同学 想测量学校旗杆的高度,当他站在C处时, 正好站在旗杆影子的顶端处,已测得该同学 在地面上的影长为2m,旗杆在地面上的影 图② 长为8m,那么旗杆的高度是多少呢? 解:方法一:延长AD,与地面交 于点M,如图② 解析:同一时刻的太阳的光线应是平行 根据同一时刻,物体的影长和它的高度
4.6 利用相似三角形测高 1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相 似三角形有关知识，积累数学活动的经验； （重点） 2.灵活运用三角形相似的知识解决实际 问题.（难点） 一、情景导入 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金 字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”， 古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相 似三角形的原理测量金字塔的高度. 你能根据图示说出他测量金字塔的原 理吗？ 二、合作探究 探究点一：利用阳光下的影子测量高度 【类型一】 影子在同一平面上时高度 的测量 如图所示，身高为 1.6m 的某同学 想测量学校旗杆的高度，当他站在 C 处时， 正好站在旗杆影子的顶端处，已测得该同学 在地面上的影长为 2m，旗杆在地面上的影 长为 8m，那么旗杆的高度是多少呢？ 解析：同一时刻的太阳的光线应是平行 的，人和旗杆都与地面垂直，因此可以通过 相似三角形对应边成比例来求旗杆的高度. 解：如图，用 DC 表示人的身高，EC 表示人的影长，AB 表示旗杆的高度，BC 表 示旗杆的影长. 由题意知 DC＝1.6m，EC＝2m，BC＝ 8m. ∵太阳光 AC∥DE， ∴∠E＝∠ACB. 又 ∵∠B ＝ ∠DCE ＝ 90° ， ∴△ABC∽△DCE. ∴ AB DC＝ BC CE，即AB 1.6＝ 8 2 . 解得 AB＝6.4（m）. 故旗杆的高度是 6.4m. 方法总结：同一时刻，对于都垂直 于地面的两个物体来说，它们的高度之比等 于它们的影长之比，即物体的高度之比与其 影长之比相同. 【类型二】 影子不在同一平面上时高 度的测量 如图①，在离某建筑物 CE4m 处 有一棵树 AB，在某时刻，1.2m 的竹竿 FG 垂直地面放置，影子 GH 长为 2m，此时树 的影子有一部分落在地面上，还有一部分落 在建筑物的墙上，墙上的影子 CD 高为 2m， 那么这棵树的高是多少？ 解：方法一：延长 AD，与地面交 于点 M，如图②. 根据同一时刻，物体的影长和它的高度
成正比 性质,但其解题的简便性不同,显然方法二 所以点2= 因为CD=2m,FG=1.2m,GH=2m, 和方法三比方法一简单 探究点二:利用标杆测量高度 所以CM=2m,所以BM=BC+CM A 团例3如图,小明为了测量一棵树CD 所以 AB=44(m) 的高度,他在距树24m处立了一根高为2m 的标杆EF,然后小明前后调整自己的位置, 故这棵树的高是44m. 当他与树相距27m的时候,他的眼睛、标 杆的顶端和树的顶端在同一条直线上已知 小明的眼高1.6m,求树的高度 解析:人、树、标杆是相互平行的,添 图③ 方法二:过点D作AB的垂线,交AB 于点M,如图③ 加辅助线,过点A作AN∥BD交CD于N, 由题意可知DM=GH而DM=BC=交EF于M,则可得△AEMO△ACN 4m, AM=AB-CD=(AB-2)m, FG=1.2m. 解:过点A作AN∥BD交CD于N,交 GH=2m EF于M,因为人、标杆、树都垂直于地面 AB-2 所以∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°, 所以 解得AB=44(m) 所以AB∥EF∥CD,所以∠EMA 故这棵树的高是44m. ∠CNA 因为∠EAM=∠CAN, 所以△AEM∽△ACN,所以 图 因为AB=1.6m,EF=2m,BD=27m 方法三:过点C作AD的平行线交ABFD=24m 于点P,如图④ 2-1.627-24 所以 ,所以CN=3.6 由题意可知BC=am而BP=AB-CD (AB-2)m, BC=4m, FG=1.2m, GH 所以CD=3.6+1.6=52(m) 2 故树的高度为52m 所以 AB-2 ,解得AB=4.4(m) 方法总结:利用标杆测量物体的高 故这棵树的高是44m. 度时,必须使观测者的眼睛、标杆顶端、建 方法总结:在图上补全影子或构造 筑物顶端在同一条直线上 相似三角形是求出树高的关键三种方法的 探究点三:利用镜子的反射测量高度 解题依据实质上都是应用了相似三角形的 囹4为了测量一棵大树的高度,某同
成正比， 所以AB BM＝ CD CM＝ FG GH. 因为 CD＝2m，FG＝1.2m，GH＝2m， BC＝4m， 所以 CM＝ 10 3 m，所以 BM＝BC＋CM＝ 22 3 （m）. 所以AB 22 3 ＝ 1.2 2 ，AB＝4.4（m）. 故这棵树的高是 4.4m. 方法二：过点 D 作 AB 的垂线，交 AB 于点 M，如图③. 由题意可知AM DM＝ FG GH，而 DM＝BC＝ 4m，AM＝AB－CD＝（AB－2）m，FG＝1.2m， GH＝2m， 所以AB－2 4 ＝ 1.2 2 ，解得 AB＝4.4（m）. 故这棵树的高是 4.4m. 方法三：过点 C 作 AD 的平行线交 AB 于点 P，如图④. 由题意可知BP BC＝ FG GH，而 BP＝AB－CD ＝（AB－2）m，BC＝4m，FG＝1.2m，GH ＝2m， 所以AB－2 4 ＝ 1.2 2 ，解得 AB＝4.4（m）. 故这棵树的高是 4.4m. 方法总结：在图上补全影子或构造 相似三角形是求出树高的关键.三种方法的 解题依据实质上都是应用了相似三角形的 性质，但其解题的简便性不同，显然方法二 和方法三比方法一简单. 探究点二：利用标杆测量高度 如图，小明为了测量一棵树 CD 的高度，他在距树 24m 处立了一根高为 2m 的标杆 EF，然后小明前后调整自己的位置， 当他与树相距 27m 的时候，他的眼睛、标 杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知 小明的眼高 1.6m，求树的高度. 解析：人、树、标杆是相互平行的，添 加辅助线，过点 A 作 AN∥BD 交 CD 于 N， 交 EF 于 M，则可得△AEM∽△ACN. 解：过点 A 作 AN∥BD 交 CD 于 N，交 EF 于 M，因为人、标杆、树都垂直于地面， 所以∠ABF＝∠EFD＝∠CDF＝90°， 所 以 AB∥EF∥CD ， 所以 ∠EMA ＝ ∠CNA. 因为∠EAM＝∠CAN， 所以△AEM∽△ACN，所以EM CN＝ AM AN. 因为 AB＝1.6m，EF＝2m，BD＝27m， FD＝24m， 所以2－1.6 CN ＝ 27－24 27 ，所以 CN＝3.6 （m）， 所以 CD＝3.6＋1.6＝5.2（m）. 故树的高度为 5.2m. 方法总结：利用标杆测量物体的高 度时，必须使观测者的眼睛、标杆顶端、建 筑物顶端在同一条直线上. 探究点三：利用镜子的反射测量高度 为了测量一棵大树的高度，某同
学利用手边的工具(镜子、皮尺)设计了如策略的多样性在增强相互协作的同时,激发 下测量方案:如图,①在距离树AB底部15m学习数学的兴趣 的E处放下镜子;②该同学站在距离镜子 2m的C处,目高CD为1.5m;③观察镜 面,恰好看到树的顶端.你能帮助他计算出大 树的大约高度吗? 解析:借助物理学知识:入射角等 于反射角,法线垂直于水平面(镜面),然 后利用相似三角形的知识求解 解:如图,∵∠1=∠2 ∠DCE=∠BAE=90°, ∴△DCE∽△BAE DC=CE,即15=12, BA AE 解得BA=18.75(m 因此,树高约为18.75m. 方法总结:利用镜子的反射测量物 体的高度时,利用入射角等于反射角,等角 的余角相等产生相似三角形,利用相似三角 形的性质求树高 三、板书设计 利用相似三角形测高 利用阳光下的影子测量高度 利用标杆测量高度 利用镜子的反射测量高度 教学反思 通过设计测量旗杆高度的方案,学会由实物 图形抽象成几何图形的方法,体会实际问题 转化成数学模型的转化思想,培养学生的观 察、归纳、建模、应用能力,体验解决问题
学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如 下测量方案：如图，①在距离树 AB 底部 15m 的 E 处放下镜子；②该同学站在距离镜子 1.2m 的 C 处，目高 CD 为 1.5m；③观察镜 面，恰好看到树的顶端.你能帮助他计算出大 树的大约高度吗？ 解析：借助物理学知识：入射角等 于反射角，法线垂直于水平面（镜面），然 后利用相似三角形的知识求解. 解：如图，∵∠1＝∠2， ∠DCE＝∠BAE＝90°， ∴△DCE∽△BAE. ∴ DC BA＝ CE AE，即1.5 BA＝ 1.2 15， 解得 BA＝18.75（m）. 因此，树高约为 18.75m. 方法总结：利用镜子的反射测量物 体的高度时，利用入射角等于反射角，等角 的余角相等产生相似三角形，利用相似三角 形的性质求树高. 三、板书设计 利用相似三角形测高 利用阳光下的影子测量高度 利用标杆测量高度 利用镜子的反射测量高度 通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物 图形抽象成几何图形的方法，体会实际问题 转化成数学模型的转化思想，培养学生的观 察、归纳、建模、应用能力，体验解决问题 策略的多样性.在增强相互协作的同时，激发 学习数学的兴趣