对公共角,只要再找一对角相等,或夹公共 45相似三角形判定定理 角的两组对应边成比例即可判定两个三角 的证明 形相似题中有三个条件可以单独判定 △ABC∽△ACD,分别是①②④①②是根据 数学目标 1会证明相似三角形判定定理:(重点)有两组角分别对应相等的两个三角形相似 2运用相似三角形的判定定理解决相关 问题.(难点) 来判定的;④是根据两组对应边成比例且夹 角相等的两个三角形相似来判定;③虽然两 数学心程 边对应成比例,但不能得到其夹角相等,所 、情景导入 相似三角形的判定方法有哪些? 以不能判定两个三角形相似故选C. 答:(1)两角对应相等,两三角形相似 2)两边对应成比例且夹角相等,两 方法总结:利用两边分别对应成比 三角形相似 (3)三边对应成比例,两三角形相似例且夹角相等的方法判定两个三角形相似 怎样证明这些结论呢? 时,一定要注意必须是对应成比例的两边的 夹角相等,若不是夹角相等,则不能判定这 二、合作探究 探究点:相似三角形的判定定理 两个三角形相似 【类型一】根据条件判定三角形相似 【类型二】探索三角形相似的条件 例1如图所示,给出以下条件:①∠B ∠ACD;②∠ADC=∠ACB:(AC=AB ④AC2=ADAB.其中能单独判 △ABC∽△ACD的个数为() 2如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD (1)若AB=9,CD=4,BD=10,请 问在BD上是否存在点P,使以P、A、B 点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶 点的三角形相似?若存在,求BP的长;若 不存在,请说明理由; B.2 (2)若AB=9,CD=4,BD=12,请 问在BD上存在多少个点P,使以P、A、B 三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为 解析:在图中已知两个三角形有 顶点的三角形相似?并求BP的长; (3)若AB=9,CD=4,BD=15,请
*4.5 相似三角形判定定理 的证明 1.会证明相似三角形判定定理；（重点） 2.运用相似三角形的判定定理解决相关 问题.（难点） 一、情景导入 相似三角形的判定方法有哪些？ 答：（1）两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两 三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似. 怎样证明这些结论呢？ 二、合作探究 探究点：相似三角形的判定定理 【类型一】 根据条件判定三角形相似 如图所示，给出以下条件：①∠B ＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ AC CD＝ AB BC； ④AC2 ＝ AD·AB. 其 中 能 单 独 判 定 △ABC∽△ACD 的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：在图中已知两个三角形有一 对公共角，只要再找一对角相等，或夹公共 角的两组对应边成比例即可判定两个三角 形相似. 题中有三个 条件可以 单独判定 △ABC∽△ACD，分别是①②④.①②是根据 有两组角分别对应相等的两个三角形相似 来判定的；④是根据两组对应边成比例且夹 角相等的两个三角形相似来判定；③虽然两 边对应成比例，但不能得到其夹角相等，所 以不能判定两个三角形相似.故选 C. 方法总结：利用两边分别对应成比 例且夹角相等的方法判定两个三角形相似 时，一定要注意必须是对应成比例的两边的 夹角相等，若不是夹角相等，则不能判定这 两个三角形相似. 【类型二】 探索三角形相似的条件 如图，已知 AB⊥BD，CD⊥BD. （1）若 AB＝9，CD＝4，BD＝10，请 问在 BD 上是否存在点 P，使以 P、A、B 三 点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为顶 点的三角形相似？若存在，求 BP 的长；若 不存在，请说明理由； （2）若 AB＝9，CD＝4，BD＝12，请 问在 BD 上存在多少个点 P，使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为 顶点的三角形相似？并求 BP 的长； （3）若 AB＝9，CD＝4，BD＝15，请
问在BD上存在多少个点P,使以P、A、B=0,4=P-4mn 三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为 当』=P-4m0时,存在以P、A、B 解:(1)设BP=x,则DP=10-x 三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为 若△ABP∽△CDP AB BP9顶点的三角形相似的三个点P CD DP4 方法总结:由于相似情况不明确, 0-x解得x=3:若△BP△PDC,则 因此要分两种情况讨论注意要找准对应边 AB=BD,即,9=,此时方程无解 三、板书设计 综上,存在这样的点P,此时BP 相似三角形判定定理的证明 (2)设BP=x,则DP=12-x 判定定理1 若△ABP∽△CDP AB BP CD DP 判定定理2 判定定理3 解得 若△ABP∽△PDC AB BP 教学反思 解得x=6 本课主要是证明相似三角形判定定理,以学 综上所述,存在两个这样的点P,此时生的自主探究为主,鼓励学生独立思考,多 角度分析解决问题,总结常见的辅助线添加 方法,使学生的推理能力和几何思维都获得 (3)设BP=x,则DP=15-x 提高,培养学生的探索精神和合作意识 若△ABP∽△CDP,则 x解得x=13:若△ABP△PDC AB BP 9x 解得x=3或12 综上所述,存在三个这样的点,此时 3或12 (4)设BP=x,则DP=l 若△ABP∽△CDP 解得x=m+n,若△BP△PDC, AB BP PD CD 得方程x2
问在 BD 上存在多少个点 P，使以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为 顶点的三角形相似？并求 BP 的长； （4）若 AB＝m，CD＝n，BD＝l，请问 在 m、n、l 满足什么关系时，存在以 P、A、 B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点 为顶点的三角形相似的一个点 P？两个点 P？三个点 P？ 解：（1）设 BP＝x，则 DP＝10－x. 若△ABP∽△CDP，则AB CD＝ BP DP，即9 4 ＝ x 10－x ，解得 x＝ 90 13；若△ABP∽△PDC，则 AB PD＝ BP CD，即 9 10－x ＝ x 4 ，此时方程无解. 综上，存在这样的点 P，此时 BP＝ 90 13； （2）设 BP＝x，则 DP＝12－x. 若△ABP∽△CDP，则AB CD＝ BP DP，即9 4 ＝ x 12－x ，解得 x＝ 108 13 ；若△ABP∽△PDC， 则 AB PD＝ BP CD，即 9 12－x ＝ x 4 ，解得 x＝6. 综上所述，存在两个这样的点 P，此时 BP＝6 或 108 13 ； （3）设 BP＝x，则 DP＝15－x. 若△ABP∽△CDP，则AB CD＝ BP DP，即9 4 ＝ x 15－x ，解得 x＝ 135 13 ；若△ABP∽△PDC， 则 AB PD＝ BP CD，即 9 15－x ＝ x 4 ，解得 x＝3 或 12. 综上所述，存在三个这样的点，此时 BP＝ 135 13 ，3 或 12； （4）设 BP＝x，则 DP＝l－x. 若△ABP∽△CDP，则AB CD＝ BP DP，即m n ＝ x l－x ，解得 x＝ ml m＋n ；若△ABP∽△PDC， 则 AB PD＝ BP CD，即 m l－x ＝ x n ，得方程 x 2－lx＋mn ＝0，Δ＝l 2－4mn. 当 Δ＝l 2－4mn＜0 时，存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为 顶点的三角形相似的一个点 P； 当 Δ＝l 2－4mn＝0 时，存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为 顶点的三角形相似的两个点 P； 当 Δ＝l 2－4mn＞0 时，存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、C、D 三点为 顶点的三角形相似的三个点 P. 方法总结：由于相似情况不明确， 因此要分两种情况讨论，注意要找准对应边. 三、板书设计 相似三角形判定定理的证明 判定定理1 判定定理2 判定定理3 本课主要是证明相似三角形判定定理，以学 生的自主探究为主，鼓励学生独立思考，多 角度分析解决问题，总结常见的辅助线添加 方法，使学生的推理能力和几何思维都获得 提高，培养学生的探索精神和合作意识