第4课时黄金分割 教学目标 )教学知识点 1知道黄金分割的定义 2会找一条线段的黄金分割点 3会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点 (二)能力训练要求 通过找一条线段的黄金分割点,培养学生的理解与动手能力 (三)情感与价值观要求 理解黄金分割的意义,并能动手找到和制作黄金分割点和图形,让学生认识数学与人类生活的密切联 系对人类历史发展的作用 教学重点 了解黄金分割的意义,并能运用 教学难点 找黄金分割点和画黄金矩形 教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师]生活中我们见到过许许多多的图形,形态各异,美观大方那么这些漂亮的图形你能画出来吗? 比如,右图是一个五角星图案,如何找点C把AB分成两段AC和BC,使得画出的图形匀称美观呢?本节 课就研宄这个问题 Ⅱ.讲授新课 AC BC [师]在五角星图案中,大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度,然后计算 它们的值 AB AC 相等吗? [生]相等 [师]所以 AC BC AB AC 1黄金分割的定义 般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 AC ,那么称线段AB被点C黄金分割 AB AC ( golden section),点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比其中≈0.618 2.计算黄金比
第 4 课时 黄金分割 教学目标 （一）教学知识点 1.知道黄金分割的定义. 2.会找一条线段的黄金分割点. 3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. （二）能力训练要求 通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力. （三）情感与价值观要求 理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联 系对人类历史发展的作用. 教学重点 了解黄金分割的意义，并能运用. 教学难点 找黄金分割点和画黄金矩形. 教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？ 比如，右图是一个五角星图案，如何找点 C 把 AB 分成两段 AC 和 BC，使得画出的图形匀称美观呢？本节 课就研究这个问题. Ⅱ.讲授新课 ［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段 AC、BC 的长度，然后计算 AB AC 、 AC BC ,它们的值 相等吗？ ［生］相等. ［师］所以 AC BC AB AC = . 1.黄金分割的定义 一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 AC BC AB AC = ,那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 （golden section）,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比.其中 AB AC ≈0.618. 2. 计算黄金比
BC AB AC 得∴AC2=AB·BC. 设AB=1AC=x,则BC=1-x x2+x-1=0 解这个方程,得 X=1+成或x2(不合题意,舍去), 5 所以,黄金比C AB20618 作一条线段的黄金分割点 如图,已知线段AB,按照如下方法作图 (1)经过点B作BD⊥AB,使BD=AB (2)连接DA,在DA上截取DE=DB (3)在AB上截取AC=AE则点C为线段AB的黄金分割点 [师]你知道为什么吗? 若点C为线段AB的黄金分割点,则点C分线段AB所成的两条线段AC、BC间须满足 AC BC AB AC 面请大家进行验证自己有困难时可以互相交流为了计算方便,可设AB 证明:∵AB=1,AC=x,BD=AB= AD=x+二 在R△ABD中,由勾股定理,得 (x+-)2=12+(-) x2+x+2=1+ x2=1-x 即:4CBC AB AC 即点C是线段AB的一个黄金分割点, 在x2=1-x中 整理,得x2+x-1=0 +√1+4 √5
解：由AC AB= BC AC ，得∴AC2=AB·BC. 设 AB=1,AC=x,则 BC=1- x. ∴x 2=1×（1－x） ∴x 2+ x －1=0 解这个方程，得 x1= -1+√5 2 或 x2= -1-√5 2 （不合题意，舍去）， 所以，黄金比AC AB= √5-1 2 ≈0.618。 3.作一条线段的黄金分割点. 如图，已知线段 AB，按照如下方法作图： （1）经过点 B 作 BD⊥AB，使 BD= 2 1 AB. （2）连接 DA，在 DA 上截取 DE=DB. （3）在 AB 上截取 AC=AE.则点 C 为线段 AB 的黄金分割点. ［师］你知道为什么吗？ 若点 C 为线段 AB 的黄金分割点，则点 C 分线段 AB 所成的两条线段 AC、BC 间须满足 AC BC AB AC = .下 面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设 AB=1. 证明：∵AB=1,AC=x,BD= 2 1 AB= 2 1 ∴AD=x+ 2 1 在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 （x+ 2 1 ）2=12+（ 2 1 ）2 ∴x 2+x+ 4 1 =1+ 4 1 ∴x 2=1－x ∴x 2=1·（1－x） ∴AC2 =AB·BC 即： AC BC AB AC = 即点C 是线段 AB 的一个黄金分割点， 在 x 2=1－x中 整理，得 x 2+x－1=0 ∴x= 2 1 5 2 1 1 4 − = − +
AC为线段长,只能取正 AC- ≈0.618 ≈0.618 ∴黄金比约为0.618 3.想一想 古希腊时期的巴台农神庙( Parthenon Temple)把它的正面放在一个矩形ABCD中,以矩形ABCD的 宽AD为边在其内部作正方形AEFD,那么我们可以惊奇地发现, BC AB 点E是AB的黄金分割点吗 BE BC 矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗? [师]请大家互相交流 [生]因为四边形AEFD是正方形,所以AD=BC=AE,又因为 因此点E是AB的黄金分割点,矩形ABCD宽与长的比是黄金比 [师]在上面这个矩形中,宽与长的比是黄金比,这个矩形叫做黄金矩形你学会作了吗? Ⅲ课时小结 本节课学习了:1.黄金分割点的定义及黄金比 2.如何找一条线段的黄金分割点,以及会画黄金矩形 3能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点 ⅣV课后作业 习题4.8 V.活动与探究 要配制一种新农药,需要兑水稀释,兑多少才好呢?太浓太稀都不行什么比例最合适,要通过试验来 确定如果知道稀释的倍数在1000和2000之间,那么,可以把1000和2000看作线段的两个端点,选择 AB的黄金分割点C作为第一个试验点,C点的数值可以算是1000+(2000-1000×0618=1618试验的 结果,如果按1618倍,水兑得过多,稀释效果不理想,可以进行第二次试验这次的试验点应该选AC的 黄金分割点D,D的位置是1000+(1618-1000)×0.618,约等于1382,如果D点还不理想,可以按黄 金分割的方法继续试验下去如果太浓,可以选DC之间的黄金分割点如果太稀,可以选AD之间的黄金 分割点,用这样的方法,可以较快地找到合适的浓度数据 这种方法叫做“黄金分割法”用这样的方法进行科学试验,可以用最少的试验次数找到最佳的数据 既节省了时间,也节约了原材料 ●板书设计
∵AC 为线段长，只能取正 ∴AC= 2 5 −1 ≈0.618 ∴ AB AC ≈0.618 ∴黄金比约为 0.618. 3.想一想 古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）.把它的正面放在一个矩形 ABCD 中，以矩形 ABCD 的 宽 AD 为边在其内部作正方形 AEFD，那么我们可以惊奇地发现， BC AB BE BC = ,点 E 是 AB 的黄金分割点吗？ 矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？ ［师］请大家互相交流. ［生］因为四边形 AEFD 是正方形，所以 AD=BC=AE,又因为 BC AB BE BC = ,所以 AE AB BE AE = ,即 AE BE AB AE = , 因此点 E 是 AB 的黄金分割点，矩形 ABCD 宽与长的比是黄金比. ［师］在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗？ Ⅲ.课时小结 本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比. 2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形. 3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. Ⅳ.课后作业 习题 4.8 Ⅴ.活动与探究 要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来 确定.如果知道稀释的倍数在 1000 和 2000 之间，那么，可以把 1000 和 2000 看作线段的两个端点，选择 AB 的黄金分割点 C 作为第一个试验点，C 点的数值可以算是 1000+（2000－1000）×0.618= 1618.试验的 结果，如果按 1618 倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试 验.这次的试验点应该选 AC 的 黄金分割点 D，D 的位置是 1000+（1618－1000）×0.618，约等于 1382，如果 D 点还不理想，可以按黄 金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选 DC 之间的黄金分割点 ；如果太稀，可以选 AD 之间的黄金 分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据. 这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据， 既节省了时间，也节约了原材料. ●板书设计